第三章 数系的扩充与复数的引入
十六世纪，人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的根时，为了研究问题的需要引入了复数．复数是由意大利米兰学者卡当首先引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．高斯把复数与平面上的点一一对应使得复数与向量、解析几何、三角函数等密切联系起来．复数有向量表示、三角表示，指数表示等，满足四则运算等性质．它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具．随着科学和技术的进步，复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论．
学习本章要注意感受人类理性思维在数系扩充中的作用．
3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念
自主预习·探新知
情景引入
某希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛．一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话．
张明：海纳百川，心阔容海．海、心孰大？
王华：夸张的手法，不可比较．
张明：那么数m，n可否比较大小？
王华：未必．
同学们，你能准确回答张明的问题吗？
新知导学
1．数系扩充的脉络、原则
脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→__复数系__
原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：
(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；
(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)__依然__适用；
(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系__保持不变__；
(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．
2．对于方程x2＋2x＋3＝0，由于Δ＝－8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i，使得i2＝－1，则此方程的解可写成x1＝__－1－i__，x2＝__－1＋i__.
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝__－1__.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__.全体复数构成的集合叫做__复数集__.
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?__a＝c且b＝d__.
5．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是__a＝0且b＝0__，a＝0是z为纯虚数的__必要不充分__条件．
6．复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z为实数?__b＝0__，z为虚数?__b≠0__，z为纯虚数?____.
(2)集合表示：
预习自测
1．(1＋)i的实部与虚部分别是( C )
A．1，
B．1＋，0
C．0,1＋
D．0，(1＋)i
[解析] (1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋.
2．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为__1或－3__.
[解析] 由条件知a2－3＋2a＝0，
∴a＝1或a＝－3.
3．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－3__.
[解析] ∵z<0，∴，∴m＝－3.
4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解析] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3；
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 复数的概念
典例1 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)(2020·启东高二检测)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__±，5__.
(3)判断下列命题的真假．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
(2)由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，
所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
『规律总结』 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
┃┃跟踪练习1__■
给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确的说法的序号是__③__.
[解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．
命题方向? 复数的分类及其应用
典例2 已知复数z＝(m2－2m)＋i，其中m∈R.试求当m为何值时，
(1)z是实数？
(2)z是虚数？
(3)z是纯虚数？
[思路分析] 根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件．
[解析] (1)当z是实数时，应有＝0，
即解得m＝4或－2；
(2)当z是虚数时，应满足≠0，
即因此m≠4，且m≠－2，且m≠0；
(3)当z是纯虚数时，应满足
解得m＝2.
『规律总结』 利用复数的分类求参数的方法及注意事项．
1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0.
┃┃跟踪练习2__■
m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.
(1)是实数？
(2)是虚数？
(3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得
∴
∴当m＝5时，z是实数．
(2)由条件得
∴，
∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(3)由条件得
∴
∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
命题方向? 复数相等的条件
典例3 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[思路分析] 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．
[解析] 设y＝bi(b∈R且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y－3i，
整理得(3x－10)＋i＝bi－3i，
由复数相等的充要条件得解得
∴x＝，y＝4i.
『规律总结』 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．
┃┃跟踪练习3__■
(1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( C )
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
(2)已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为__－1__.
[解析] (1)易知
解得a＝－4.
(2)∵z＝0，∴，
解得a＝－1.
学科核心素养 根据复数的大小求参数的值
两个复数能比较大小时，这两个复数必为实数，从而这两个复数的虚部为0.
典例4 如果(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，求自然数m，n的值．
[思路分析] 由虚数不能比较大小知本题中的(m＋n)－(m2－3m)i必为实数，所以m2－3m＝0.故原不等式转化为(m＋n)≥－1.
[解析] ∵(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，
∴eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(?m＋n?≥－1，,－?m2－3m?＝0，))∴
∵m，n∈N，
∴m＝0，n＝1或n＝2.
『规律总结』 已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可．
┃┃跟踪练习4__■
(1)已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z<0，则k＝__2__.
(2)若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1
[解析] (1)∵z<0，
∴z∈R.故复数的虚部k2－5k＋6＝0，即(k－2)(k－3)＝0，
∴k＝2或k＝3.
k＝3时，z＝0，不符合题意．k＝2时，z＝－2<0，符合题意．
(2)当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0，－1，－2，
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0,1,4，
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，此时z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；
当z1易混易错警示 对复数相关概念的理解不清致误
典例5 给出下列命题：(1)若x＋yi＝0，则x＝y＝0；(2)若a＋bi＝3＋8i，则a＝3，b＝8；(3)若x为实数，且(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数，则x＝±2；(4)若x，m∈R且3x＋mi<0，则有x<0.其中正确命题的序号是__(4)__.
[错因分析] a，b∈R是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致错误的答案．
[正解] 命题(1)和(2)都是错误的，原因是没有x，y∈R，a，b∈R的限制条件，因此相应结论都是错误的；命题(3)也是错误的，事实上，当(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数时，应有，所以x＝2；(4)是正确的，因为由3x＋mi<0可得即x<0.
[点评] 复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有这一条件，相应结论不一定能够成立．例如：a＋bi＝0?a＝b＝0成立的条件是a，b∈R；a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d成立的条件是a，b，c，d∈R.另外，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的条件是a＝0，且b≠0，切记不能丢掉“b≠0”这一条件．
PAGE
-
8
-3.1.2 复数的几何意义
自主预习·探新知
情景引入
18世纪，瑞士人阿甘达(J.Argand,1768—1822)注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合起来得出来的，他给出了负数的一些几何解释．而在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．
高斯不仅将复数a＋bi表示为复平面的一点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法，这也和向量运算是一致的．使人们对复数不再有种神秘的印象，几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法，那么复数与什么一一对应呢？
新知导学
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__，实轴上的点都表示实数，除了__原点__外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的__实部__和__虚部__唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__一一对应__关系．
(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是__(a，b)__，不是(a，bi)．
(3)复数与复平面内__以原点为始点__的向量也可以建立一一对应关系．
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点__Z(a，b)__或向量__O__表示．
复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量O的一一对应关系如下：
3．复数的模
复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为O，则O的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝____.
当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值．
4．复数模的几何意义
复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的__距离__.
预习自测
1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( B )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
3．复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当4．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( A )
A．1或3
B．1
C．3
D．2
[解析] 依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 复数与复平面内点的关系
典例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上．
[思路分析] 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范围)．
[解析] 因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3)．
(1)若点Z在实轴上，则有2a－3＝0，解得a＝.
(2)若点Z在第二象限，则有
即解得(3)若点Z在抛物线y2＝4x上，则有(2a－3)2＝4(a2－4)，整理得12a－25＝0，解得a＝.
『规律总结』 1.复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围)．
┃┃跟踪练习1__■
(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( C )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
(2)(2019·全国Ⅱ卷理，2改编)设z＝－3＋2i，则在复平面内z＋2－3i对应的点位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C．
(2)z＋2－3i＝－3＋2i＋2－3i＝＝－1－i，故z＋2－3i对应的点(－1，－1)位于第三象限．故选C．
命题方向? 复数与复平面内向量的对应
典例2 在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点．
(1)求向量＋，对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
[思路分析] 根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．
[解析] (1)由已知得，，所对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，
于是＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，
因此＋＝(1,1)，＝－＝(1，－4)，
故＋对应的复数为1＋i，对应的复数为1－4i.
(2)由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为(，2)，由平行四边形的性质知BD的中点也是(，2)，若设D(x0，y0)，则有
解得故D(3,7)．
『规律总结』 1.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b)．
2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得．
3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．
┃┃跟踪练习2__■
(2020·广东江门高二期末)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i.
(1)求点D对应的复数；
(2)求△ABC的边BC上的高．
[解析] (1)复平面内A，B，C对应点的坐标分别为(1,3)，(0，－1)，(2,1)，
设点D的坐标为(x，y)，
由＝，得(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴x－1＝2，y－3＝2，解得x＝3，y＝5，
故点D(3,5)，其对应的复数为3＋5i.
(2)∵B(0，－1)，C(2,1)，
∴BC的直线方程为x－y－1＝0，
点A到BC的直线距离d＝＝，
故BC边上的高为.
命题方向? 复数模的计算
典例3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
[思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
[解析] 解法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴，
解得.∴z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
『规律总结』 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小
，但它们的模可以比较大小．
┃┃跟踪练习3__■
若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为____.
[解析] ∵z为实数，
∴a2－a－6＝0，
∴a＝－2或3.
∵a＝－2时，z无意义，
∴a＝3，
∴z1＝2－5i，
∴|z1|＝.
学科核心素养 利用复数的几何意义解题
我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，|z|是表示复数z的点到坐标原点间的距离，也就是向量的模，|z|＝||.运用此性质，可以解决有关问题．
典例4 已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
①已知复数及其模的范围；
②求复数虚部的取值范围．
解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解．
[解析] 解法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2＜42，∴a2＜7，∴a∈(－，)．
解法二：利用复数的几何意义，由|z|＜4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由32＋y2＝42得y＝±，∴A(3，)，B(3，－)．由图可知：－＜a＜.
『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．
┃┃跟踪练习4__■
已知复数z1＝2－2i，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值．
[解析] (1)|z1|＝＝2.
(2)由于|z|＝1，
故复数z所对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而z1所对应的点为Z1(2，－2)，则所求距离的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离再加1.由图可知，最大值为2＋1.
易混易错警示 混淆复数的模与实数的绝对值致误
典例5 已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( A )
A．1个圆
B．线段
C．2个点
D．2个圆
[错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.
[正解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．
[点评] 由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示z在复平面内的对应点到原点的距离，因此|z|≥0.z＝i时，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作错误的迁移．
PAGE
-
7
-3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
自主预习·探新知
情景引入
乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时．在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约90分钟，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算．
复数集内可进行复数的四则运算吗？
新知导学
1．复数的加法与减法
(1)复数的加法与减法运算法则
设a＋bi和c＋di是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__，(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__，即两个复数相加(减)就是实部与实部、虚部与虚部分别__相加(减)__，其结果仍然是一个__复数__.
(2)复数加法的运算律
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数加减法的几何意义
(1)设复数z1，z2对应的向量为，，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的__对角线__所对应的复数，z1－z2是连接向量和的终点并指向__的向量__所对应的复数．
(2)复平面内的两点间距离公式d＝|z1－z2|(其中z1，z2是复平面内两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2之间的距离)．
预习自测
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( B )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
2．(2020·西宁高二检测)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( D )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
[解析] 依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D．
3．复平面内正方形三个顶点分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，则另一个顶点对应的复数为( A )
A．2－i
B．5i
C．－4－3i
D．2－i,5i或－4－3i
[解析] 方法1：如图所示，利用＝，或者＝，求另一顶点对应的复数．设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
∵＝，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
∴解得
故D点对应的复数为2－i.
方法2：利用正方形的性质：对角线相等且互相垂直平分求解，即正方形的两条对角线的交点是其对称中心．设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
∵点A与点C关于原点对称，
∴原点O为正方形的中心，∴点O也是B与D连线的中点．
于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，
∴x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.故选A．
4．在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．
[解析] 如图，由复数加减法的几何意义，知＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 复数的代数形式的加减运算
典例1 (1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则实数a＝( C )
A．－2
B．2
C．－1
D．1
[解析] ∵z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，
∴z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，
∴a＝－1.故选C．
(2)计算：①(－2＋3i)＋(5－i)；
②(－1＋i)＋(1－i)；
③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)．
[思路分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算．
[解析] ①(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
②(－1＋i)＋(1－i)＝(－1＋1)＋(－)i＝0.
③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
『规律总结』 复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
提醒：注意运算格式及范围，避免出错
(1)在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差．注意中间用“＋”号，如z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，而不是z1－z2＝(a－c)－(b－d)i(a，b，c，d∈R)．
(2)复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加．
┃┃跟踪练习1__■
(1)在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( D )
A．(0,3)
B．(－∞，－2)
C．(－2,0)
D．(3,4)
(2)已知复数z1＝1＋i，z2＝t＋i，其中t∈R，i是虚数单位，若|z1＋z2|≤2，求实数t的取值范围．
[解析] (1)整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，由复数z的对应点在第二象限，
则
解得3(2)由|z1＋z2|≤2，得
|(1＋t)＋2i|≤2，
即≤2，
即(t＋1)2＋4≤8，
解得－3≤t≤1.
所以t的取值范转围是[－3,1]．
命题方向? 复数加减法及复数模的几何意义
典例2 如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度．
[思路分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[解析] (1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－.
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
『规律总结』 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)技巧：
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
①为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
┃┃跟踪练习2__■
(1)若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
(2)设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] (1)|z1＋z2|和|z1－z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．
如图所示，由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知四边形为正方形，
∴另一条对角线的长|z1－z2|＝.
(2)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.
如下图所示，即为z1－z2所对应的向量．
根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减数的向量所对应的复数．
学科核心素养 综合应用
典例3 设x∈[0,2π)，复数z1＝cosx＋isinx对应的点在第一象限中直线y＝x的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是__(1，)__.
[思路分析] 由x∈[0,2π)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线y＝x的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加法运算法则可求出z1＋z2.
[解析] 由已知得z1＋z2＝(cosx＋1)＋(sinx－1)i，
所以|z1＋z2|＝
＝
＝＝.
因为复数z1＝cosx＋isinx对应点在第一象限中直线y＝x的左上方，且x∈[0,2π)，
所以解得所以所以∈(1，)，
故|z1＋z2|∈(1，)．
『规律总结』 求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．
┃┃跟踪练习3__■
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是__[0,3]__.
[解析] 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1,0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.
由图易知当A与B重合时，dmin＝0，
当A与C(2,0)重合时，dmax＝3，
∴0≤|z＋1|≤3.
易混易错警示 复数代数形式的几何意义
典例4 已知：复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
[错解] ∵B＝C，∴zA－zB＝zD－zC，
∴zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.
即点D对应的复数为1－7i.
[辨析] 四个点A，B，C，D构成平行四边形，并不仅有□ABCD一种情况，应该还有□ABDC和□ACBD两种情况．
[正解] 用错解可求D对应的复数为1－7i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图①中点D对应的复数为3＋7i，
图②中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
[点评] 审题要细致，考虑问题要全面，本题中只说四个点A，B，C，D构成平行四边形，并没有限定是□ABCD，不要犯思维定势错误．
PAGE
-
1
-3.2.2 复数代数形式的乘除运算
自主预习·探新知
情景引入
在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．
新知导学
1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝__z2·z1__
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__
3．共轭复数
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则
(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是__a＝c且b＝－d__.
(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是__a＝c且b＝－d≠0__.
4．复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝__＋i__(c＋di≠0)．
预习自测
1．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( B )
A．1
B．－1
C．
D．－
[解析] ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得m3＋1＝0，即m＝－1.
2．已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( A )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，
∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选A．
3．已知复数z满足(2＋i)z＝3＋4i，则z＝( A )
A．2＋i
B．2－i
C．1＋2i
D．1－2i
[解析] z＝＝＝2＋i.选A．
4．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，
由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 复数代数形式的乘除法运算
典例1 (1)若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( A )
A．4＋2i
B．2＋i
C．2＋2i
D．3
(2)设复数z(2－3i)＝6＋4i(其中i是虚数单位)，则z的模为__2__.
[思路分析] (1)利用乘法法则运算；
(2)先求复数z，然后利用模长公式求解．
[解析] (1)z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.
(2)由z(2－3i)＝6＋4i，得z＝＝＝2i，∴|z|＝2.
『规律总结』 1.复数的乘法运算法则的记忆
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
2．复数的除法运算法则的记忆
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
┃┃跟踪练习1__■
(1)(2019·北京卷理，1)已知复数z＝2＋i，则z·＝( D )
A．
B．
C．3
D．5
(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1＋i，则z1z2＝( A )
A．2
B．－2
C．1＋i
D．1－i
[解析] (1)∵
z＝2＋i，∴
＝2－i，∴
z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D．
∵
z＝2＋i，∴
z·＝|z|2＝5.故选D．
(2)复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1＋i，所以z2＝1－i，
所以z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2.
命题方向? 虚数单位的幂的周期性
典例2 计算i＋i2＋i3＋…＋i2018＋i2019.
[思路分析] 先计算i，i2，i3，i4的和，找出规律，再按照规律求解．
[解析] ∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，……
∴i＋i2＋i3＋i4＝0，∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2
019＝i2
017＋i2
018＋i2
019＝i－1－i＝－1.
『规律总结』 1.虚数单位i的周期性．
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．n也可以推广到整数集．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
2．常用结论：
(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；(2)＝－i，＝i；
(3)＝－i.
┃┃跟踪练习2__■
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2
017i2
016
[解析] 设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2
017i2
016
∴iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2
017i2
017
∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2
016－2
017i2
017
＝1－2
017i
∴S＝＝
＝1
009－1
008i.
命题方向? 共轭复数及其应用
典例3 已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．
[思路分析] 先利用复数乘法与除法的运算法则分别化简复数z1，z2，再根据共轭复数的定义列出a，b满足的方程组求解．
[解析] z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b
＝(－b－1)＋(1－b)i.
z2＝＝
＝＝＋i.
∵z1与z2互为共轭复数
∴.解得.
『规律总结』 共轭复数的求解与应用
1．若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.
2．共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
┃┃跟踪练习3__■
若复数z满足2z＋＝3－2i其中i为虚数单位，则z＝( B )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，所以，解得，所以z＝1－2i.故选B．
学科核心素养 复数的综合应用
在有关复数运算的综合问题中，常与数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x＋yi(x，y∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标或向量问题进行解决．
典例4 已知关于x的方程＋＝1，其中a、b为实数．
(1)若x＝1－i是该方程的根，求a、b的值；
(2)当a>0且>时，证明该方程没有实数根．
[解析] (1)将x＝1－i代入＋＝1，
化简得(＋)＋(b－)i＝1，
∴解得a＝b＝2.
(2)证明：原方程化为x2－ax＋ab＝0，
假设原方程有实数解，
那么Δ＝(－a)2－4ab≥0，即a2≥4ab.
∵a>0，∴≤，这与题设>相矛盾．故原方程无实数根．
『规律总结』 解与复数有关的方程的根问题时，一般方法是将方程的根设出，代入方程，然后利用复数相等的充要条件求解．
┃┃跟踪练习4__■
若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，对应点在直线y＝x上，则z＝__－3＋4i__.
[解析] 设＝3t＋4ti(t∈R)，
则z＝3t－4ti，
∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，
∵z的对应点在第二象限，∴t<0，
∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
易混易错警示 共轭复数
典例5 设z∈C，为z的共轭复数，若·z＋iz＝，求z.
[错解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
因为·z＋iz＝，所以(a－bi)(a＋bi)＋i(a＋bi)＝3－i.
即a2＋b2＋b＋ai＝3－i，
所以解得或
所以z＝－1＋i或z＝－1－2i.
[辨析] 在解题中错把i2当成1，因此对虚数单位的定义要掌握好．
[正解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
因为·z＋iz＝，所以(a－bi)(a＋bi)＋i(a＋bi)＝3－i.即a2＋b2－b＋ai＝3－i，
所以解得或
所以z＝－1－i或z＝－1＋2i.
PAGE
-
1
-第三章
章末整合提升
网络构建·理脉络
复数
专题突破·启智能
专题?
利用复数的基本概念解题
1．复数实部与虚部的区分
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部，一定要注意bi不是虚部．如2＋3i的实部为2，虚部为3，而不是3i.
2．纯虚数的理解
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数，一定要注意记清“a＝0”是必要条件，而不是充要条件．
3．共轭复数概念的理解
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，即z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi(a，b∈R)．
4．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝.
一般来说，在处理涉及复数的概念的问题时，可依据概念建立等式，然后通过解方程(组)求解．
典例1 已知复数z与(z＋2)2＋8i均为纯虚数，求复数z.
[解析] 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则(z＋2)2＋8i＝(2＋bi)2＋8i＝(4－b2)＋(4b＋8)i，∵(z＋2)2＋8i为纯虚数，∴4－b2＝0，且4b＋8≠0.∴b＝2.∴z＝2i.
『规律方法』 先设出z的代数形式z＝bi(b∈R，b≠0)，然后依据概念处理．
专题? 利用复数相等的条件解题
对于两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.
(1)根据两个复数相等的定义知，在a＝c，b＝d两式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.
(2)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．
典例2 i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的乘积是( B )
A．－15
B．－3
C．3
D．15
[解析] 因为＝＝－1＋3i，
所以a＝－1，b＝3，故ab＝－3.
典例3 已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2.
[解析] ∵z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵a，b都是实数，
∴由az＋2b＝(a＋2z)2，得
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.
∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
『规律方法』 复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法．
专题? 复数代数形式的四则运算
熟记几个结论对解决问题是十分有利的：
(1)i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N
)；
(2)ω的周期性：令ω＝－＋i，则
ω3k＝(－＋i)3k＝1，
ω3k＋1＝(－＋i)3k＋1＝ω，
ω3k＋2＝(－＋i)3k＋2＝ω2＝(k∈N
)；
(3)特殊结论：＝－i，＝－i，＝i，(1±i)2＝±2i，＝＝＝i(a，b∈R，且b－ai≠0)．
典例4 复数－等于( D )
A．0
B．2
C．－2i
D．2i
[解析] 方法1：－＝－＝－＝2i.
方法2：－＝＝＝2i.
典例5 若z＝，则z2012＋z2016的值是__0__.
[解析] ∵z＝＝＝，
∴z2＝＝－i，∴z4＝－1，
∴z2012＋z2016＝(z4)503＋(z4)504＝0.
专题? 复数的几何意义及应用
复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的加减运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
(1)复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．
(2)复数形式的基本轨迹
①|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；
②|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线；
③|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a>|Z1Z2|>0)表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的椭圆．
典例6 (2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[解析] ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，
又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，
∴
解得a<－1.
故选B．
典例7 已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)(m∈R)，当m取什么值时，复数z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
[解析] 由于m∈R，复数z可以表示为
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，
即m＝0或m＝2时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
『规律方法』 将复数与复平面内的向量建立联系后，与复平面上点的对应就非常容易了．
典例8 已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|＝2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值．
[解析] (1)将b代入题设方程，整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，
解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
∴点Z在以(－1,1)为圆心，2为半径的圆上．画图可知，z＝1－i时，|z|min＝.
专题? 分类讨论思想
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学思想，在高考中占有十分重要的地位．该思想在本章的很多知识中都有体现，常见的有：对复数分类的讨论、复数对应点的轨迹的讨论、一元二次方程根的讨论等．
典例9 实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[思路分析] 把复数整理成a＋bi(a，b∈R)的形式，用复数分类的条件分别求解．
[解析] (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．
(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．
(4)当即k＝－1时，该复数为0.
专题? 数形结合思想
数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们的这种意义架起了联系复数与解析几何、平面几何的桥梁，使得复数问题和几何问题得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算、点的轨迹及模的最值问题等．
典例10 已知|z|＝1.
(1)求|z－(2＋2i)|的最值；
(2)求|z－i|·|z＋1|的最大值．
[解析] (1)|z－(2＋2i)|表示单位圆上的点到点(2,2)的距离，由图(1)可知：
|z－(2＋2i)|min＝2－1，
|z－(2＋2i)|max＝2＋1.
(2)由图(2)可知∠AEB＝45°，
∵S△ABE＝|z－i|·|z＋1|·sin45°，
要使|z－i|·|z＋1|取最大值，必须S△ABE最大，
而(S△ABE)max＝·(1＋)＝(2＋)，
∴当z＝－i时，
|z－i|·|z＋1|取最大值为2＋.
『规律方法』 掌握常见的复平面上的点的轨迹方程的复数表示方式，灵活运用模的几何意义及复数运算的几何意义，通过数形结合，充分利用图形的直观、形象的特点，可简化对问题的处理.
即时巩固
一、选择题
1．若复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，其中i为虚数单位，则z的虚部为( B )
A．－2
B．2
C．－2i
D．2i
[解析] 由z＝＝＝＝－1＋2i知选B．
2．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( C )
A．
B．
C．－
D．2
[解析] ＝＝＝＋i.
由题意可得＝－，解得b＝－.故选C．
3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，
∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．
故选C．
4．复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2＝－2i，则|z1|＝( B )
A．1
B．
C．2
D．4
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a－bi，
∴z1·z2＝－(a2－b2＋2abi)＝b2－a2－2abi＝－2i，
∴得|a|＝|b|＝1，∴|z1|＝.
二、填空题
5．(2019·莆田二模)已知复数z＝m＋(m2－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围为__(0,1)__.
[解析] ∵z＝m＋(m2－1)i在复平面内对应的点在第四象限，
∴，解得0＜m＜1.
∴实数m的取值范围为(0,1)，
故答案为(0,1)．
6．复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为2，则|z＋2|的最大值为__4__.
[解析] 在复平面内复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)对应的点的轨迹是(x－2)2＋y2＝4，
∴z＋2＝(x－2)＋yi＋2＝x＋yi，
∴|z＋2|＝|x＋yi|，
∴|z＋2|的几何意义是点(x，y)到原点的距离的最大值．
∴|z＋2|＝|x＋yi|max＝4.
三、解答题
7．已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R.当x在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z|的最小值g(a)．
[解析] |z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2.
令t＝2x＋2－x，则t≥2，且22x＋2－2x＝t2－2.
从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2，
当－a≥2，即a≤－2时，g(a)＝；
当－a<2，即a>－2时，
g(a)＝＝|a＋1|.
综上，g(a)＝.
PAGE
-
7
-