第一章 导数及其应用
为了刻画现实世界中运动变化着的现象，在数学中引入了函数．随着人们对函数研究的深入，人们在思考：已知物体运动的路程作为时间的函数，在任意时刻的速度与加速度是怎样的一种关系？怎样求任意曲线的切线和曲边形的面积、几何体的体积？怎样研究复杂函数的变化规律？怎样解决生活中的优化问题？……于是，导数与积分应运诞生了，它是数学史上具有划时代意义的伟大创造，是数学史上的里程碑．
当你看到“导数”“积分”这两个名词时，你可能会感到陌生，其实它不过是初中数学的延伸．本章我们将会系统的学习如何用导数工具研究函数的性质，解决生活中的优化问题等一系列问题．
学习本章，要深刻领会以直代曲，无限细分、积分的极限思想，体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法，体会构造在研究数学中的作用．
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
自主预习·探新知
情景引入
中国体坛名将刘翔在21岁时，以12.94秒的成绩打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52米/秒．
通过这个事例我们可以看出，世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，有的变化比较明显，而有些变化却让人们发出感叹和惊呼．这就是人们经常关心的变化快慢——变化率问题．
新知导学
1．在气球膨胀过程中，当空气容量从V1增加到V2时，气球的半径从r(V1)增加到r(V2)，气球的平均膨胀率是____.随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变__小__.
2．高台跳水运动员当高度从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均速度为____.
3．函数平均变化率的定义
已知函数y＝f(x)，当自变量x从x1变化到x2时，函数值从f(x1)变化到f(x2)，则当x1≠x2时，比值____为函数f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，用__x1＋Δx__代替x2；类似地，__Δy＝f(x2)－f(x1)__，于是平均变化率可以表示为.
预习自测
1．(2020·凉州区校级期末)在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( D )
A．Δx＜0
B．Δx＞0
C．Δx＝0
D．Δx≠0
[解析] 由导数的定义，可得自变量x的增量Δx可以是正数、负数，不可以是0.故选D．
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝( D )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[解析] 函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( C )
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
[解析] ＝＝＝4.2，
故选C．
4．已知函数y＝(x2＋1)，则函数从x0到x0＋Δx的平均变化率是__x0＋Δx__.
[解析] ＝＝x0＋Δx.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 求函数的平均变化率
典例1 求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率．
[思路分析] 依据函数的平均变化率的定义，只要求出函数的平均变化率的表达式，代入相应的数值，即可求出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为
＝＝＝＝4x0＋2Δx.
当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×(－)＝7.
『规律总结』 1.求函数f(x)的平均变化率的一般步骤为：
①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②计算平均变化率：＝.
2．要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.
┃┃跟踪练习1__■
求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
[解析] 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，
函数的平均变化率为＝＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2
当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值为
3×12＋3×1×＋2＝
.
命题方向? 平均变化率的应用
典例2 试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大？
[思路分析] 求正弦函数的平均变化率可按三角函数知识变形，便于比较大小．
在x＝0与x＝附近，Δx很小，可正可负，故比较平均变化率的大小，应依据作差后的表达式考虑判断方法，先求两点的平均变化率k1、k2，再作差k1－k2变形，最后依据函数知识确定符号下结论．
[解析] 当自变量x从0变化到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝.
当自变量x从变化到＋Δx时，函数的平均变化率为
k2＝＝.
由于是在x＝0和x＝的附近的平均变化率，可知|Δx|较小，但Δx既可为正，又可为负．
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；
当Δx＜0时，k1－k2＝－
＝＝.
∵Δx＜0，∴Δx－＜－，∵|Δx|很小，
∴sin＜－.
从而有sin＜－1，则sin＋1＜0，
又∵Δx<0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.
综上，k1>k2.即正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率比在x＝附近的平均变化率大．
『规律总结』 比较函数平均变化率的大小，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较．
┃┃跟踪练习2__■
已知函数f(x)＝3x2＋2，求f(x)在x0＝1,2,3附近Δx＝时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．
[解析] ∵
＝
＝＝6x0＋3Δx.
∴函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；
当x0＝2，Δx＝时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；
当x0＝3，Δx＝时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，
所以k1
学科核心素养 平均变化率的几何意义
一般地，设函数y＝f(x)的图象是曲线C，P(x0，y0)是曲线C上的定点，Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线C上与点P邻近的
点，则y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，即Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把直线PQ叫做曲线C的割线，割线PQ的斜率k＝＝.这就是函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率，所以函数的平均变化率表示连接函数y＝f(x)图象上两点割线的斜率．
典例3 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
[思路分析] 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
『规律总结』 解决本题的步骤是：首先求出函数值的变化量Δy，然后求出自变量的变化量Δx，最后利用平均变化率即为割线的斜率建立等量关系，利用方程思想求解Δx的值．
┃┃跟踪练习3__■
过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
∴割线PQ的斜率k＝
＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
设Δx＝0.1时割线的斜率为k1，则k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.
易混易错警示 不能正确识图致误
典例4 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( B )
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
[错解] 选C．因为在(0，t0)上，W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭，∴在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．
[辨析] 从图上看，两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变化率都取负值．
[正解] 由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B．
[点评] 识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．
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1
-1.1.2 导数的概念
自主预习·探新知
情景引入
中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？
新知导学
1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于__常数__，我们就把这个__常数__叫做t0时刻的瞬时速度．即
v＝
＝__
__.
故瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．
2．导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
＝
.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝
＝__
__.
预习自测
1．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2
s时的瞬时速度为( D )
A．3
m/s
B．2
m/s
C．1
m/s
D．0
m/s
[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2，
∴＝＝－4Δt，
∴v＝
＝
(－4Δt)＝0.
∴物体在t＝2
s时的瞬时速度为0
m/s.
2．设f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( C )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
[解析] f′(1)＝
＝2a＝2a＝2.
∴a＝1.
3．设函数f(x)可导，则 等于( C )
A．f′(1)
B．3f′(1)
C．f′(1)
D．f′(3)
[解析] 原式＝
＝f′(1)．
4．由导数的定义可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的导数
f′(1)＝__0__.
[解析] f′(1)＝
＝
＝Δx＝0.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 瞬时速度
典例1 已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s)
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求；
(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
[思路分析] 先求Δs，Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝2(t＋Δt)2＋3－(2t2＋3)＝4t·Δt＋2(Δt)2，再求，最后代值，Δt越接近于0，就越接近某时刻的瞬时速度．
[解析] ＝
＝＝4t＋2Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．
(2)当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．
(3)v＝
＝
(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．
『规律总结』 求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间增量Δt趋近于零时平均速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度．
┃┃跟踪练习1__■
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1
s时的瞬时速度(单位：m/s)为( B )
A．1
B．3
C．－1
D．0
[解析] 由s(t)＝t3－2，得
s′(t)＝
＝3t2＋3t·Δt＋Δt2＝3t2，
所以s′(1)＝3.则物体在t＝1
s时的瞬时速度为3
m/s.故选B．
命题方向? 利用定义求函数在某点处的导数
典例2 根据导数定义求函数y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．
[思路分析] 根据导数的定义求导数是求函数导数的基本方法．
[解析] 当x＝2时，Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－＝4Δx＋(Δx)2＋，
所以＝4＋Δx－，
所以y′|x＝2＝
＝
＝4＋0－＝.
『规律总结』 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求极限
.
┃┃跟踪练习2__■
求函数y＝x＋在x＝1处的导数．
[解析] 因为Δy＝(1＋Δx)＋－(1＋1)
＝Δx＋－1，
所以＝1－，
所以
＝
(1－)＝0.
学科核心素养 导数的应用
求物体的初速度，即求物体在t＝0时刻的速度，很容易误认为v0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动．
典例3 子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动
s＝at2，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t＝1.6×10－3
s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
[解析] 运动方程为s＝at2.
因为Δs＝a(t＋Δt)2－at2
＝atΔt＋a(Δt)2，
所以＝at＋aΔt.
所以
＝at.
由题意知，a＝5×105
m/s2，t＝1.6×10－3
s，
所以at＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口的瞬时速度为800
m/s.
『规律总结』 利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来．
由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，它在现实生活中的作用是比较广泛的．
┃┃跟踪练习3__■
若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[思路分析] 解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．
[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近位移的平均变化率为＝
＝
＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处位移的瞬时变化率为
＝
(3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度v0＝－18
m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处位移的瞬时变化率为
＝
(3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.
易混易错警示 不能准确理解导数的概念致误
典例4 若f′(x0)＝2，则
等于( A )
A．－1
B．－2
C．1
D．
[错解] 选C．∵f′(x0)＝2，∴
＝2，
∴
＝
＝×2＝1.
[辨析] 错解没有弄明白自变量的增量与函数的增量的含义及对应关系．
当函数增量Δy＝f(x0)－f(x0－k)时，自变量的增量Δx＝x0－(x0－k)＝k，而不是－k.
[正解]
＝－
＝－f′(x0)＝－×2＝－1，故应选A．
[点评] 依据导数的定义
f′(x0)＝
，Δx应为自变量的增量．因此从x0到x0－k的增量应为－k，从x0到x0＋3Δx的增量应为3Δx.
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-1.1.3 导数的几何意义
自主预习·探新知
情景引入
我国著名数学家华罗庚教授对数与形做过这样的描述：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．
我们已经知道导数的物理意义为某一时刻的瞬时速度，那么函数图象在某点附近的变化情况又如何呢？它具有怎样的几何意义？
新知导学
1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的__切线__.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的__切线的斜率__，即k＝f′(x0)＝__
__.
3．导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的__瞬时速度__.
4．函数的导数
对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝__
__.
预习自测
1．曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为( B )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1
D．y＝－2x
[解析] ∵＝＝2x＋Δx，∴
＝2x，∴y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
2．y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )
A．
B．
C．
D．1
[解析] ∵＝
＝＝a(Δx)＋2ax，
＝2ax，
即y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，
∴x0＝.∵切点在直线y＝x上，∴y0＝
.
代入y＝ax2＋1得＝＋1，∴a＝，故选B．
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( B )
A．f′(x0)<0
B．f′(x0)>0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f′(x0)＝3.故选B．
4．已知曲线y＝x2－3上一点P(1，－)，则过点P的切线的斜率为( B )
A．
B．1
C．－1
D．－
[解析] ∵y＝x2－3，
∴y′＝
＝
＝
(x＋Δx)＝x.
∴y′|x＝1＝1，∴在点P(1，－)的切线的斜率为1.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 求切线方程
典例1 已知曲线C：y＝x3＋.
(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[思路分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值．
[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
y′|x＝2＝
＝
＝[4＋2·Δx＋(Δx)2]＝4.
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)由可得(x－2)2(x＋4)＝0，
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)．
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
『规律总结』 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(3)利用点Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．
4．f′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．
┃┃跟踪练习1__■
设函数f(x)存在导函数，且满足
＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( B )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
[解析]
＝
＝f
′(1)＝－1.
命题方向? 求切点的坐标
典例2 (1)曲线f(x)＝－在点P处的切线方程为2x＋y＋3＝0，则点P的坐标为__(－1，－1)__.
(2)曲线f(x)＝2x2－x在点P处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则点P的坐标为__(，0)__.
[思路分析] 解此类题的步骤为：①设切点坐标(x0，y0)；②求导函数f′(x)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
[解析] (1)设切点P为(x0，y0)，则
k＝f
′(x0)＝
＝
＝
＝
＝.
∵切线方程为2x＋y＋3＝0，
∴切线斜率为－2.
∴＝－2.
∴x0＝－1.
∴f(x0)＝f(－1)＝－1.
∴切点P为(－1，－1)．
(2)设切点P为(x0，y0)，则k＝f
′(x0)
＝
＝
＝
(4x0＋2Δx－1)＝4x0－1.
∵在P处的切线与x＋y－1＝0垂直，
∴4x0－1＝1.
∴x0＝.
∴f(x0)＝f()＝2×()2－＝0.
∴切点P为(，0)．
『规律总结』 切点问题的处理方法
(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等．
┃┃跟踪练习2__■
已知抛物线f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，
则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
所以＝4x0＋2Δx，f
′(x0)＝4x0.
因为抛物线的切线的倾斜角为45°，
所以斜率为tan45°＝1.
即f
′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
所以切点的坐标为(，)．
命题方向? 最值问题
典例3 若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标．
[思路分析] 抛物线上到直线y＝4x－5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点．解答本题可先求导函数，再求P点的坐标．
[解析] 由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，过点P的切线方程与直线y＝4x－5平行．设P(x0，y0)，则
y′＝
＝
＝
＝
(8x＋4Δx)＝8x，
由
得
故所求的点为P.
『规律总结』 求最值问题的基本思路：
(1)目标函数法：通过设变量构造目标函数，利用函数求最值．
(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值．
┃┃跟踪练习3__■
曲线y＝－x2上的点到直线x－y＋3＝0的距离的最小值为____.
[解析] 解法一：设曲线y＝－x2上任一点P(x0，y0)，
则y0＝－x，P到直线x－y＋3＝0的距离
d＝＝＝[(x0＋)2＋]，
当x0＝－时，dmin＝.
解法二：设与x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由消去y得：x2＋x＋m＝0，
Δ＝1－4m＝0，∴m＝，∴所求最小距离d＝＝.
解法三：设与直线x－y＋3＝0平行的直线与曲线y＝－x2切于点P(x0，y0)，则由
y′＝
＝
＝
(－2x0－Δx)＝－2x0，
由得，，
∴P(－，－)，点P到直线x－y＋3＝0的距离
d＝＝.
学科核心素养 导数几何意义的综合应用
导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相关问题．
典例4 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
[解析] (1)
f
′(1)＝
＝
＝
＝
(Δx＋3)＝3，
所以直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点B(b，b2＋b－2)，
则可求得切线l2的斜率为2b＋1.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为(，－)．
l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(－，0)．
所以所求三角形的面积S＝××|－|＝.
『规律总结』 1.导数的几何意义是指：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．
2．运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．
3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．
┃┃跟踪练习4__■
(1)已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为( B )
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
(2)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为____.
[解析] (1)∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝
(x＋Δx)＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴过点P(1，－)的切线的斜率为1，
则切线的斜率角为45°.
(2)设切点为P(x0，y0)，
则f
′(x0)＝
＝
＝
(2ax0＋aΔx)＝2ax0，
即2ax0＝1.
又y0＝ax，x0－y0－1＝0，
联立以上三式，得解得a＝.
易混易错警示 求切线方程时忽视点是否在曲线上致误
典例5 求经过点(2,0)，且与曲线y＝相切的直线方程．
[错因分析] 将(2,0)误认为是切点，直接由导数的几何意义得切线斜率f
′(2)＝
＝
＝－，从而得切线方程为y－0＝－(x－2)．
[正解] 经验证点(2,0)不在曲线y＝的图象上，则设切点为P(x0，y0)．
由y′|x＝x0＝
＝
＝
＝－，
得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．
因为点(2,0)在切线上，所以xy0＝2－x0.
又点P(x0，y0)在曲线y＝上，所以x0y0＝1，
联立可解得x0＝1，y0＝1，
故所求直线方程为x＋y－2＝0.
[点评] 错解中没有注意到点(2,0)根本不在曲线y＝上，直接求出函数在x＝2处的导数作为曲线切线的斜率，而导致错误．避免这种错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果点在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率才等于函数在该点处的导数值，否则，如果点不在曲线上，应先另设切点，再利用导数的几何意义求解．
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1
-1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
自主预习·探新知
情景引入
世界上哪里有数，哪里就有美．数学像音乐及其他艺术一样能唤起人们的审美感觉和审美情趣．在数学家的创造活动中，同样有情感、意志、信念等审美因素，数学家创造的概率、公理、定理、公式、法则如同诗歌、音乐、绘画、雕塑、戏剧、电影等艺术形式一样，可以使人动情陶醉，并从中获得美的享受．接下来就让我们从函数的求导公式中获得美吧！
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本初等函数的导数呢？
新知导学
几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝__0__
f(x)＝x
f′(x)＝__1__
f(x)＝x2
f′(x)＝__2x__
f(x)＝
f′(x)＝－＝__－x－2__
f(x)＝
f′(x)＝＝__x－__
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝__αxα－1__.
预习自测
1．下列结论不正确的是( D )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若y＝x，则y′＝x
[解析] 当y＝x时，y′＝(x)′＝()′＝＝x－.
D不正确．故应选D．
2．若y＝cos，则y′＝( C )
A．－
B．－
C．0
D．
[解析] 常数函数的导数为0.
3．(2020·德阳模拟)已知函数f(x)在R上存在导数f
′(x)，下列关于f(x)，f
′(x)的描述正确的是( B )
A．若f(x)为奇函数，则f
′(x)必为奇函数
B．若f(x)为周期函数，则f
′(x)必为周期函数
C．若f(x)不为周期函数，则f
′(x)必不为周期函数
D．若f(x)为偶函数，则f
′(x)必为偶函数
[解析] 对于A：例如：f(x)＝x3为奇函数，则f
′(x)＝3x2，为偶函数，故A错误，
对于B：由导数的几何意义可知，若f(x)为周期函数，则f
′(x)必为周期函数，故B正确，
对于C：例如：f(x)＝x不是周期函数，但f
′(x)＝1为周期函数，故C错误，
对于D：例如：f(x)＝x2为偶函数，则f
′(x)＝2x为奇函数，故D错误，
故选B．
4．若直线y＝－x＋b为函数y＝的图象的切线，求b及切点坐标．
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，
因为y′＝′＝－，所以切线斜率为k＝－.
所以切线方程为y－＝－(x－x0)
即y＝－x＋
.
又切线方程为y＝－x＋b，
∴，解得或.
即当b＝2时，切点为(1,1)；
当b＝－2时，切点为(－1，－1)．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 利用导数公式求函数的导数
典例1 求下列函数的导数：
①y＝－3；②y＝cos；③y＝x4；④y＝；⑤y＝(x－1)(x2＋x＋1)＋1.
[思路分析] 利用常用函数的导数公式求导即可．
[解析] ①y′＝(－3)′＝0；
②y′＝(cos)′＝0；
③y′＝(x4)′＝4x3；
④y′＝()′＝(x－4)′＝－4x－5＝－；
⑤y′＝[(x－1)(x2＋x＋1)＋1]′＝(x3－1＋1)′＝(x3)′＝3x2.
『规律总结』 求基本初等函数的导数
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变化形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
┃┃跟踪练习1__■
求下列函数的导数：
(1)y＝(1－)(1＋)＋；
(2)y＝(x＋1)(x－1)＋1.
[解析] (1)因为y＝(1－)(1＋)＋＝＋＝，
所以y′＝－x－.
(2)因为y＝(x＋1)(x－1)＋1＝x3－1＋1＝x3
所以y′＝(x3)′＝3x2.
命题方向? 利用常用函数的导数求切线方程
典例2 已知曲线y＝，
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程．
[思路分析] 先求导数，(1)中点P在曲线上，可直接利用导数求出斜率，写出切线方程；(2)中点Q不在曲线上，可先设切点为M(x0，y0)，利用导数求出斜率，再利用两点式求得斜率，由同一直线的斜率相等列方程求出x0，即可得到斜率k的值和M的坐标．
[解析] (1)∵P(1,1)在曲线y＝上，且y′＝－，
∴在点P(1,1)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝－1；
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设曲线y＝过点Q(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，)，
则切线的斜率k＝－，
∴切线方程为y－＝－(x－x0)，
∵点Q(1,0)在切线上，
∴－＝－(1－x0)，
解得x0＝.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0.
『规律总结』 常用函数求导数可依据结论直接写出结果，
不必再按定义求解．
┃┃跟踪练习2__■
已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线的切线方程为__4x－4y－1＝0__.
[解析] y′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，
∵PQ的斜率k＝＝1，又切线平行于PQ，
所以k＝2x0＝1，
即x0＝，切点为M(，)，所以切线方程为4x－4y－1＝0.
学科核心素养 导数的应用
典例3 如图，设直线l1与曲线y＝
相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直x轴于点K，求KQ的长．
[思路分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析] 设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2，∴直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝.
在直线l2的方程中令y＝0，则－＝－2(x－x0)．∴x＝＋x0，即xQ＝＋x0.
又xK＝x0，∴|KQ|＝xQ－xK＝＋x0－x0＝.
『规律总结』 解答此题的关键在于求出以曲线上任意一点为切点的切线方程，而切线斜率易由导数求出．
┃┃跟踪练习3__■
如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标及a的值．
[解析] 设切点P(x0，y0)，由直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，得切线l的斜率为
f′(x0)＝4x0.
由直线l与曲线y＝g(x)也相切于点P，得切线l的斜率为g′(x0)＝.
由f′(x0)＝g′(x0)，得4x0＝，解得x0＝.
∴y0＝＝，即点P的坐标为(，)．
由点P(，)在曲线y＝f(x)上，得2×()2＋a＝，解得a＝.
∴点P的坐标为(，)，a的值为.
易混易错警示 不能正确理解切点的实质而致误
典例4 经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
[错解] 设f(x)＝x3，由定义得f′(2)＝12，∴所求切线方程为y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
[辨析] 曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．
[正解] 易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x.
∵A在曲线上，∴y0＝x，∴＝3x，
∴x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，
∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和3x－y＋2＝0.
[点评] 在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2,8)不一定是切点，做题时要高度关注．
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-1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
自主预习·探新知
情景引入
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求f(t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值．运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sinx，y＝lnx等很难运用定义求导数．
是否有更简便的求导数的方法呢？
新知导学
1．基本初等函数的导数公式
函数
导数
(1)f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝__0__
(2)f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝__αxα－1__
(3)f(x)＝sinx
f′(x)＝__cos
x__
(4)f(x)＝cosx
f′(x)＝__－sin
x__
(5)f(x)＝ax
f′(x)＝__axlna__(a>0且a≠1)
(6)f(x)＝ex
f′(x)＝__ex__
(7)f(x)＝logax
f′(x)＝____(a>0，且a≠1)
(8)f(x)＝lnx
f′(x)＝____
2．导数的运算法则
(1)设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：
[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__；
[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__.
(2)设函数f(x)、g(x)是可导函数，且g(x)≠0，′＝____.
3．复合函数及其求导法则
(1)复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成__x__的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__y＝f(g(x))__.
(2)复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__yu′·ux′__.即y对x的导数等于__y对u的导数与u对x的导数__的乘积．
预习自测
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( D )
A．ab
B．－a(a－b)
C．0
D．a－b
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D．
2．设y＝，－πA．±
B．±
C．±
D．±
[解析] ∵y＝，
∴y′＝
＝＝，
∵y′＝2，∴＝2，∴cosx＝－，
又－π3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( B )
A．－1
B．0
C．2
D．4
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－，又g(x)＝xf(x)，f′(3)＝－，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0.
4．(2020·白银期末)函数y＝x3＋3x2＋6x－10的导数y′＝__3x2＋6x＋6__.
[解析] 函数的导数为y′＝3x2＋6x＋6.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 导数运算法则的应用
典例1 (1)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f
′(x)为f(x)的导函数，则f
′(0)的值为__3__.
(2)求下列函数的导数：
①y＝xex；
②y＝；
③y＝xsin
x－；
④y＝cos2
.
[思路分析] 这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导．
[解析] (1)∵f
′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex
∴f
′(0)＝3.
(2)①y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
②y′＝()′
＝
＝＝.
③y′＝(xsinx)′－()′
＝sinx＋xcosx－.
④y＝cos2
＝＝＋cosx，
∴y′＝(－sinx)＝－sinx.
┃┃跟踪练习1__■
求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝.
[解析] (1)y′＝(x·tanx)′＝′
＝
＝＝.
(2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；
(3)解法1：y′＝′
＝
＝＝；
解法2：∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′＝.
命题方向? 利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数
典例2 求下列函数的导数：
(1)y＝xln；
(2)y＝；
(3)y＝.
[思路分析] 若所给函数解析式较为复杂，不能直接套用导数公式和导数运算法则时，可先对函数解析式进行适当的变形与化简，再用相关公式和法则求导．
[解析] (1)因为y＝xln＝xln
x＝xlnx，
所以y′＝(xlnx)′＝(x)′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋；
(2)因为y＝＝x－x2＋x3，
所以y′＝(x－x2＋x3)′＝1－2x＋3x2；
(3)因为y＝＝＝－sinx－cosx，
所以y′＝(－sinx－cosx)′＝sinx－cosx.
『规律总结』 求函数的导数时，一般要遵循“先化简再求导”的原则，这样一方面可以简化求导的过程，另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题．尤其是当函数解析式中含有三角函数时，更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，最后再套用公式求导．
┃┃跟踪练习2__■
求下列函数的导数：
(1)y＝sin2；
(2)y＝ln2x.
[解析] (1)因为y＝sin2＝(1－cosx)＝－cosx，所以y′＝sinx.
(2)因为y＝ln2x＝lnx·lnx，所以y′＝(lnx·lnx)′＝·lnx＋lnx·＝.
命题方向? 复合函数的求导
典例3 求下列函数的导数：
(1)y＝(4－3x)2；
(2)y＝cos(2x－)；
(3)y＝ln(4x－1)；
(4)y＝ex2.
[思路分析] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．
[解析] (1)设y＝u2，u＝4－3x，则yu′＝2u，ux′＝－3，于是yx′＝yu′·ux′＝－6(4－3x)＝18x－24，
即y′＝18x－24.
(2)设y＝cosu，u＝2x－，则
yu′＝－sinu，ux′＝2，
于是yx′＝yu′·ux′＝－2sin(2x－)，
即y′＝－2sin(2x－)．
(3)设y＝lnu，u＝4x－1，则yu′＝，ux′＝4，
于是yx′＝yu′·ux′＝，
即y′＝.
(4)设y＝eu，u＝x2，则yu′＝eu，ux′＝2x，于是yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即y′＝2xex2.
『规律总结』 1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点
?1?内、外层函数通常为基本初等函数.
?2?求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点.
?3?逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁.
┃┃跟踪练习3__■
求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)3；
(2)y＝sin2x＋cos2x.
[解析] (1)设y＝u3，u＝2x－1，则yu′＝3u2，ux′＝2，于是yx′＝yu′·ux′＝6(2x－1)2，即y′＝6(2x－1)2；
(2)y′＝(sin2x)′＋(cos2x)′＝2cos2x－2sin2x.
学科核心素养 综合应用问题
灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．
典例4 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[思路分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.
[解析] (1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13,
f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16；
(2)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
『规律总结』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
┃┃跟踪练习4__■
(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln
x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为__1__.
[解析] ∵f
′(x)＝a－，∴f
′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，
∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
易混易错警示 对复合函数的求导不完全而致误
在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数．
典例5 函数y＝xe1－2x的导数为__(1－2x)e1－2x__.
[错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
[正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全．
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1
-1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
自主预习·探新知
情景引入
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性．
那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？
新知导学
1．函数的单调性与导函数正负的关系
由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0处的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每一点(x0，f(x0))都有f′(x0)__＞__0，则曲线在该区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内，f′(x)__<__0，则曲线在该区间内是下降的．
由此我们得出：
设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间单调__递增__；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__递减__.
2．函数的变化快慢与导数的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__快__，其图象比较__陡峭__.即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率绝对值越大，函数f(x)的变化率就越大．
预习自测
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( D )
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0得x>2，∴选D．
2．(2020·德州高二检测)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( A )
[解析] ∵f′(x)在[a，b]上为增函数，∴f(x)在[a，b]上的切线斜率k随x的增大而增大，故选A．
3．(2020·宣城二模)若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为( D )
A．－1≤a≤2
B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1
D．a＞1或a＜－2
[解析] 若函数f(x)有3个单调区间，
则f
′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2，
故选D．
4．(2020·重庆高二检测)函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为( C )
A．(－1,1)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
[解析] 函数f(x)＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，f
′(x)＝x－，令f
′(x)<0，即x－<0，解得0互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 利用导数研究函数的单调性
典例1 (1)(2019·临沂高二检测)f
′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f
′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )
(2)证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
[解析] (1)由导函数图象可知函数f(x)在(－∞，0)上增函数，排除A，C，在(0,2)上为减函数，排除B，故选D．
(2)证明：∵f(x)＝，∴f
′(x)＝，令f
′(x)>0.可知lnx<1，即0故函数f(x)＝的单调增区间为(0，e)，又(0,2)?(0，e)，
∴函数f(x)＝在(0,2)上为单调增函数．
『规律总结』 1.函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f
′(x)：(1)若f
′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f
′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f
′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
┃┃跟踪练习1__■
(2020·阜阳高二检测)函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f
′(x)，则不等式f
′(x)<0的解集为__(－，1)∪(2,3)__.
[解析] 函数y＝f(x)在区间(－，1)和区间(2,3)上单调递减，所以在区间(－，1)和区间(2,3)上，y＝f
′(x)<0，所以f
′(x)<0的解集为(－，1)∪(2,3)．
命题方向? 求函数的单调区间
典例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝x＋(b＞0)．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝(x＋)′＝1－，
令f′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0，
∴x＞，或x＜－.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0，
∴－＜x＜，且x≠0.
∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
『规律总结』 1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
┃┃跟踪练习2__■
讨论函数f(x)＝(－1[解析] f(x)的定义域为(－1,1)；函数f(x)是奇函数，
所以只需讨论函数在(0,1)上的单调性．
因为f
′(x)＝－，
当00，(x2－1)2>0，
对于f
′(x)＝－.
所以当b>0时，f
′(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)上是减函数；
当b<0时，f
′(x)>0，所以函数f(x)在(0,1)上是增函数；
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当b>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数；
当b<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
命题方向? 已知函数的单调性，确定参数的取值范围
典例3 若函数f(x)＝x3－x2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，试求实数a的取值范围．
[思路分析] 根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解．
[解析] f′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f′(x)≤0在区间(1,4)上恒成立，且f′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．
由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0.
∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，∴a≥＝x＋1.
∵x＋1∈(2,5)，而a≥x＋1恒成立，∴a≥5.
由f′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0.
∵x∈(6，＋∞)，∴x－1>5，∴a≤＝x＋1.
∵x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，∴a≤7.
经检验a＝5和a＝7都符合题意，
∴a的取值范围是5≤a≤7.
『规律总结』 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路：
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或
f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或
f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
┃┃跟踪练习3__■
(2020·湖北重点中学联考)设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．若k>0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(－，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；若k<0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴当k>0时，增区间为(－，＋∞)，减区间为(－∞，－)，当k<0时，增区间为(－∞，－)，减区间为(－，＋∞)．
(2)解法1：由(1)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增，若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f(x)在(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
解法2：∵f(x)在(－1,1)内单调递增，∴f′(x)≥0在(－1,1)内恒成立．
令g(x)＝kx＋1，则g(x)≥0在(－1,1)内恒成立，
若k>0，则g(－1)≥0，∴－k＋1≥0，
∴k≤1，∴0若k<0，则g(1)≥0，∴k＋1≥0，∴k≥－1，
∴－1≤k<0.
∴k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
学科核心素养 转化思想的应用——构造法证明不等式
典例4 当x>0时，证明：不等式ln(x＋1)>x－x2.
[思路分析] 利用导数证明不等式，首先要构造函数f(x)，而f(x)实际上就是不等式两边式子的差，即f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2.因此要证明原不等式，即证f(x)>0在x>0时恒成立．
[解析] 证明：设f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2，则f′(x)＝－1＋x＝.
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
于是当x>0时，f(x)>f(0)＝0，∴当x>0时，不等式ln(x＋1)>x－x2成立．
『规律总结』 若证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以转化为证明：f(x)－g(x)>0.如果[f(x)－g(x)]′>0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数．若F(x)＝f(x)－g(x)是增函数，f(a)－g(a)>0，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．
┃┃跟踪练习4__■
求证：当x>1时，lnx>.
[解析] 令g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝＝，
∵x>1，∴g′(x)>0，即函数g(x)在区间(1，＋∞)内是增函数，
∴g(x)>g(1)＝0，即lnx－>0，故lnx>.
易混易错警示 利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误
典例5 设函数f(x)＝ax－－2lnx，且f
′(2)＝0，求函数f(x)的单调区间．
[错因分析] 解答本题常常因为忽视f(x)的定义域而得到错误的单调区间．
[正解] 由已知得x>0，则函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
∵f
′(x)＝a＋－，∴由f
′(2)＝a＋－1＝0，得a＝.即f
′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)．
令f
′(x)>0，得02，令f
′(x)<0，得故函数f(x)的单调递增区间为(0，)，(2，＋∞)，单调递减区间为(，2)．
[点评] 在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义域，在定义域的范围之内解决问题．
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-1.3.2 函数的极值与导数
自主预习·探新知
情景引入
在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质．
“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小．
新知导学
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递增，f′(x)__>__0，右侧f(x)单调递减，f′(x)__<__0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f′(a)__＝__0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__(c，f(c))__，(e，f(e))，与b类似的点还有__(d，f(d))__.
我们把点a叫做函数f(x)的极__大__值点，f(a)是函数的一个极__大__值；把点b叫做函数f(x)的极__小__值点，f(b)是函数的一个极__小__值．
2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于x0附近的所有点x，如果都有__f(x)f(x0)__，则称函数f(x)在点x0处取得__极小值__，并把x0称为函数f(x)的一个__极小值点__.极大值与极小值统称为__极值__，极大值点与极小值点统称为__极值点__.
预习自测
1．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是( B )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
[解析] ①y＝x3在R上单调递增，无极值；
②y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故②正确；
③y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故③正确；
④y＝2x在R上单调递增，故④不正确．∴选B．
2．(2020·银川三模)已知函数f(x)＝cosx＋alnx在x＝处取得极值，则a＝( C )
A．
B．
C．
D．－
[解析] ∵f(x)＝cosx＋alnx，∴f
′(x)＝－sinx＋，
∵f(x)在x＝处取得极值，∴f
′()＝－＋＝0，
解得：a＝，经检验符合题意，故选C．
3．已知f(x)＝x3－x2＋2x＋1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且0[解析] f′(x)＝x2－ax＋2，
∴x1，x2是f′(x)＝0的两个根，
由0解得34．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝x2e－x.
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值f(－2)＝16
↘
极小值f(2)＝－16
↗
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值16.
当x＝2时，函数有极小值－16.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值0
↗
极大值4e－2
↘
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 利用导数求函数的极值
典例1 求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[思路分析] 首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左、右两侧的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．
[解析] y′＝9x2－1，令y′＝0，解得x1＝，x2＝－.
当x变化时，y′和y的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
因此，当x＝－时，y有极大值，并且y极大值＝.
而当x＝时，y有极小值，并且y极小值＝.
『规律总结』 利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
┃┃跟踪练习1__■
(1)(2020·武汉高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f
′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)(2020·昆明高二检测)在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝( B )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
[解析] (1)由图象可知，满足f
′(x)＝0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
(2)因为f(x)＝x3＋4x2＋9x－1，
所以由f
′(x)＝x2＋8x＋9＝0可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，
因为等比数列中a＝a3·a7且a3<0，所以a5＝－3.
命题方向? 求参数的值或取值范围问题
典例2 已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．
[思路分析] 本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f′(x)取值左、右异号．
[解析] f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0时，x变化时，y、y′的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
无极值
↘
极小值
↗
由表可知：
又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.
(2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
综上，a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
『规律总结』 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
┃┃跟踪练习2__■
已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝，f
′(x)＝.
由f
′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f
′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－，
函数f(x)无极大值．
(2)F′(x)＝f
′(x)＝＝.
①当a<0时，F(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
F(x)
↘
极小值
↗
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此时－e2②当a>0时，F(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
F(x)
↗
极大值
↘
当x>2时，F(x)＝＋1>1，
当x<2时，令F(x)＝＋1<0，
即a(x－1)＋ex<0，
由于a(x－1)＋ex令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－，
即x≤1－时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点．
综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．
命题方向? 图象信息问题
典例3 下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是__③__(将你认为正确的序号填在横线上)．
[思路分析] 给出了y＝f′(x)的图象，应观察图象找出使f′(x)>0与f′(x)<0的x的取值范围，并区分f′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．
[解析] 由f′(x)的图象可见在和(2,4)上f′(x)<0，f(x)单调减，在和(4，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调增，∴只有③正确．
『规律总结』 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
┃┃跟踪练习3__■
已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f
′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)内是增函数；②函数f(x)在x＝－1处取得极大值；③函数f(x)在x＝－处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值，其中正确的说法有__①②④__.(填所有正确的序号)
[解析] 从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf
′(x)>0，于是f
′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)内是增函数，①正确；当x∈(－∞，－1)时，xf
′(x)<0，所以f
′(x)>0，当x∈(－1,0)时，xf
′(x)>0，所以f
′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，②正确；当x∈(－1,1)时，f
′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－1,1)内是减函数，③错；当x∈(0,1)时，xf
′(x)<0，于是f
′(x)<0，故f(x)在区间(0,1)内是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，④正确．
学科核心素养 有关函数极值的综合应用
在函数的综合问题中，涉及方程的根的个数时，常以函数极值为工具，并用数形结合来判断方程根的个数或已知方程根的个数来确定字母参数的取值范围．
典例4 已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－或x>；
由f′(x)<0解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极大值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．
『规律总结』 函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决．
┃┃跟踪练习4__■
设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线f(x)与x轴有且只有一个交点？
[解析] (1)f
′(x)＝3x2－2x－1.
令f
′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
综合f(x)的单调性可知，当f(x)的极大值＋a<0，
即a∈(－∞，－)时，它的极小值也小于0，
因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f(x)的极小值a－1>0，
即a∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，
因此曲线y＝f(x)与x轴也仅有一个交点，它在(－∞，－)上．
所以当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
易混易错警示 忽视极值存在的条件致误
典例5 已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．
[错因分解] 可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．
[正解] f
′(x)＝3x2＋12mx＋4n，
依题意有即
解得或
当m＝1，n＝3时，f
′(x)＝3x2＋12x＋12＝3(x＋2)2≥0，
所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当m＝2，n＝9时，f
′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6′(x)<0，当x>－2时f
′(x)>0，
故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．
综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.
[点评] 由于“f
′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f
′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．
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9
-1.3.3 函数的最大(小)值与导数
自主预习·探新知
情景引入
中国有句俗语“差之毫厘，谬以千里”，因此，很多人就以为“毫、厘”就是长度单位的最小值，在天文学中常用的长度单位是光年(Light
year)，是光(速度为每秒299
792.458公里)在一年(365天)里走的距离，因此，很多人就认为长度单位的最大值就是光年．
随着人类对宏观世界认识的不断扩大，对微观世界认识的不断深入，大单位的值越来越大，小单位的值越来越小，那么函数是否也有最大值与最小值呢？下面我们谈谈——函数的最大值与最小值．
新知导学
1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是__一条连续不断__的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在__(a，b)__内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的__各极值__与端点处的__函数值f(a)，f(b)__比较，其中__最大__的一个是最大值，__最小__的一个是最小值．
预习自测
1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)( B )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
[解析] f′(x)＝－4x3＋4x，
由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0.
易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B．
2．(2020·鄂伦春自治旗二模)若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为( A )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
[解析] f
′(x)＝，
令f
′(x)＞0，解得：x＞－1，
令f
′(x)＜0，解得：x＜－1，
故f(x)在(－2，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，
若f(x)在(－2，a)有最小值，
则a＞－1，故选A．
3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__32__.
[解析] 令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，
列表得：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
17
↗
极大值24
↘
极小值－8
↗
－1
可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.
故答案为32.
4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是__(－4，－2)__.
[解析] f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得－2<<－1，故m∈(－4，－2)．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 求函数的最值
典例1 (1)(2020·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( C )
A．
B．2
C．－1
D．4
(2)(2020·安庆高二检测)已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.
①求f(x)的单调区间；
②当x∈[－，3]时，求f(x)的最大值与最小值．
[解析] (1)y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令y′＝0解得x＝或x＝－1.
当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；
当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2，所以函数的最小值为－1，选C．
(2)①f
′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f
′(x)>0，当－1′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．
②由①知x∈[－，3]时，f(x)的极大值为f(－1)＝2，f(x)的极小值为f(1)＝－2，又f(－)＝0，f(3)＝18.
所以f(x)的最大值为18，f(x)的最小值为－2.
『规律总结』 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f
′(x)，解方程f
′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f
′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
┃┃跟踪练习1__■
(1)(2020·海口高二检测)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为( A )
A．11
B．－70
C．－14
D．21
(2)(2019·白山高二检测)函数y＝xlnx的最小值为( A )
A．－e－1
B．－e
C．e2
D．－
[解析] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f
′(x)＝3x2－6x－9，
令f
′(x)＝0得x＝－1或x＝3，
由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；
f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.
(2)因为y＝xlnx，定义域是(0，＋∞)，
所以y′＝1＋lnx，令y′>0，解得：x>，
令y′<0，解得：0所以函数在(0，)上递减，在(，＋∞)上递增，
故x＝时，函数取最小值是－.
命题方向? 含参数的函数最值问题
典例2 设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点，求a的取值范围；
(3)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．
[思路分析] (1)求f(x)的单调区间，可解不等式f′(x)≥0，f′(x)≤0，由于f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点的含义是f′(x)＝0在[－1,1]内没有实数根，故f(x)在[－1,1]内单调；(3)f(x)≤1在[－2,2]内恒成立，则f(x)在[－2,2]内的最大值小于等于1.
[解析] (1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x－)(x＋a)，
又a>0，∴当x<－a或x>时，f′(x)>0；当－a∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)，(，＋∞)，单调递减区间为(－a，)．
(2)由题设可知，方程f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝0在[－1，1]上没有实根，又Δ＝4a2＋12a2＝16a2>0，(a>0)x1x2＝－<0.
∴∴
∵a>0，∴a>3.
(3)∵a∈[3,6]，
∴∈[1,2]，－a≤－3，
又x∈[－2,2]，∴当x∈[－2，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(，2]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)的最大值为f(2)或f(－2)．
而f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m，
又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，
∴－8＋4a＋2a2＋m≤1，
即m≤9－4a－2a2，在a∈[3,6]上恒成立，
∵9－4a－2a2的最小值为－87，∴m≤－87.
『规律总结』 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
┃┃跟踪练习2__■
已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0,1]上的最小值．
[解析] 因为g′(x)＝ex－2a，x∈[0,1]，ex∈[1，e]，
所以
(1)若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1－b.
(2)若于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
(3)若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(0)＝1－b，
当当a≥时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
学科核心素养 函数最值的综合应用
函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，这是一种常见题型，主要应用分离参数法，然后转化为求函数的最值问题，在求最值时，可以借助导数求值．
典例3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[思路分析] 第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)<－2t＋m，得h(t)＋2t[解析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0及t>0，得t＝1，
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
极大值
↘
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1，
又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值g(t)max＝1.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立，
即g(t)当且仅当g(t)max＝11时上式成立，
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．
『规律总结』 将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．
一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min.
┃┃跟踪练习3__■
(2020·石家庄高二检测)已知函数f(x)＝(x－1)3＋m.
(1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，求m的取值范围．
[解析] (1)因为f(1)＝1，所以m＝1，
则f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，
而f
′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1,2]上恒成立，
即不等式m≥3x2－3x在区间[1,2]上恒成立，即m不小于3x2－3x在区间[1,2]上的最大值．
因为x∈[1,2]时，
3x2－3x＝3(x－)2－∈[0,6]，
所以m的取值范围是[6，＋∞)．
易混易错警示 没有准确把握条件致误
典例4 设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
(1)求l的方程；
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．
[错解] (1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)知y＝x－1是曲线f(x)＝在点(1,0)处的切线，又当x＝2时，有f(2)＝<1，故切线l上的对应点(2,1)，在曲线C上的点(2，)的上方，∴曲线C上除切点(1,0)外都在曲线l下方．
[辨析] (1)正确；(2)中错误地认为直线l与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致．
[正解] (1)设f(x)＝，则f′(x)＝.
所以f′(1)＝1.所以l的方程为y＝x－1.
(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0(?x>0，x≠1)．
g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
当0当x>1时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．
所以，g(x)>g(1)＝0(?x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．
[点评] 由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点．
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