第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
[目标]
1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.能正确理解命题的结构形式，并把命题化为“若p，则q”的形式．
[重点]
命题的概念的理解及命题的构成形式．
[难点]
命题概念的理解．
知识点一
命题的概念及其真假
[填一填]
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
[答一答]
1．陈述句一定是命题吗？
提示：不一定，命题虽然是陈述句，但陈述句不一定是命题，如“瑞雪兆丰年”，这句话表达的是一种可能性，但不具有确定性，所以不是命题．
2．疑问句、感叹句、祈使句是命题吗？
提示：都不是，因为不能判断真假．
3．怎样判断命题的真假？
提示：要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可，而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证．在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断．
知识点二
命题的结构形式
[填一填]
命题的结构形式：“若p，则q”，也可写成“如果p，那么q”的形式，也可写成“只要p，就有q”的形式．通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
[答一答]
4．怎样将命题写成“若p，则q”的形式？
提示：要把一个表面上不是“若p，则q”形式的命题写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，即“若p，则q”的形式．
5．“平行四边形的对角线互相平分”的条件和结论分别是什么？
提示：条件：一个四边形是平行四边形；结论：四边形的对角线互相平分．
1．命题的判断
判断一个语句是不是命题，首先观察其句型是否为陈述句，其次看它是否能判断真假．
2．判断真假命题的方法
首先考虑特例法，根据给定条件举出特例，如果得出与给定结论相反的结果，那么就可证明它是假命题，若条件和结论的因果关系不明显，不容易找到反例，只能根据所学知识进行证明．
类型一
命题的概念
【例1】 判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)三角形的三个内角的和等于360°；
(2)a＋b＝4；
(3)2016年奥运会的举办城市是巴西的里约热内卢；
(4)这是一棵大树；
(5)你是高二的学生吗？
(6)求证：是无理数；
(7)并非所有的人都喜欢数学；
(8)x2＋1>0.
【分析】 按照命题的定义进行分析判断．
【解】 (1)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题；
(2)由于变量a，b的值不确定，无法判断其真假，因此不是命题；
(3)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题；
(4)“大树”的标准不确定，无法判断其真假，因此不是命题；
(5)这是疑问句，不是命题；
(6)这是祈使句，不是命题；
(7)可以判断为真，人群中有的人喜欢数学，也存在着不喜欢数学的人，因此是命题；
(8)虽然变量x的值不确定，但可以判断其真假，因此是命题．
?1?命题一般是陈述句.但并非所有的陈述句都是命题，凡是在陈述句中含有比喻、形容等词的，词义模糊不清的，都不是命题；?2?一般来说感叹句、疑问句、祈使句等语句都不是命题；?3?凡是悖论都不是命题；?4?凡是科学猜想都是命题.
下列语句，不是命题的是( B )
A．5>12
B．x>0
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．三角形的三条高线交于一点
解析：选项A能判断不成立，选项C，D都能判断成立，但选项B不能判断是否成立．
类型二
命题的真假判断
【例2】 已知a、b是两个实数，试判断下列命题的真假．
(1)如果a、b是正实数且a2>b2，那么a>b.
(2)如果a、b是任意实数且a2>b2，那么a>b.
【解】 (1)∵a2>b2，∴a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0.
又∵a>0，b>0，∴a＋b>0.
因此，a－b>0，即a>b.
所以，命题(1)是真命题．
(2)取a＝－2，b＝1，a2>b2，但a
?1?判断一个命题的真假时，首先要弄清楚命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理来判定.
?2?要说明一个命题为真命题，必须由条件及相关知识，通过严格的逻辑推理得到结论；而要证明一个命题为假命题，只需举一个反例即可.
给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①②③④都不正确．
类型三
命题的结构
【例3】 指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；
(2)若a>0，b>0，则a＋b<0；
(3)面积相等的两个三角形全等．
【分析】 注意对命题的表述形式进行改变，然后找出其条件和结论．
【解】 (1)条件p：整数a能被2整除，结论q：a是偶数．这是一个真命题．
(2)条件p：a>0，b>0，结论q：a＋b<0.这是一个假命题．
(3)命题改写为：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．
条件p：两个三角形面积相等，结论q：这两个三角形全等．这是一个假命题．
?1?数学中的命题基本上都是“若p，则q”的形式，但也有一些命题，从形式上看，不是“若p，则q”的形式，而将其表述进行适当改变，也可以写成“若p则q”的形式，因此在研究命题时，不要受其形式的影响.
?2?改写命题时，不能把大前提放在条件中，应写在“若”前面，仍作为命题的大前提.
?3?对一个命题的形式进行改写后，其真假性保持不变.
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)两个相似三角形是全等三角形；
(3)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(3)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
类型四
素养提升
改写命题时忽略大前提
【例4】 将命题“当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大”写成“若p，则q”的形式．
【错解】 “若p，则q”的形式：若a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
【错因分析】 原命题有两个条件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是大前提，将原命题改写为“若p，则q”的形式时，要把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为条件．
【正解】 “若p，则q”的形式：当a>0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也增大．
【解后反思】 有大前提的命题，改写成“若p，则q”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p，则q”．
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.
解：(1)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，真命题．
(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．例如y＝4，x＝3也符合条件.
1．判断下列语句哪个是命题( A )
A．是无限不循环小数
B．3x≤5
C．什么是“温室效应”？
D．明天给我买本《红对勾》！
解析：选项A，“是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项B，因为无法判断“3x≤5”的真假，所以选项B错；选项C是疑问句，选项D是祈使句，故都不是命题．
2．下列语句中不是命题的是( C )
A．y＝sinx(x∈R)是奇函数
B．tan＝
C．这是一条大河
D．x∈R，x2＋2x＋1≥0
解析：选项C，“这是一条大河”不是命题，因为“大河”没有界定标准，故不能判断“这是一条大河”的真假．
3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是函数为y＝2x＋1，结论是该函数是增函数．
4．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②二次函数的图象与x轴有公共点；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题是①④(写出所有真命题的编号)．
解析：对于②，二次函数的图象与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．
5．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根；
(2)同弧所对的圆心角不相等；
(3)正n边形(n≥3)的n个内角都相等．
解：(1)∵Δ＝4＋4k>0，∴是真命题．
(2)若两个角是同弧所对的圆心角，则它们不相等．假命题．
(3)若多边形是正n边形(n≥3)，则它的n个内角都相等．真命题．
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1
-1．1.2 四种命题
[目标]
1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的概念.2.会写出一个命题的其他三种命题，并会判断真假．
[重点]
给出一个命题，写出它的其余三种命题．
[难点]
对一些词语的否定，如“都是”、“全都”、“有的”等词语的否定．
知识点
四种命题的相关概念
[填一填]
1．原命题与逆命题：
(1)关系：条件与结论互换．
(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则逆命题为，”．
(3)结论：这两个命题叫做互逆命题．
2．原命题与否命题：
(1)关系：条件与结论都要否定．
(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则否命题为“若綈，则綈”．
(3)结论：这两个命题叫做互否命题．
3．原命题与逆否命题：
(1)关系：条件与结论既要否定，又要互换．
(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“若綈，则綈”．
(3)结论：这两个命题叫做互为逆否命题．
[答一答]
1．在四种命题中，原命题是固定的吗？
提示：不是．原命题是人为指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他形式．
2．如何写出一个命题的其他三种命题？
提示：写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题时，首先要找出该命题的条件和结论．逆命题是将原命题的条件和结论交换位置；否命题是对原命题的条件和结论都加以否定；逆否命题是对原命题的条件和结论交换位置，同时都加以否定．在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或者重复，如“x>0”的否定是“x≤0”，而不是“x<0”．
3．命题“若x≥0，则2x＋1≥1”的否命题是什么？
提示：若x<0，则2x＋1<1.
1．对四种命题概念的认识
(1)原命题与逆命题：
①逆命题是将原命题的条件与结论互换，写原命题的逆命题时，不要交换命题的前提条件；
②原命题也可以看作是它的逆命题的逆命题．
(2)原命题与否命题：
①写一个命题的否命题时，要对条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误；
②原命题也可以看作是它的否命题的否命题．
(3)原命题与逆否命题：将原命题的条件和结论“换位”得逆命题，“换质”(即否定)得否命题，既“换位”又“换质”得逆否命题．
2．四种命题的相互关系
(1)原命题是相对于逆命题、否命题、逆否命题而言的，任何一个给定的命题都可以作为原命题．
(2)明确原命题的逆命题、否命题、逆否命题的条件和结论的位置关系和否定关系是解决四种命题的关键．
类型一
写出一个命题的其他三种命题
【例1】 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)垂直于同一平面的两直线平行；
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
【分析】 由题目可以获取以下主要信息：
①第一个命题的条件是垂直于同一平面的两条直线，结论是两直线平行；
②第二个命题的条件和结论非常清楚．
解答本题时可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．
【解】 (1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.
?1?写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.
?2?另外在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)直角等于90°；
(2)若m≤0，n≤0，则m＋n≤0.
解：(1)原命题：若一个角是直角，则它等于90°.
逆命题：若一个角等于90°，则它是直角．
否命题：若一个角不是直角，则它不等于90°.
逆否命题：若一个角不等于90°，则它不是直角．
(2)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0且n≤0.
否命题：若m>0或n>0，则m＋n>0.
逆否命题：若m＋n>0，则m>0或n>0.
类型二
四种命题及其真假判断
【例2】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
(4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.
【分析】 找出命题的条件p和结论q.根据四种命题的条件和结论的关系写出其余三种命题．
【解】 (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根．则q≥1，真命题．
(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
(4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．
否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．
逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．
?1?对于不含关联词的命题，要先把命题写成“若p，则q”的形式，有些命题的条件和结论含有前提条件，在改写时，前提条件的位置不能改变，即前提条件不能作为命题的条件.
?2?判断一个命题是真命题，可以根据定义、定理证明，判断一个命题是假命题，只要举出反例即可.
写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：若a>b，则ac2>bc2.
解：原命题：若a>b，则ac2>bc2，是假命题；
逆命题：若ac2>bc2，则a>b，是真命题；
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，是真命题；
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，是假命题．
类型三
素养提升
命题中条件与结论的否定错误
【例3】 写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
【错解】 原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数，是真命题．
逆命题：若两个整数都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数，是真命题．
否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数不都是偶数，是真命题．
逆否命题：若两个整数不都是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数，是真命题．
【错因分析】 对“都不是”的否定，大家可能都会误认为是“不都是”，这是错误的，应为“至少有一个是”，而“不都是”是对“都是”的否定．
【正解】 原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数，是真命题．
逆命题：若两个整数都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数，是真命题．
否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数中至少有一个是偶数，是真命题．
逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数，是真命题．
【解后反思】 在否定一个命题的条件或结论时，往往会对问题的否定不全面，尤其是对含有“全”“都”“都不”等词语的命题的否定，极易犯此类错误．
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．并判断其真假．
(1)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(2)若a、b都是奇数，则ab必是奇数．
解：(1)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；(真)
否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0；(真)
逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)
(2)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数；(真)
否命题：若a、b不都是奇数，则ab不是奇数；(真)
逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不都是奇数．(真)
1．若x>y，则x2>y2的否命题是( C )
A．若x≤y，则x2>y2
B．若x>y，则x2C．若x≤y，则x2≤y2
D．若x2．命题“若a2＝b2，则|a|＝|b|”的逆命题为( C )
A．若a2＝b2，则|a|≠|b|
B．若a2≠b2，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a2＝b2
D．若|a|≠|b|，则a2≠b2
解析：根据逆命题的定义可知逆命题为：若|a|＝|b|，则a2＝b2.故选C.
3．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是互逆命题．
解析：两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．
4．命题“若直线a，b不平行，则直线a，b相交”的否命题的逆命题为若直线a，b不相交，则直线a，b平行，这是假命题(填真、假)．
5．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．
解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题．
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题．
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．
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-1.1.3 四种命题间的相互关系
[目标]
1.会分析四种命题的关系，并能利用其关系解决一些问题.2.理解转化思想和正难则反的方法，培养辨析能力、分析问题和解决问题的能力．
[重点]
四种命题的相互关系．
[难点]
会用互为逆否关系解决一些问题．
知识点一
四种命题之间的关系
[填一填]
[答一答]
1．在四种命题中，具有互逆、互否、互为逆否关系的命题各有两对？
提示：正确，从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各有两对．
知识点二
四种命题的真假性之间的关系
[填一填]
1．两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
2．两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[答一答]
2．四种命题中真命题有几个？
提示：因为原命题与逆否命题有相同的真假性，逆命题与否命题有相同的真假性，因此四种命题中真命题的个数一定为偶数，即真命题的个数只可能为0,2,4.
说明：根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4，可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确．
3．如何运用互为逆否命题的两个命题之间的关系？
提示：互为逆否命题的两个命题同真同假，也称为等价命题，在本节的主要应用有两点：
(1)通过判断逆否命题的真假判断原命题的真假．
(2)用于证明命题：当原命题的真假性不易证明时，可以先证明它的逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性．
1．对四种命题的真假性判断要注意：原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价．
2．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．如果直接判断或证明一个命题的真假性有困难，那么可以转化为判断或证明它的逆否命题的真假性．这种证法可称为逆否证法．
类型一
四种命题间的相互关系
【例1】 已知命题“如果|a|≤1，那么关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为?”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的有几个？并说明理由．
【分析】 可写出命题的具体形式，再逐个判定真假，也可由“互为逆否命题的命题同真同假”简单判定．
【解】 由|a|≤1，得－1≤a≤1，且Δ＝(a＋2)2＋4(a2－4)＝52－－12≤52－－12<0.所以原命题为真、逆否命题为真；反之，如a＝－2时，所给不等式的解集为空集，但a?[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．所以假命题有2个．
?1?要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”.互为逆否的命题同真同假.
?2?判定命题为假命题，只要举一反例即可.
原命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．
否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题。
逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．
类型二
原命题与逆否命题等价性的应用
【例2】 求证：当a2＋b2＝c2时，a，b，c不可能都是奇数．
【分析】 可将要证明的问题看作一个命题，只需证明这个命题是真命题即可，若证明这个命题本身比较困难，则可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题．
【证明】 构造命题p：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．
该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.下面证明该逆否命题是真命题．
由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2＋b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．
正难则反思想的利用：我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.
求证：若a＋b≥6，则a，b中至少有一个不小于3.
证明：构造命题p：若a＋b≥6，则a，b中至少有一个不小于3，则其逆否命题为：若a，b都小于3，则a＋b<6.
而当a<3，且b<3时，必有a＋b<6，所以逆否命题为真，从而原命题p为真命题，故原结论成立．
类型三
由命题的真假求参数
【例3】 已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋<1，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
【分析】 先求不等式的解集，然后根据条件建立不等式组求解即可．
【解】 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋<1，得x2－4x<0，解得0因为命题p为真命题，命题q为假命题，
所以，解得x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
一般地，若命题q是假命题，那么命题非q就是真命题，它们的交集为?，并集为全集R，实质上当命题q是假命题时，可先求出命题q为真命题时的解集，然后求其补集即命题q为假命题时的解集即可.
已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x<0}，若命题A∩B＝?是真命题，试求实数a的取值范围．
解：命题A∩B＝?是真命题，即A∩B＝?成立．
当a＝0时，集合A＝?，满足题意；
当a≠0时，集合A＝{x|x＝}，若A∩B＝?，则≥0，解得a>0.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥0}．
类型四
素养提升
等价命题的应用
【例4】 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【证明】 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，
若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)f(b)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．
【解后反思】 根据原命题的逆否命题的真假来判断原命题的真假，有时可以简化解题步骤，达到事半功倍的效果．
判断下列命题的真假．
(1)若xy≠6，则x≠2或y≠3；
(2)若x＝2或x＝3，则(x－2)(x＋1)＝0.
解：(1)所给命题的逆否命题是“若x＝2且y＝3，则xy＝6”，显然成立，所以所给命题是真命题．
(2)所给命题的逆否命题是“若(x－2)(x＋1)≠0，则x≠2且x≠3”，是假命题，所以所给命题是假命题．
1．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( B )
A．命题p是真
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
解析：由于一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互为逆否命题的真假性是一致的，所以命题p的否命题是假命题．故选B.
2．若p?q，则下列式子恒成立的是( C )
A．q?綈p
B．綈p?綈q
C．綈q?綈p
D．綈q?/綈p
解析：因为原命题和它的逆否命题同真同假，所以若p?q，则有綈q?綈p，选C.
3．“若tanθ＝，则θ＝60°”的否命题是若tanθ≠，则θ≠60°，否命题是真命题(填真、假)．
4．命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为10的常用对数是1，是真命题(填真、假)．
5．写出命题“设x为实数，若x>0，则x2>0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：设x为实数，若x2>0，则x>0，逆命题为假命题；否命题：设x为实数，若x≤0，则x2≤0，否命题为假命题；逆否命题：设x为实数，若x2≤0，则x≤0，逆否命题为真命题．
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1
-1.2.1 充分条件与必要条件
[目标]
1.理解充分条件、必要条件的意义.2.掌握判断命题的充分且必要条件的方法.3.能进行有关充分条件、必要条件的判断．
[重点]
充分条件与必要条件的判断及应用．
[难点]
对充分条件与必要条件的理解．
知识点
充分条件与必要条件
[填一填]
1．充分条件：
如果p?q，则p叫q的充分条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件．
2．必要条件：
如果q?p，则p叫q的必要条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件．
[答一答]
1．如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
提示：由上述定义知“p?q”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p，q是p成立的必不可少的条件，但有q未必一定有p.
2．若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？
提示：不唯一．如10的充分条件，又如，x>5,20的充分条件．
3．用集合的观点如何理解充分条件与必要条件？
提示：设p：x∈A，q：x∈B.
1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．
2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．
类型一
用定义法判断充分条件、必要条件
【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件？(在充分不必要条件、必要不充分条件、充分且必要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)
(1)p：0(2)p：函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，q：a＝2；
(3)p：x－3，x，x成等比数列，q：x＝4；
(4)p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形；
(5)p：m【分析】 针对每个命题，分析判断p?q，q?p是否成立，再结合充分条件、必要条件的定义得出结论．
【解】 (1)当0(2)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，当a>1时，得a2＝4，所以a＝2，当00，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，可得a＝2或a＝，即p?q；但当a＝2时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)由x－3，x，x成等比数列可得2＝(x－3)x，解得x＝4或x＝0，但当x＝0时x＝x＝0，不符合题意，舍去，即x的值等于4，即p?q；当x＝4时，显然x－3，x，x成等比数列，即q?p，故p是q的充分且必要条件．
(4)四边形的四条边相等，不一定得出该四边形为正方形，即p?q；但当四边形是正方形时，其四条边一定相等，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(5)当m?1?判断p是q的什么条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立，若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.
?2?关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p?q及q?p的真假时，也可以从集合角度入手去判断，结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
(1)“a>0”是“|a|>0”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)若a，b∈R，则“a>b>0”是“a2>b2”成立的( B )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(1)因为“a>0”?“|a|>0”，但是“|a|>0”?“a>0或a<0”，所以“|a|>0”推不出“a>0”，故“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件，故选A.
(2)由不等式的性质可得a>b>0?a2>b2>0，由a2>b2可得|a|>|b|，不一定有a>b>0，也可a0，b<0且a>－b，故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件．
类型二
用集合法判断充分条件、必要条件
【例2】 0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】 |x－2|<4?－2【解析】 由题意，设A＝{x|0从而有A?B，所以A中元素一定是B中的元素，
而B中存在A中没有的元素，
故0而|x－2|<40所以0故选A.
【答案】 A
,
设p：x2－x－20>0，q：<0，则p是q的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：对于p：由x2－x－20>0，解得x>5或x<－4.
对于q：当x≥0时，有<0，
即>0，解得x>2或－1而x≥0，∴0≤x<1或x>2；
当x<0时，同理，解得－1即q：－12.
显然p是q的充分不必要条件．故选A.
类型三
求参数的取值范围
【例3】 已知p：关于x的不等式【分析】 求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．
【解】 记A＝，B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0(1)A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠?，即<，解得m>0，
要使A?B，应有
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．
?1?根据定义，已知p是q的充分条件?或q是p的必要条件?，则p?q成立.
?2?可从集合的角度判断：
①若集合A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件.
②若集合AB，则A不是B的充分条件，B也不是A的必要条件.
已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．
解：由(x－a)2<1得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1∵M是N的充分条件，∴M?N，∴，
解得－2≤a≤7.故a的取值范围是－2≤a≤7.
类型四
素养提升
对充分、必要条件的概念理解不透
【例4】 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5}
D．x≤－或x≥3
【错解】 ∵2x2－5x－3≥0，
∴x≤－或x≥3.
∵?{x|x<0或x>2}，
∴选B.
【错因分析】 选的是条件，因此选项应为条件p，而不等式2x2－5x－3≥0的解集为结论q.
【正解】 ∵2x2－5x－3≥0，
∴x≤－或x≥3.
∵{－1,3,5}?，
∴{－1,3,5}是的充分不必要条件．选C.
使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( B )
A．x≥0
B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0
D．2x<1
解析：∵|x|＝x?x≥0，
∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．
对于选项B，
∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
1．使不等式>成立的充分条件是( D )
A．aB．a>b
C．ab<0
D．a>0，b<0
解析：a>0，b<0?>.
2．使不等式a2>b2成立的必要条件是( C )
A．aB．a>b
C．|a|>|b|
D．ab>0
解析：a2>b2?|a|>|b|.
3．a为素数不是a为奇数的充分条件(填“是”或“不是”)．
解析：若a＝2，a是素数，但不是奇数．
4．若“x2＋ax＋2＝0”是“x＝1”的必要条件，则a＝－3.
解析：由题知x＝1?x2＋ax＋2＝0，即x＝1是方程x2＋ax＋2＝0的根．∴a＝－3.
5．说出下列各小题中，p是q的什么条件．
(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x<2；
(2)p：－2(3)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4.
解析：(1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<2}，
显然，A?B，∴p?q，但q?/p，即p是q的充分不必要条件．
(2)令A＝{x|－2∵B?A，∴p?/q，但q?p，∴p是q的必要不充分条件．
(3)令A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．
∵A＝B，∴p?q，即p是q的充分且必要条件．
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-1.2.2 充要条件
[目标]
1.会判断一个命题的充要条件.2.会求一个命题的充要条件.3.会证明p是q的充要条件．
[重点]
充要条件的判断与证明及充要条件的探求．
[难点]
对充要条件的理解及含参数问题的讨论．
知识点
充要条件
[填一填]
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
[答一答]
1．符号“?”的含义是什么？
提示：符号“?”的含义是“等价于”，例如“p?q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q当且仅当p”；“p?q”的含义还可以理解为“p?q且q?p”．
2．充要条件与原命题、逆命题有什么关系？
提示：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题．
1．充要条件的探求
探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
2．充要条件的证明
充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性．
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
类型一
充要条件的判断
【例1】 下列所给的p、q中，p是q的充要条件的所有序号为________．
①p：x＝1，q：lnx＝0；②p：a2＝b2，q：a＝b；
③p：|x|>3，q：x2>9；④p：x>y>0，q：x2>y2.
【分析】 ?
【解析】 ①由于p：x＝1?q：lnx＝0，所以p是q的充要条件；
②由于p：a2＝b2?/q：a＝b，所以p不是q的充要条件；
③由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要条件；
④由于p：x>y>0?/q：x2>y2，所以p不是q的充要条件．
【答案】 ①③
若原命题“若p，则q”为真命题，且逆命题“若q，则p”也为真命题，即p?q，那么p是q的充要条件，同时q是p的充要条件.
p是q的充要条件的是( D )
A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5
B．p：a>2，b<2，q：a>b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解
解析：对A.p：x>1，q：x<1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对B.p?q，但q?/p，p是q的充分不必要条件；对C.p?/q，但q?p，p是q的必要不充分条件；对D.p?q，且q?p，即p?q，p是q的充要条件．故选D.
类型二
充要条件的证明
【例2】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【分析】 (1)先分清条件和结论，然后证明充分性和必要性．(2)本题中的条件是ac<0，结论是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．(3)本题要借助于判别式和根与系数的关系的相关知识来证明．
【解】 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.
充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
(1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”即q?p；证明必要性时则以p为“已知条件”，即p?q.
(2)证明“充要条件”的一般步骤：
→
→→
求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0.
所以x2＋mx＋1＝0有实根，两根设为x1、x2.
由韦达定理，知x1x2＝1>0，所以x1与x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负实数，
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根x1和x2，
且x1x2＝1，所以
故m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.
综上，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
类型三
充要条件的探求
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋b(a≠0，且a≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件．
【分析】 可以先求必要条件，再求充分条件，注意等比数列的定义及性质的应用．
【解】 (1)先求必要条件：
当n＝1时，a1＝S1＝a＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1(a≠0，且a≠1)，
∵数列{an}为等比数列，∴公比为a，且a－1＝a＋b.
∴b＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是b＝－1.
(2)再求充分条件：
当b＝－1时，Sn＝an－1(a≠0，且a≠1)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1.
当n＝1时，a1＝S1＝a－1，满足上式．
∴an＝(a－1)an－1(a≠0，a≠1，n≥1)．
∴＝a(n≥2)．
∴{an}是以a(a≠0,1)为公比的等比数列．
∴{an}是等比数列的充分条件是b＝－1.
综上，{an}是等比数列的充要条件为b＝－1.
探求充要条件一般有两种方法：
(1)等价转化法，将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，探求的过程，同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
(2)非等价转化法，先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从必要性和充分性两方面说明．
求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解：当a＝0时，x＝－符合题意．
当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1>0，
∴当a>0时，Δ＝4－4a≥0，且－<0，
即00，
所以方程恒有负实数根．综上所述，a≤1为所求．
类型四
素养提升
等价转化法判断充要条件
【例4】 “a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【思路分析】 利用逆否命题等价问题求解．
【精解详析】 记p：a≠1或b≠2，q：a＋b≠3，
綈q：a＋b＝3，綈p：a＝1且b＝2，
∵綈q?/綈p但綈p?綈q，∴綈q是綈p的必要不充分条件，
即p是q的必要不充分条件．故选B.
【解后反思】 由于“a≠1或b≠2”推“a＋b≠3”不方便判断真假，所以利用原命题与逆否命题的真假等价性，转化到逆否命题的真假判断上来，从而使问题易于解决．
已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由于綈p：a＝0，綈q：ab＝0，
且綈p?綈q，綈p?/綈q，
其等价形式为q?p，q?/p，
所以p是q的必要不充分条件．
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y?|x|＝|y|.
2．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：b＝c＝0?y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点?c＝0，b不一定等于0，
故选A.
3．集合M∩N＝N是M∪N＝M的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：M∩N＝N?N?M?M∪N＝M.
4．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是1解析：x2－3x＋2<0?(x－1)(x－2)<0?15．求关于x的二次方程x2－mx＋m2－4＝0有两个不相等的正实根的充要条件．
解：设x1，x2为二次方程x2－mx＋m2－4＝0的两个不相等的正实根，
则即
解得所以2因此关于x的二次方程x2－mx＋m2－4＝0有两个不相等的正实根的充要条件是2PAGE
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-1.3 简单的逻辑联结词
[目标]
1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．
[重点]
1.了解“或”，“且”，“非”的含义；2.能判断命题“p∧q”，“p∨q”，“非p”的真假．
[难点]
1.应用逻辑联结词表述命题；2.含参数问题的讨论．
知识点一
逻辑联结词“且”“或”“非”
[填一填]
[答一答]
1．逻辑联结词“或”与生活中的“或”有什么区别？
提示：逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者只包括“或此、或彼”两种情形．
2．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？
提示：命题“綈p”与“p的否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论．
如：若命题p为“若s则t”，则綈p：若s则綈t，否命题：若綈s则綈t.
知识点二
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[填一填]
[答一答]
3．不等式5≥3是否成立？
提示：这是“p∨q”类型的命题，其中p：5>3，是真命题，q：5＝3，是假命题，所以p∨q是真命题，故5≥3成立．
4．为什么命题“方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或x＝2”不是“p或q”形式的命题？
提示：此命题是真命题．假设它是由命题p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1和命题q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2用“或”联结而成的，因为命题p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1是假命题，同理可知，命题q也是假命题，所以p或q是假命题，与原命题是真命题矛盾，所以原命题不是“p或q”形式的命题，原命题中的“或”不是逻辑联结词．
1．含有“且”“或”“非”的命题的构成分析
用“且”“或”“非”联结的命题称为复合命题，但判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，而是一个复合条件的简单命题．
2．常见词语的否定
对简单命题的否定要注意一些常见否定词的使用，下面是常用的正面叙述词语和它的否定词语.
原词语
等于
大于(>)
小于(<)
是
都是
否定词语
不等于
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
原词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
原词语
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
某个
某两个
某些
不能
3.命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆
(1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；
(2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．
类型一
用逻辑联结词构造命题
【例1】 指出下列命题的构成形式，以及构成它的简单命题：
(1)1是质数或合数；
(2)他是运动员兼教练；
(3)不等式|x－2|≤0没有实数解；
(4)要么周长相等的两个三角形全等，要么面积相等的两个三角形全等；
(5)这部作品不仅艺术上有缺点，而且政治上也有错误．
【分析】 根据命题中所使用的逻辑联结词，或者命题所表达的实际意义判断命题的结构．
【解】 (1)这个命题是p∨q形式，其中p：1是质数，q：1是合数．
(2)这个命题是p∧q形式，其中p：他是运动员，q：他是教练．
(3)这个命题是?p形式，其中p：不等式|x－2|≤0有实数解．
(4)这个命题是p∨q形式，其中p：周长相等的两个三角形全等，q：面积相等的两个三角形全等．
(5)这个命题是p∧q形式，其中p：这部作品艺术上有缺点，q：这部作品政治上有错误．
?1?辨别含逻辑联结词的命题的构成形式时，应根据组成含逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定含逻辑联结词的命题的形式，准确理解语义应注意抓住一些关键词.如“是……也是……”，“兼”，“不但……而且……”，“既……又……”，“要么……，要么……”等.
?2?要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式.如a≥3是a>3或a＝3，xy＝0是x＝0或y＝0，x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.
指出下列命题的构成形式，以及构成它的简单命题：
(1)48是16与12的公倍数；
(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；
(3)相似三角形的周长相等或对应角相等；
(4)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．
解：(1)这个命题是p∧q形式，其中p：48是16的倍数，q：48是12的倍数．
(2)这个命题是?p形式，其中p：方程x2＋x＋3＝0有实数根．
(3)这个命题是p∨q形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等．
(4)这个命题是p∧q形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧．
类型二
含逻辑联结词的命题的真假
【例2】 指出下列命题的真假．
(1)不等式|x＋2|≤0没有实数解；
(2)－1是偶数或奇数；
(3)属于集合Q，也属于集合R.
【解】 (1)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即綈p为假命题，所以原命题为假命题．
(2)此命题是“p∨q”的形式，其中p：－1是偶数；q：－1是奇数．因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以“p∨q”为真命题，故原命题为真命题．
(3)此命题是“p∧q”的形式，其中p：属于集合Q；q：属于集合R.因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以“p∧q”为假命题，故原命题为假命题．
判断复合命题的真假的步骤：?1?确定复合命题的构成形式；?2?判断其中简单命题的真假；?3?根据真值表判断复合命题的真假.
分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)A
(A∪B)．
解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A?(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题．
类型三
利用命题的真假求参数的取值范围
【例3】 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在区间(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【解】 当0函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；
当a>1时，函数y＝loga(x＋1)在区间(0，＋∞)内不是单调递减；
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于Δ＝(2a－3)2－4>0，即0.
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
∴命题p与命题q恰好一真一假，
当p真，q假时，函数y＝loga(x＋1)在区间(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于一点或没有交点，因此a∈(0,1)∩([，1)∪(1，])，即a∈[，1)；
当p假，q真时，函数y＝loga(x＋1)在区间(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，因此，a∈(1，＋∞)∩((0，)∪(，＋∞))，即a∈(，＋∞)．
综上可知，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，求出其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围.当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围.
已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若命题“p∧q”与命题“綈q”都是假命题，求实数m的取值范围．
解：p满足，
解得m>2；
q满足Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
解得1∵命题“綈q”是假命题，
∴命题q是真命题，
又∵命题“p∧q”是假命题，
∴命题p是假命题，
∴，
解得1类型四
素养提升
命题的否定与否命题
【例4】 写出下列命题的否定形式和否命题：
(1)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零；
(2)若x2＋y2＝0，则x、y全为零；
(3)等腰三角形有两个内角相等．
【精解详析】 (1)否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零；否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．
(2)否定形式：若x2＋y2＝0，则x、y不全为零；否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零．
(3)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等；
否命题：不是等腰三角形的任意两个内角都不相等．
【解后反思】 命题的否定(即綈p)与否命题是容易混淆的两个概念，准确把握它们之间的联系与区别．
(1)区别：①概念：命题的否定形式是直接对命题进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所组成的命题．
②构成：对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则綈q”，也就是不改变条件，而否定结论；而其否命题则为“若綈p，则綈q”，也就是条件和结论都否定．
③真值：否定命题的真值与原命题相反；而否命题的真值与原命题无关．
(2)联系：①它们都是把原命题的条件或结论否定后组成的新命题．
②它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定为“至少有两个”)．
写出下列命题的否定形式和命题的否命题．
(1)若a>b，则a－2>b－2；
(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上．
解：(1)否定形式：若a>b，则a－2≤b－2；
否命题：若a≤b，则a－2≤b－2.
(2)否定形式：到圆心的距离等于半径的点不在圆上；
否命题：到圆心的距离不等于半径的点不在圆上．
1．命题
“梯形的两对角线互相不平分”的形式为( C )
A．p∨q
B．p∧q
C．綈p
D．简单命题
解析：设p：梯形的两对角线互相平分，则本题是綈p形式．
2．命题
“xy≠0”是指( A )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个为0
D．x，y不都是0
解析：在x，y中若有一个为0，
则xy＝0，故x，y都不是0，选A.
3．选用綈，∧，∨填空，使下列命题成为真命题
：
(1)x∈(A∪B)，则x∈A∨x∈B；
(2)x∈(A∩B)，则x∈A∧x∈B；
(3)若ab＝0，则a＝0∨b＝0；
(4)a，b∈R，a>0∧b>0，则ab>0.
4．由命题
p：“矩形有外接圆”，q：“矩形有内切圆”组成的命题“綈p”“p∧q”“p∨q”形式的命题中真命题是p∨q.
解析：命题p为真命题，命题q为假命题，
故p∧q为假，p∨q为真，綈p为假．
5．分别写出由下列命题构成的“綈p”“p∧q”“p∨q”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋3≤2的解集为?.
解：(1)綈p：梯形没有对边平行或有两组对边平行．
p∧q：梯形有一组对边平行且相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或相等．
∵p真q假，∴“綈p”为假，“p∧q”为假，“p∨q”为真．
(2)綈p：不等式x2－2x＋1>0的解集不是R.
p∧q：不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋3≤2的解集为?.
p∨q：不等式x2－2x＋1>0的解集为R或不等式x2－2x＋3≤2的解集为?.
∵p假q假，
∴“綈p”为真，“p∧q”为假，“p∨q”为假．
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1
-1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
[目标]
1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念.2.能准确地使用全称量词和存在量词符号(即?，?)来表述相关的数学内容．
[重点]
对全称量词与存在量词的理解；能够用全称量词表示全称命题，用存在量词表示特称命题．
[难点]
全称命题与特称命题的真假判断．
知识点一
全称量词和全称命题
[填一填]
(1)全称量词：
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)全称命题：
①定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题．
②一般形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题．
[答一答]
1．常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除了“所有的”“任意一个”，还有“一切”“每一个”“任给”等．
2．全称命题中的“x”，“M”与“p(x)”表达的含义分别是什么？
提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”．
3．如何判断全称命题的真假呢？
提示：要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
知识点二
存在量词和特称命题
[填一填]
(1)存在量词：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)特称命题：
①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题．
②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
[答一答]
4．常见的存在量词有哪些？
提示：常见的存在量词除了“存在一个”“至少有一个”，还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
5．如何判断特称命题的真假呢？
提示：要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题．
判断一个语句是全称命题还是特称命题时，首先要判定语句是否是命题，然后再分析命题中所含量词，含有全称量词的是全称命题，含存在量词的是特称命题．有些全称命题中虽然不含有全称量词，但我们可根据命题所涉及的意义去判断，如“实数的绝对值是非负数”，省略了“任意”，但它仍然是全称命题．
类型一
全称命题与特称命题的判定
【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题？
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有些素数的和仍是素数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
【分析】 首先看命题中是否含有全称量词或存在量词，若含有相关量词，则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题；若没有，要结合命题的具体意义进行判断．
【解】 (1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故为全称命题．
(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤
?1?首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题.
?2?若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题.
?3?当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.
?4?一个全称命题?或特称命题?往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称量词?或存在量词?，应结合具体问题多加体会.
下列命题中，是全称命题的是①②③，是特称命题的是④(填序号)．
①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
类型二
用量词表示命题
【例2】 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)整数中1最小；
(3)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；
(4)有一个质数是偶数．
【分析】 →
【解】 (1)任意一个有理数都能写成分数形式．
(2)所有的整数中1最小．
(3)存在实数x0，使x＋2x0＋8＝0成立．
(4)存在一个质数是偶数．
由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称命题或特称命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了.
用量词符号表述全称命题．
(1)任一个实数乘以－1都等于它的相反数；
(2)对任意实数x，都有x3>x2.
解：(1)?x∈R，x·(－1)＝－x.
(2)?x∈R，x3>x2.
类型三
全称命题与特称命题的真假判断
【例3】 判断下列命题的真假．
(1)不论实数a为何值，直线(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0恒过定点；
(2)存在实数k，使原点到直线kx＋2y－1＝0的距离为1.
【分析】 先确定命题的形式，再检验或证明命题的真假．
【解】 (1)由(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0，
得(2x－3y＋1)a＋3x＋4y－7＝0，
令
解得
故直线(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0恒过定点(1,1)，所以该命题为真命题．
(2)由于原点到直线kx＋2y－1＝0的距离d＝≤<1，故不存在实数k使原点到直线kx＋2y－1＝0的距离为1，即该命题为假命题．
?1?判断全称命题?x∈M，p?x?是真命题，要对集合M中的每个元素x，证明p?x?成立；判断全称命题为假命题只需要在集合M中找到一个元素x0，使得p?x0?不成立，即找反例.
?2?判断特称命题?x∈M，p?x?是真命题，只需在集合M中找到x0，使得q?x0?成立即可，即举例加以说明；判断特称命题为假命题，需要证明集合M中使得q?x?成立的元素不存在.
下列命题中的假命题是( C )
A．?x∈R，lgx＝0
B．?x∈R，tanx＝1
C．?x∈R，x3>0
D．?x∈R,2x>0
解析：当x＝1时，lgx＝0，A正确；当x＝时，tanx＝1，B正确；?x∈R,2x>0，D正确；只有C错误，当x≤0时，x3≤0.故选C.
类型四
素养提升
根据全称命题、特称命题求参数的范围
【例4】 若?x0∈R，使cos2x0＋2sinx0＋a＝0，则实数a的取值范围是________．
【精解详析】 依题意，若?x0∈R，使cos2x0＋2sinx0＋a＝0，
则得a＝－cos2x0－2sinx0＝2sin2x0－2sinx0－1
＝2(sinx0－)2－，
令t＝sinx0，则a＝2(t－)2－，－1≤t≤1.
由于函数a(t)在－1≤t≤上单调递减，在所以当t＝时，取最小值a＝－；当t＝－1时，取最大值a＝3.所以－≤a≤3.故当－≤a≤3时满足条件，所以a的取值范围是[－，3]．
[答案] [－，3]
【解后反思】 (1)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上能成立，则f(x)min≤m；若不等式f(x)≥m在区间D上能成立，则f(x)max≥m.
(2)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则f(x)max≤m；若含有参数的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则f(x)min≥m.
(3)特称命题是真命题，可以转化为能成立问题，全称命题是真命题，可以转化为恒成立问题解决．
已知命题p：“?x0∈R，sinx00恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．
解：由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
因为“?x0∈R，sinx0－1.
又因为“?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，
所以Δ＝m2－4<0，解得－2综上所述，实数m的取值范围是(－1,2)．
1．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是( B )
A．真命题 B．全称命题
C．特称命题
D．不含量词的命题
解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．
2．既是特称命题，又是真命题的是( B )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.
3．下列命题是假命题的是( B )
A．?x∈R,3x>0
B．?x∈N，x≥1
C．?x∈Z，x<1
D．?x∈Q，?Q
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1.故“?x∈N，x≥1”是假命题．
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是①②③，既是特称命题又是真命题的是④⑤(填上所有满足要求的序号)．
解析：①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；⑤是特称命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
5．用符号“?”或“?”表示下面的命题，并判断真假．
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立；
(3)勾股定理．
解：(1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”．?x∈R，x2≥0.是真命题．
(2)?x∈R，y∈R,2x－y＋1<0，是真命题．
如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．
(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理．
即?Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2＋b2＝c2.是真命题．
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-1.4.3 含有一个量词的命题的否定
[目标]
1.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.2.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
[重点]
能够正确对含有一个量词的命题进行否定．
[难点]
含有一个量词的命题的否定在形式上的变化．
知识点一 含有一个量词的全称命题的否定
[填一填]
[答一答]
1．全称命题的否定一定是特称命题吗？
提示：是，因为全称量词的否定一定是存在量词，所以全称命题的否定一定是特称命题．
2．用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
知识点二 含有一个量词的特称命题的否定
[填一填]
[答一答]
3．为什么特称命题的否定一定是全称命题？
提示：因为对“有的”，“存在一个”，“至少一个”等词语的否定是“都没有”，“都不存在”，“全都不”等，所以特称命题的否定一定是全称命题．
4．“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”有什么区别与联系？
提示：(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定要在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述的对象的特征，挖掘其中的量词．全称命题的否定与全称命题的真假性相反；特称命题的否定与特称命题的真假性相反．
1．对全称命题的否定以及特点的理解
(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题，将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”，所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定．
(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题．
2．对特称命题的否定以及特点的理解
(1)由于全称命题的否定是特称命题，而命题p与綈p互为否定，所以特称命题的否定就是全称命题．
(2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题，叙述命题时要结合命题的内容和特点，灵活运用自然语言、符号语言进行描述，这样才能准确判断命题的真假.
(2)已知f(x)＝3sinx－πx，命题p：?x∈，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，?p：?x∈，f(x)≥0
B．p是假命题，?p：?x0∈，f(x0)≥0
C．p是真命题，?p：?x∈，f(x)≥0
D．p是真命题，?p：?x0∈，f(x0)≥0
(3)命题“所有人都遵纪守法”的否定为( )
A．所有人都不遵纪守法
B．有的人遵纪守法
C．有的人不遵纪守法
D．很多人不遵纪守法
【解析】 (1)因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定?p为?x0>0，使得ex0≤1.故选B.
(2)由正弦函数的图象，知?x∈，sinx(3)把量词“所有”改为“有的”，再否定结论，得“有的人不遵纪守法”，故选C.
【答案】 (1)B (2)D (3)C
全称命题的否定形式与判断真假的方法
?1?求全称命题的否定命题，先将全称量词调整为存在量词，再对性质p?x?否定为綈p?x?.
?2?若全称命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称命题为假命题，其否定命题就是真命题.
设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( D )
A．綈p：?x∈A,2x?B
B．綈p：?x?A,2x?B
C．綈p：?x?A,2x∈B
D．綈p：?x∈A,2x?B
解析：“任意”的否定是“存在”，则命题p：?x∈A,2x∈B的否定是綈p：?x∈A,2x?B.
类型二 特称命题的否定及真假判定
【例2】 写出下列特称命题p的否定綈p，并判断綈p的真假．
(1)p：?x0<0，x<0.
(2)p：?α0，β0∈R，cos(α0＋β0)＝cosα0＋cosβ0.
(3)p：有些数列既是等差数列又是等比数列．
【分析】 特称命题的否定是全称命题．
【解】 (1)綈p：?x<0，x2≥0.真命题．
(2)綈p：?α，β∈R，cos(α＋β)≠cosα＋cosβ.
由于当α＝，β＝时，
cos(α＋β)＝cosα＋cosβ＝，所以綈p为假命题．
(3)綈p：任何数列都不能既是等差数列又是等比数列．
由于非零常数既是等差数列又是等比数列，所以綈p为假命题．
特称命题的否定形式与判断真假的方法
?1?求特称命题的否定命题，先将存在量词调整为全称量词，再对性质p?x?否定为綈p?x?.
?2?由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.
写出下列特称命题p的否定綈p，并判断綈p的真假．
(1)p：?x0<0，x0＋＋2<0.
(2)p：存在一个向量与任意向量平行．
(3)p：存在实数m0，x2＋x＋m0＝0的两根都是正数．
解：(1)綈p：?x<0，x＋＋2≥0.
由于x<0时，x＋＝－(－x－)≤－2，
当且仅当x＝－1时取等号，
∴x＋＋2≤0，∴綈p为假命题．
(2)綈p：任何一个向量都不能与任意向量平行．假命题．
(3)綈p：对任意实数m，x2＋x＋m＝0的两根不都是正数．
假设x2＋x＋m＝0的两根x1，x2都是正数，
则必须即
此不等式组无解，所以不存在实数m0，
使x2＋x＋m0＝0的两根都是正数，命题p为假命题，
所以綈p为真命题．
类型三
含有一个量词的命题的否定的应用
【例3】 已知命题p(x)：sinx＋cosx>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.如果对于?x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．
【分析】 ?x∈R，p(x)为假命题，则其否定?x0∈R，綈p(x)为真命题，求出m的取值范围，再由q(x)为真命题，最后求出m的取值范围．
【解】 由于对?x∈R，命题p(x)：sinx＋cosx>m是假命题，则?x0∈R，sinx0＋cosx0≤m是真命题，
∵sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，
∴m≥－即可．
由于?x∈R，q(x)：x2＋mx＋1>0为真命题，
即对于?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，
有Δ＝m2－4<0，∴－2依题意，得－≤m<2.
所以实数m的取值范围是{m|－≤m<2}．
若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决.
若“?x∈[0，]，sinx＋cosxA．m<1
B．m≤1
C．m≤2
D．1≤m≤2
解析：令f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0，]，可知f(x)在[0，]上为增函数，在(，]上为减函数，由于f(0)＝，f()＝2，f()＝1，所以1≤f(x)≤2，由于“?x∈[0，]，sinx＋cosx类型四 素养提升
对含有一个量词的命题的否定不完全
【例4】 已知命题p：存在一个实数x0，使得x－x0－2<0，写出綈p.
【错解一】 綈p：存在一个实数x0，使得x－x0－2≥0.
【错解二】 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
【错因分析】 该命题是特称命题，其否定应是全称命题，但错解一得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定．错解二只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
【正解】 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
【解后反思】 对含有量词的命题进行否定时，(1)牢记全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定；也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定．(2)牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此检验命题的否定是否正确．
已知命题p：?x∈R,2x<3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( B )
A．p∧q
B．綈p∧q
C．p∧綈q
D．綈p∧綈q
解析：容易判断当x≤0时命题p为假命题．分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象(图略)，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．
1．命题：“?x∈R，都有x2－x＋1>0”的否定是( C )
A．?x∈R，都有x2－x＋1≤0
B．?x0∈R，使x－x0＋1>0
C．?x0∈R，使x－x0＋1≤0
D．以上均不正确
解析：原命题为全称命题，其否定为特称命题，故选C.
2．命题“存在x0∈R,
≤0”的否定是( D )
A．不存在x0∈R,
>0
B．存在x0∈R,
≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题．
3．命题“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是?x∈R,3x2－2x＋1≤0.
4．命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5<0是特称命题(填“全称命题”或“特称命题”)，它是假命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.
解析：命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5<0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，
所以命题p为假命题．
命题p的否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.
5．写出下列命题p的否定綈p，并判断命题綈p的真假．
(1)p：?x∈R，x2＋x＋1>0.
(2)p：?x0，y0∈R,
＋(y0＋1)2＝0.
解：(1)綈p：?x0∈R，x＋x0＋1≤0.
由于x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥，所以綈p为假命题．
(2)綈p：?x，y∈R，＋(y＋1)2≠0.
当x＝－y＝1时，＋(y＋1)2＝0，
所以綈p为假命题．
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-第一章
本章小结
专题一 命题及其关系
本章常用逻辑用语所涉及的内容主要有以下两方面：
(1)命题的四种形式及原命题与其逆否命题的等价性，以及含有一个量词的全称命题、特称命题的否定．
(2)充分条件、必要条件的判定，充要条件的证明及应用．
【例1】 写出命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
【分析】 结合四种命题的概念写出逆命题、否命题、逆否命题，再结合它们的关系及命题的具体含义进行真假的判断．
【解】 原命题：平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的对角线不互相平分，是真命题；
逆否命题：对角线不互相平分的四边形，不是平行四边形，是真命题．
【例2】 写出下列命题的否定．
(1)各数位数字之和能被3整除的整数都能被3整除；
(2)有的素数是偶数；
(3)所有的人都喝水；
(4)存在有理数x0，使x－2＝0.
【分析】 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，要特别注意量词的变化．
【解】 (1)存在各数位数字之和能被3整除的整数不能被3整除；
(2)所有的素数都不是偶数；
(3)有的人不喝水；
(4)?x∈Q，x2－2≠0.
【例3】 已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求方程有两正根的充要条件．
【分析】 先求出方程有两个实根的充要条件，再讨论x2的系数及运用根与系数的关系求出要求的充要条件．
【解】 方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是?
即a≥10，或a≤2，且a≠1.
设此时方程的两实根为x1，x2，有两个正根的充要条件是：
?
?1即方程有两个正根的充要条件是1专题二 复合命题真假判断
1．判断复合命题真假的方法：
(1)p∧q形式的复合命题，当p、q都为真时，p∧q为真，当p、q中至少有一个为假时，p∧q为假．
(2)p∨q形式的复合命题，当p、q至少有一个为真时，p∨q为真，当p、q都为假时，p∨q为假．
(3)綈p形式的复合命题，当p为真时，綈p为假；当p为假时，綈p为真．
2．判断复合命题真假的步骤：
(1)确定这个复合命题的构成形式；
(2)判断其中简单命题的真假；
(3)根据其真值表判断复合命题的真假．
【例4】 设命题p：若a>b，则<；命题q：<0?ab<0.给出下列四个复合命题：①p或q；②p且q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 本题考查简单命题与复合命题的真假关系．由已知条件容易判断命题p为假，命题q为真．再由简单命题和复合命题的真假关系可知：①p或q为真；②p且q为假；③綈p为真；④綈q为假．
[答案] C
【例5】 命题p：函数f(x)＝sin(2x－)＋1满足
f(＋x)＝f(－x)．
命题q：函数g(x)＝sin(2x＋θ)＋1可能是奇函数(θ为常数)．则复合函数“p或q”“p且q”“非q”为真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对命题p：y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z.令2x－＝kπ＋得函数f(x)＝sin(2x－)＋1的对称轴为x＝＋，k∈Z，故x＝适合，即f(＋x)＝f(－x)成立．所以p为真．对命题q：若g(x)为奇函数，因为g(x)的定义域为R，则有g(0)＝0，即sinθ＝－1.所以θ＝2kπ＋π，k∈Z.所以q为真，所以可判断真命题的个数为2.
[答案] C
专题三 全称命题与特称命题
全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则，这一特称命题为假．
[解析] A
B?存在x∈A，有x?B，故①错误；同理②③均错；④正确．
[答案] ④
专题四 反证法
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定“若p，则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则綈q”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法是高中数学的一种基本方法，在前面学习的不等式和立体几何的证明中用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要，下面举例说明．
[例7] 设函数f(x)＝2x2＋mx＋n，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1.
【分析】 由于欲证结论的情况繁杂，因而不妨从其反面入手，故用反证法．
【证明】 假设原命题不成立，
即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1，
则?
①＋③得－11<2m＋n<－9与②矛盾，所以假设不成立．
即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1.
【点评】 (1)较适宜使用反证法的常见情况：
①以“至少……”或“至多……”的形式为结论的命题；
②涉及“唯一性、存在性”的问题；
③以否定形式为结论的命题；
④从结论的反面易入手研究的问题．
(2)正确地作出“若p，则q”的否定：“若p，则非q”是正确运用反证法的前提．
(3)反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p则q为真”，改证“若p则非q为假”．因此，反证法的核心是从非q出发去导出矛盾．
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