(共30张PPT)
13.3.1
等腰三角形性质
数学华师版
八年级上
在现实生活中，你看到哪些物体的表面具有等腰三角形的形状？
复习导入
衣架，斜拉桥索，老式房屋里面的等腰三角形房梁、老式房屋侧面上边形成等腰三角形、金字塔侧面图、交通标志图。
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图13.3.1，AB=AC，△ABC就是等腰三角形。
如图13.3.1
A
C
B
新知讲解
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
新知讲解
新知讲解
做一做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗?
新知讲解
图13.3.2
-------------
A
C
B
D
A
C
B
D
-------------
--------------
-----------
新知讲解
可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C.
新知讲解
由此得到以下等腰三角形的性质:
等腰三角形的两底角相等.
(简写成“等边对等角”)
新知讲解
已知:如图13.3.3，在△ABC中，AB
=
AC.
求证:
∠B=∠C.
分析:由上述操作可以得到启发,即添加等腰三角形的顶角平分线AD,然后证明△ABD≌△ACD.
图13.3.3
-------------
A
C
B
D
1
2
新知讲解
证明：画∠BAC的平分线AD.
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC（已知)，
∠1=∠2（角平分线的定义)，
AD=AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等).
图13.3.3
-------------
A
C
B
D
1
2
从这里你还可以得到什么结论?
AD是等腰三角形底边上的中线，还是底边上的高线，还是顶角的角平分线
新知讲解
新知讲解
解:
∵
AB=AC（已知)，
∴∠C=∠B=80(等边对等角).
又∵
∠
A＋
∠
B+
∠
C=180°（三角形的内角和等于180°),
∴∠
A
=180°-
∠
B-
∠
C（等式的性质)
=180°-
80°-
80°=
20°.
例1
已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的大小.
新知讲解
探索
由前面的“做一做”,你还可以发现什么结论?请写出你的发现:
———————————————
———————————————
———————————————
新知讲解
我们发现，AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
由此可得:
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合.（简称“三线合一”)
-------------
A
C
B
D
回顾前面关于底角相等的证明过程,直接推断这一结论成立.
新知讲解
例2
如图13.3.4，在△ABC中，AB
=
AC，D是BC边上的中点，∠
B=
30°．求:
∠
ADC的大小；(2）∠1的大小.
图13.3.4
A
C
B
D
1
2
新知讲解
解:(1)
∵
AB=
AC，BD
=
DC（已知)，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”)，
∴∠
ADC=
∠
ADB=
90°.
(2)∵
∠
1+
∠
B
+
∠
ADB
=
180°
（三角形的内角和等于180°)，
∠
B
=
30°(已知)，
∴∠
1=
180°
-
∠
B
-
∠
ADB（等式的性质)
=
180°-
30°-
90°=
60°.
等腰三角形的“三线合一”是经常会用到的重要性质.
新知讲解
三条边都相等的三角形是等边三角形.
如图13.3.5,在等边三角形中,每个角的度数是多少呢?
显然，AB=
AC,根据“等边对等角”,
可以得到∠
B=
∠
C，同理可得∠
A
=
∠
B，
所以∠
A
=∠B
=
∠
C.
而∠
A
+
∠
B
+
∠
C
=
180°，
所以∠
A
=∠
B
=
∠
C=
=60°
图13.3.5
\\
\\
\\
新知讲解
也就是说:
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.
新知讲解
等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴?
等边三角形有3条对称轴
----------------------------
----------------------------
------------------------------
新知讲解
注意：
性质1
等腰三角形的两个底角相等
（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。)
性质2
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）
课堂练习
1、如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．
解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD
∴∠BAD=∠ADB=45°，∠DCA=∠CAD
∴∠BDA=2∠CAD=45°
∴∠CAD=22.5°
课堂练习
2、如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，求∠BPD的度数．
课堂练习
解：∵AE=CD，∴CE=BD，
∵∠ABD=∠BCE，AB=BC，
∴△ABD≌△CBE，故∠BAD=∠CBE，
∵∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，
∠CBE+∠ADB+∠BPD=180°，
∴∠BPD=∠ABD，
∵∠ABD=60°，
∴∠BPD=60°．
拓展提高
3、已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD．
求证：AD=BE；
拓展提高
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中
AB=CA
∠BAC=∠C
AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴AD=BE(全等三角形对应边相等)；
课堂总结
等腰三角形
等边三角形
性质
三线合一
等边对等角
轴对称图形
底边上的中线
顶角平分线
底边上的高线
板书设计
课题：13.3.1
等腰三角形性质
?
教师板演区
?
学生展示区
一、三线合一
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P81练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P81练习第3题中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学八年级上13.3.1等腰三角形性质导学案
课题
13.3.1
等腰三角形性质
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.
经历观察等腰三角形的对称性，发展形象思维。
2
经历观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力。
3．通过运用等腰三角形的性质解决问题，发展应用意识。
重点
难点
等腰三角形性质的发现、证明及应用。
等腰三角形三线合一的发现、证明及应用。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是（
）
2、如图，在中，，D为BC上一点，且，，求的度数．
合
作
探
究
探究一：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图13.3.1，AB=AC，△ABC就是等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗?
由此得到以下等腰三角形的性质:
等腰三角形的两底角相等.
(简写成“等边对等角”)
已知:如图13.3.3，在△ABC中，AB
=
AC.
求证:
∠B=∠C.
分析:由上述操作可以得到启发,即添加等腰三角形的顶角平分线AD,然后证明△ABD≌△ACD.
从这里你还可以得到什么结论?
探究二：
例1
已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的大小.
由前面的“做一做”,你还可以发现什么结论?请写出你的发现:
———————————————
———————————————
———————————————
我们发现，AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
由此可得:
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合.（简称“三线合一”)
回顾前面关于底角相等的证明过程,直接推断这一结论成立.
探究三：
例2
如图13.3.4，在△ABC中，AB
=
AC，D是BC边上的中点，∠B=
30°．
求:（1）∠ADC的大小；(2）∠1的大小.
三条边都相等的三角形是等边三角形.
如图13.3.5,在等边三角形中,每个角的度数是多少呢?
显然，AB=
AC,根据“等边对等角”,
可以得到∠
B=
∠
C，同理可得∠
A
=
∠
B，
所以∠
A
=∠B
=
∠
C.
而∠
A
+
∠
B
+
∠
C
=
180°，
所以∠
A
=∠
B
=
∠
C==60°
也就是说:
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.
等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴?
注意：
性质1
等腰三角形的两个底角相等
（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。)
性质2
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）
当
堂
检
测
1、如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．
2、如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，求∠BPD的度数．
3、已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD．
求证：AD=BE；
课
堂
小
结
等腰三角形的性质？
参考答案
自主学习：
解：，?BC，
，
，
?ABC的周长．
2、解：∵AB=AC=BD，AD=DC，
∴∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA，
设∠B=∠C=∠DAC=x，则∠BAD=∠BDA=∠C+∠DAC=2x，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，即x+x+2x+x=180°，
解得x=36°，
∴∠B=∠C=∠DAC=36°，
∴∠BAD=∠BDA=72°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=72°+36°=108°．
合作探究：
探究一：
可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C.
证明：画∠BAC的平分线AD.
在△ABD和△ACD中，
∵AB
=
AC（已知)，
∠1=∠2（角平分线的定义)，
AD
=
AD(公共边)，
∴△ABD
≌△
ACD(S.A.S.)
∴∠
B=
∠
C（全等三角形的对应角相等).
AD是等腰三角形底边上的中线，还是底边上的高线，还是顶角的角平分线
探究二：
解:
∵
AB
=
AC（已知)，
∴∠
C
=
∠
B
=
80(等边对等角).
又∵
∠
A＋
∠
B+
∠
C=180°（三角形的内角和等于180°),
∴∠
A
=180°-
∠
B-
∠
C（等式的性质)
=180°-
80°-
80°=
20°.
探究三：
解:(1)
∵
AB=
AC，BD
=
DC（已知)，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”)，
∴∠
ADC=
∠
ADB=
90°.
(2)∵
∠
1+
∠
B
+
∠
ADB
=
180°
（三角形的内角和等于180°)，
∠
B
=
30°(已知)，
∴∠
1=
180°
-
∠
B
-
∠
ADB（等式的性质)
=
180°-
30°-
90°=
60°.
等边三角形有3条对称轴
当堂检测：
1、解：∵△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD
∴∠BAD=∠ADB=45°，∠DCA=∠CAD
∴∠BDA=2∠CAD=45°
∴∠CAD=22.5°
2、解：∵AE=CD，∴CE=BD，
∵∠ABD=∠BCE，AB=BC，
∴△ABD≌△CBE，故∠BAD=∠CBE，
∵∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，
∠CBE+∠ADB+∠BPD=180°，
∴∠BPD=∠ABD，
∵∠ABD=60°，
∴∠BPD=60°．
3、证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中
AB=CA
∠BAC=∠C
AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴AD=BE(全等三角形对应边相等)；
课堂小结：
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精品试卷·第
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