1.4 生活中的优化问题举例
自主预习·探新知
情景引入
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重大贡献．”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？
已知落在底面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘成正比．现有A，B两座烟囱相距20
km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，你能找出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低吗？
新知导学
1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__自变量__的取值范围．
2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是__最值__.
3．解决优化问题的基本思路：
预习自测
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( C )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
[解析] ∵y＝－x3＋81x－234，
∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0
∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C．
2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( C )
A．
B．
C．
D．2
[解析] 如图，设底面边长为x(x>0)，
则底面积S＝x2，
∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2，
S′表＝x－，
令S′表＝0得x＝，
因为S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
3．从边长为10
cm×16
cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为__144__cm3.
[解析] 设小正方形边长为x，则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)，
即V＝4(x3－13x2＋40x)，(0令V′＝4(3x－20)(x－2)＝0得，x＝2，x＝(不符合题意，舍去)，x＝2是唯一极值点也就是最值点，所以，x＝2时，盒子容积的最大值为144cm3.
4．一张1.4
m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8
m，要使观察者观察得最清晰，他与墙的距离应为(视角最大时最清晰，视角是指观察图片上底的视线与观察图片下底的视线所夹的角)__2.4_m__.
[解析] 如图所示，设OD＝x，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，α为视角，
则α＝γ－β，tanγ＝，tanβ＝，
tanα＝tan(γ－β)＝＝＝(x>0)，
令(tanα)′＝＝0，
解得x＝2.4或x＝－2.4(舍去)，
在x＝2.4附近，导数值由正到负，
所以在x＝2.4时，tanα取得最大值，α也取得最大值．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 面积、容积最大问题
典例1 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长，根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．
[解析] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，
V(x)＝(a－2x)2x,0即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0实际问题归结为求V(x)在区间上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．
在开区间内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.
解得x1＝a，x2＝a(舍去)．
当00；
当x1因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以x＝a是V(x)的最大值点．
即当截下的小正方形边长为a时，容积最大．
『规律总结』 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
┃┃跟踪练习1__■
请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解析] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，
V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
命题方向? 平面几何中的最值问题
典例2 (1)如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是下图中的( A )
(2)在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为____时，它的面积最大．
[解析] (1)由所给的图示可得，当x≤π时，弓形PnO的面积为S＝f(x)＝S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sinx，其导数为f
′(x)＝2－2cosx，由余弦函数的性质知，此值越来越大，即f(x)的图象上升得越来越快，由此可以排除B，C；再由所给图示的对称性知，弓形PnO的面积先是增加得越来越快，然后是增加得越来越慢，直到增加率为0，由此可以排除D．故选A．
(2)设∠OBC＝θ，
则0<θ<.
OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，
∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.
令S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0
∴cos2θ＝sinθ，∴sinθ＝，θ＝，即当θ＝时，△ABC的面积最大，此时高为OA＋OD＝R＋＝.
『规律总结』 1.利用导数解决优化问题的基本思路
2．关于平面图形中的最值问题
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
┃┃跟踪练习2__■
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．
[解析] 设AD＝2x(0AB＝y＝4－x2，
所以矩形面积为S＝2x(4－x2)(0即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当00；
当所以，当x＝时，S取得最大值，此时S最大值＝.
即矩形的长和宽分别为，时，矩形的面积最大．
命题方向? 实际生活中的最值问题
角度1：用料最省费用最少问题
典例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值．
[解析] (1)设隔热层厚度xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8得k＝40，
故C(x)＝(0≤x≤10)；又x厘米厚的隔热层建造费用为6x，
所以由题意f(x)＝×20＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f
′(x)＝6－＝.
令f
′(x)＝0，得x＝5或x＝－(舍去)，
当x∈(0,5)时，f
′(x)<0，当x∈(5,10)时，f
′(x)>0，故x＝5时，f(x)取得最小值，且最小值f(5)＝6×5＋＝70.
因此当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元．
角度2：利润最大问题
典例4 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24
200－x2，且生产x吨的成本为R＝50
000＋200x元．问每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本＝Px－(50
000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
[解析] 每月生产x吨时的利润为
f(x)＝(24
200－x2)x－(50
000＋200x)
＝－x3＋24
000x－50
000
(x≥0)．
由f′(x)＝－x2＋24
000＝0，
解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－×2003＋24
000×200－50
000＝3
150
000(元)
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
『规律总结』 解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
┃┃跟踪练习3__■
(2019·海口高二检测)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的费用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p＝(2≤x≤8)．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费(x2＋25)万元．设f(x)为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．
(1)求f(x)的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．
[解析] (1)f(x)＝＋5x＋(x2＋25)
整理得f(x)＝(x＋5)2＋(2≤x≤8)．
(2)f
′(x)＝(x＋5)－＝
由f
′(x)≥0得x≥5；
所以f(x)在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增；
故当x＝5时，f(x)取得最小值150.
综上所述，宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元．
学科核心素养 利用基本不等式处理优化问题
在解决生活中遇到的优化问题时，基本不等式在解决此类问题中有广泛的应用．利用基本不等式求最值时，必须注意使用的前提以及等号成立的条件成立，否则易犯错误，注意f
′(x0)＝0的x0是否在定义域内，从而进行分类讨论．
典例5 某船由甲地逆水行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(b>a)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，问：船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？
[解析] 设船在静水中的航行速度为xkm/h，全程的燃料费用为y元，
由题设可得y＝·kx2，x∈(a，b]．
∴y＝ks·＝ks·＝ks[(x－a)＋＋2a]．
当2a≤b时，y＝ks[(x－a)＋＋2a]
≥ks(2＋2a)，
当且仅当x＝2a时，ymin＝4aks.
当2a>b时，令t＝x－a，则t∈(0，b－a]．
∴y＝ks(t＋＋2a)，
∴y′＝ks(1－)＝ks.
令0∴y′<0，即y＝ks(t＋＋2a)在(0，b－a]上是递减的，
∴当t＝b－a，即x＝b时，ymin＝ksb2.
综上可知，当b<2a时，船在静水中的速度为b
km/h时，航行燃料费用最省．
当b≥2a时，船在静水中的速度为2a
km/h时，航行燃料费用最省．
┃┃跟踪练习4__■
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大．(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
[解析] (1)当0当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
∴W＝
(2)①当0当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10]时，W′<0，
∴当x＝9时，W取得最大值，
即Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时，W＝98－(＋2.7x)
≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，
即x＝时，W取得最大值38.
综合①②知：当x＝9时，W取得最大值为38.6万元，
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大．
易混易错警示 含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系
典例6 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
[错解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s，所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]．
(2)由题意知s、a、b、v均为正数，
由y′＝s＝0得v＝±，又0[辨析] 第(2)问中与c未进行比较大小而直接得出结论，故错误．
[正解] 上接错解※处，①若≤c，则v＝是使y的导数为0的点，且当v∈时，y′≤0；v∈时，y′≥0.所以当v＝时，全程运输成本y最小．
②若>c，v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度v＝；当>c时，行驶速度v＝c.
[点评] 若函数f(x)的解析式或定义域中含有参数，参数的取值可能引起函数最值的变化，这时要注意分类讨论．
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1
-1.5 定积分的概念
第1课时 1.5.1
曲边梯形的面积与汽车行驶的路程
自主预习·探新知
情景引入
以前农民种树是为了盖房子，但有的树长得很不争气(弯弯曲曲)，农民便生气地说：“这棵树盖房子不能用，太弯了．”旁边的人便开玩笑说：“不弯，不弯，锯成灯笼底就不弯了
.”
以前农历正月十五，农家孩子打的灯笼是自己做的，底是用圆木锯出来的，在灯笼的底上粘上蜡烛再用透明纸一包，一个简易的灯笼就做成了．这虽然是玩笑，却蕴含着“以直代曲”的数学思想．
新知导学
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的__连续__函数．
2．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a、x＝b(a≠b)、y＝0和曲线__y＝f(x)__所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些__小曲边梯形__(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“__以直代曲__”，即用__矩形__的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的__近似值__(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值__求和__；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个__定值__，即为曲边梯形的面积．
3．求变速直线运动的路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用__分割__、__近似代替__、__求和__、__取极限__的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
预习自测
1．下列函数中，在其定义域内不是连续函数的是( D )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝sinx
C．f(x)＝lgx－1
D．f(x)＝
[解析] 作出各个函数的图象，可知应选D．
2．函数f(x)＝x2在区间[，]上( D )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
[解析] 当n很大时，区间[，]的长度越来越小，f(x)的值变化很小．故选D．
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[，]上的值可以用下列哪个值近似代替( C )
A．f()
B．f()
C．f()
D．f(0)
[解析] 当n很大时，f(x)＝x2在区间[，]上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C．
4．已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
[解析] (1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，
每个小区间所表示的时间段Δt＝－t＝，在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi＝t，用g·t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si＝··t·
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝gt2.
(4)取极限：s＝
＝gt2.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 求曲边梯形的面积
典例1 求由直线x＝0、x＝1、y＝0和曲线f(x)＝x(x－1)围成的图形面积．
附参考公式：12＋22＋32＋…＋n2＝.
[思路分析] 只要按照分割、近似代替、求和、取极限四步完成即可．
[解析] (1)分割：
用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，…，，简写作(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1、ΔS2、…、ΔSi、…、ΔSn.
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：
在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，以|f(ξi)|＝为其一边长，以小区间长度Δx＝为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈|f(ξi)|Δx＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即
S＝Si≈f(ξi)|Δx
＝·
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·－·n(n－1)(2n－1)＝.
(4)取极限：当分割无限变细，即Δx无限趋近于0时，n无限趋近于＋∞，此时无限趋近于S.从而有：
S＝
＝.
所以由直线x＝0、x＝1、y＝0和y＝x(x－1)围成的图形面积为.
『规律总结』 1.求曲边梯形面积的基本步骤是：分割、近似代替、求和、取极限．
2．在“近似代替”中，在每一个小区间上通常取一个端点的值代入计算，这样做是为了计算简便．
3．当f(ξi)为负值时，取|f(ξi)|为一边构造小矩形．
┃┃跟踪练习1__■
求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝x2所围成的图形的面积．
[解析] (1)分割
将区间[0,1]等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，]，…，[，1]，
每个小区间的长度为Δx＝.
过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
在区间[，]上，用处的函数值()2作为高，以小区间的长度Δx＝作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈()2·.
(3)求和
曲边梯形的面积为
Sn＝Si≈()2·
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＝(1－)(1－)．
(4)取极限
曲边梯形的面积为S＝
＝.
命题方向? 求变速运动的路程
典例2 已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过的路程s.
[解析] (1)分割
将时间区间[0，t0]分成n等份：(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间为Δt＝；
各区间物体运动的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替
在小区间上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)(为方便计算，一般都取区间的左端点或右端点)，用时刻ξi的速度v(ξi)近似代替第i个小区间上的速度．由匀速直线运动的路程公式，每个小区间物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δsi≈v(ξi)Δt(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物体运动的距离s就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和近似代替，
即s＝si≈(ξi)Δt.①
(4)取极限
当所分时间区间愈短，即Δt＝愈小时，和式①的值就愈接近s.因此，当n→∞，即Δt＝→0时，和式①的极限，就是所求的物体在时间区间[0，t0]上所经过的路程．
由此得到s＝(ξi)Δt.
『规律总结』 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．
┃┃跟踪练习2__■
一辆汽车做变速直线运动，若汽车在时刻t的速度为v(t)＝2t2，求汽车在t＝1到t＝4这段时间内运动的路程s.
[解析] (1)分割
将区间[1,4]等分成n个小区间[1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，每个区间的长度均为Δt＝，每个时间段所行驶的路程为Δsi(i＝1,2，…，n)，则路程和sn＝si.
(2)近似代替
取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，
于是Δsi＝v(ξi)·Δt＝2(1＋)2·
＝(1＋i＋i2)(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝si＝(1＋i＋i2)]
＝(1＋i＋i2)
＝(＋＋2)
＝[n＋·＋·]
＝6＋18(1＋)＋9(1＋)(2＋)．
(4)取极限
s＝sn＝[6＋18(1＋)＋9(1＋)(2＋)]＝42.
故汽车在t＝1到t＝4这段时间内运动的路程s等于42.
学科核心素养 利用定积分定义求变力做的功
典例3 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
[思路分析] 利用定积分的定义求解．
[解析] 将物体用力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为W＝Fx，其中F是克服弹簧拉力的变力，则F关于移动距离x的函数F(x)＝kx.
将[0，b]n等分，记Δx＝，分点依次为：x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝b.当n很大时，在区间[xi，xi＋1]上所用的力约为kxi，所做的功ΔWi≈kxi·Δx＝kxi，
所以从0到b所做的总功W近似地等于
Wi＝xi·Δx＝··＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝·＝(1－)，
所以弹簧从平衡位置拉长b所做的功为：W＝Wi＝
＝kb2.
『规律总结』 分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形的面积，但这是近似值，分割得越细，近似程度就会越好，这是“以直代曲”方法的应用．
易混易错警示 搞错区间端点致误
典例4 求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( D )
A．[，]
B．[，]
C．[，]
D．[，]
[错解] 选C，因为从x＝0到x＝t得区间长度为t，平均分成n份，∴每个小区间长度为，故第i－1个区间为[，]．
[辨析] 在将区间[0,1]等分成n个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为，…，依次类推，第i个小区间的左端点为，因此将区间[0，t]n等分后，第i个小区间的左端点应为.
[正解] 将区间[0，t]n等分，每个小区间的长度为，故第1个小区间为[0，]，第2个小区间为[，]，第3个小区间为[，]，…，故第i－1个区间的左端点为，右端点为＋＝.
[点评] 不要出现简单的低级计算错误．
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-1.5.2
定积分的概念
自主预习·探新知
情景引入
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法．
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．那么定积分是怎样定义的呢？又有哪些性质呢？
新知导学
1．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0这里，a与b分别叫做__积分下限__与__积分上限__，区间[a，b]叫做__积分区间__，函数f(x)叫做__被积函数__，x叫做__积分变量__，f(x)dx叫做__被积式__.
2．定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有__f(x)≥0__，那么定积分f(x)dx表示由__直线x＝a，x＝b(a≠b)__，y＝0和__曲线y＝f(x)__所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质
①kf(x)dx＝__k
f(x)dx__(k为常数)；
②[f1(x)±f2(x)]dx＝__
f1(x)dx±
f2(x)dx__；
③
f(x)dx＝
f(x)dx＋__
f(x)dx__(其中a定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和．
预习自测
1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的图形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为( B )
A．[0，e2]
B．[0,2]
C．[1,2]
D．[0,1]
[解析] 解方程组，可得，
所以积分区间为[0,2]，故应选B．
2．下列式子中不成立的是( C )
A．sinxdx＝cosxdx
B．eq
\i\in(0,
,)sinxdx＝eq
\i\in(0,
,)cosxdx
C．sinxdxcosxdx
D．|sinx|dx|cosx|dx
[解析] 由定积分的几何意义知sinxdx>0，cosxdx＝0，所以C不成立，故应选C．
3．下列值等于1的是( C )
A．xdx
B．(x＋1)dx
C．1dx
D．x2dx
[解析] 由积分的几何意义可知选C．
4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
(1)xdx__>__x2dx(图1)；
(2)xdx__<__xdx(图2)；
(3)dx__<__2dx(图3)．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 定积分的定义
典例1 求x3dx.
[思路分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定义中包含的几个步骤来求x3dx.
[解析] (1)分割[0,1]：
0＜＜＜…＜＜＝1.
(2)近似代替：作和
3·＋3·＋…＋3·.＝.
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点)
(3)取极限：
＝3＝2
＝，
∴x3dx＝
＝.
(此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝2)
因此x3dx＝.
『规律总结』 用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n等分．
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]，可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi.
(3)求和：f(ξi)．
(4)求极限：f(x)dx＝f(ξi)．
┃┃跟踪练习1__■
(1)定积分f(x)dx的大小( A )
A．与f(x)和积分区间有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间及ξi的取法无关
C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间无关
D．与f(x)、积分区间和ξi的取法都有关
(2)利用定积分的定义计算：x2dx.
[解析] (2)①分割，将区间[0,1]分成n等份0<<<…<<＝1，分割后的小区间长为Δx＝－＝.
②近似代替，第i个小曲边梯形的面积可近似为
ΔSi≈ΔS′i＝f()·Δx＝()2·，(i＝1,2，…，n)．
③求和，Sn≈S′i＝()Δx＝()2·
＝0·＋()2·＋…＋()2·
＝·[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(2－)．
④取极限
x2dx＝Sn＝
＝.
命题方向? 利用定积分的几何意义计算定积分
典例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：
(1)2dx；
(2)eq
\i\in(,π,)
(1＋sinx)dx；
(3)dx.
[解析] (1)2dx表示的是如图中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx＝2.
(2)函数y＝1＋sinx的图象如图所示，
eq
\i\in(,π,)
(1＋sinx)dx＝2S矩形ABCD＝2π.
(3)
dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积，其值为2π，所以dx＝2π.
『规律总结』 利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
┃┃跟踪练习2__■
用定积分的几何意义求：
(1)(3x＋2)dx；
(2)eq
\i\in(,,)sinxdx.
[解析] 如图1，阴影部分面积为＝，从而(3x＋2)dx＝.
(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，从而eq
\i\in(,,)sinxdx＝0.
命题方向? 利用定积分的性质求定积分
典例3 已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，
求：(1)
3x3dx；
(2)
6x2dx；
(3)
(3x2－2x3)dx.
[解析] (1)3x3dx＝3x3dx
＝3＝3＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx＝6(x2dx＋x2dx)＝6＝126.
(3)
(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.
『规律总结』 定积分的性质在做题时经常用到，不但可以把未知的问题转化为已知的问题，而且在运算方面更为简便．另外，若函数f(x)的奇偶性已经明确，我们还有下面的结论，若f(x)在[－a，a]上连续，则：
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0；
(2)若函数f(x)为偶函数
，则f(x)dx＝2f(x)dx.
┃┃跟踪练习3__■
已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．
[解析] 由定积分的几何意义知
xdx＝×2×2＝2，
(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，
dx＝×2×1＝1，
所以f(x)dx＝xdx＋(4－x)dx＋dx＝2＋＋1＝.
学科核心素养 利用定积分求平面图形的面积
定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具，注意这些性质的正用和逆用及变形应用．主要考查定积分表示平面图形的面积．
典例4 将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示．
(1)y＝0，y＝，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的面积进行表示．
[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，则S＝dx
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1由y＝，y＝－，x＝1围成；
A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．
∴A1＝[－(－)]dx，A2＝[－(x－2)]dx，
∴S＝2dx＋(－x＋2)dx.
『规律总结』 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：
(1)准确画出各曲线围成的平面区域；
(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；
(3)解由曲线方程组成的方程组，确定积分的上、下限；
(4)根据定积分的性质写出结果．
┃┃跟踪练习4__■
(1)由y＝cosx，x＝0，x＝，y＝0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是__eq
\i\in(0,
,)cosxdx__.
(2)利用定积分的几何意义求dx.
[解析] (1)由定积分的定义和几何意义求解．
(2)如图，定积分dx表示由直线x＝－3，x＝0，y＝0与曲线y＝所围成的图形的面积，计算可得面积为＝π，所以dx＝π.
易混易错警示 错用定积分的几何意义致误
典例5 由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为__eq
\i\in(0,
,)cosxdx－eq
\i\in(,,)cosxdx＋eq
\i\in(,2π,)cosxdx__.
[错解] 根据曲边梯形的面积计算和定积分的几何意义，得所求面积为cosxdx.
[辨析] 由于所围成的平面图形，有的在x轴上方，有的在x轴下方，其定积分值有的为正，有的为负，其中位于x轴下方的面积应为积分值的相反数．
[正解] 由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：[0，]，[，]，[，2π]，利用定积分的几何意义可得，所求面积为eq
\i\in(0,
,)cosxdx－eq
\i\in(,,)cosxdx＋eq
\i\in(,2π,)cosxdx.
[点评] 当x∈[a，b]时，若f(x)<0，则由直线x＝a，x＝b，x轴和曲线f(x)围成的图形的面积应为－f(x)dx.
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9
-1.6 微积分基本定理
自主预习·探新知
情景引入
火箭要把运载物发送到预定轨道是极其复杂的过程，至少涉及变力做功问题，有诸如“曲边梯形”面积计算、变速直线运动的位移计算等问题，应如何解决？能否将“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯形”面积的计算，能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题呢？学习了本节知识后，就可以轻易解决这些问题．
新知导学
1．微积分基本定理
如果F(x)是区间[a，b]上的__连续____函数，并且F′(x)＝__f(x)__，那么f(x)dx＝__F(b)－F(a)__.
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__原函数__，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
3．被积函数的原函数有很多，即若F(x)是被积函数f(x)的一个__原函数__，那么F(x)＋C(C为常数)也是被积函数f(x)的__原函数__.但是在实际运算时，不论如何选择常数C(或者是忽略C)都没有关系，事实上，以F(x)＋C代替式中的F(x)有f(x)dx＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)．
4．求定积分的方法主要有：①利用定积分的__定义__；②利用定积分的__几何意义__；③利用__微积分基本定理__.
预习自测
1．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝__－2__.
[解析] f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝－1，
所以1＋f(x)dx＝－1，所以f(x)dx＝－2.
2．(x2－x)dx＝____.
[解析] ∵(－x2)′＝x2－x.
∴原式＝(－x2)|＝(－2)－0＝.
3．求下列定积分：
(1)xdx＝____.
(2)eq
\i\in(0,
,)sinxdx＝__1__.
(3)2xdx＝____.
(4)
cosxdx＝__0__.
(5)(x3－x)dx＝__－__.
(6)eq
\i\in(0,
,)
(3x＋sinx)dx＝__＋1__.
(7)(3x2－2x＋1)dx＝__24__.
(8)dx＝____.
[解析] (1)∵()′＝x，∴xdx＝|＝.
(2)∵(－cosx)′＝sinx，∴eq
\i\in(0,
,)sinxdx＝－cosxeq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))
＝(－cos)－(－cos0)＝1.
(3)()′＝2x，∴2xdx＝|＝－＝.
(4)∵(sinx)′＝cosx，∴cosxdx＝sinx|＝0.
(5)(x3－x)dx＝(x4－x2)|＝－.
(6)eq
\i\in(0,
,)
(3x＋sinx)dx＝(x2－cosx)eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))＝π2＋1.
(7)(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|＝24.
(8)dx＝－|＝－－(－1)＝.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 利用微积分基本定理求定积分
典例1 求下列定积分：
(1)(x2－3x＋1)dx；(2)eq
\i\in(0,
,)
(cosx－sinx)dx；(3)(ex－)dx；(4)dx.
[思路分析] 明确被积函数，然后寻找被积函数的原函数，再利用微积分基本定理进行计算，必要时，应先对被积函数进行恰当的化简和变形，再寻求其原函数．
[解析] (1)∵(x3－x2＋x)′＝x2－3x＋1，
∴
(x2－3x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|
＝(9－＋3)－(－－－1)＝.
(2)∵(sinx＋cosx)′＝cosx－sinx，
∴eq
\i\in(0,
,)
(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))＝－1.
(3)∵(ex－2lnx)′＝ex－，
∴(ex－)dx＝(ex－2lnx)|＝(e2－2ln2)－e＝e2－e－2ln2.
(4)∵dx＝(2x－)dx，又(x2＋)′＝2x－，
∴dx＝(x2＋)|＝.
『规律总结』 1.利用微积分基本定理求定积分的步骤：
第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列函数形式的积分的代数和．
第二步，依次找出各被积函数的一个满足F′(x)＝f(x)的原函数F(x)．
第三步，利用牛顿——莱布尼茨公式求值．
2．常用公式
①cdx＝cx|(c为常数)；
②xndx＝xn＋1|(n≠－1)；
③dx＝lnx|(b>a>0)；
④sinxdx＝－cosx|；
⑤cosxdx＝sinx|；
⑥exdx＝ex|；
⑦axdx＝|(a>0且a≠1)．
┃┃跟踪练习1__■
求下列定积分：
(1)xndx；
(2)(2－x2)(3－x)dx；
(3)(＋)26xdx；
(4)eq
\i\in(0,
,)2cos2dx.
[解析] (1)xndx＝xn＋1|＝×1n＋1－×0n＋1＝.
(2)(2－x2)(3－x)dx＝(6－2x－3x2＋x3)dx＝(6x－x2－x3＋x4)|
＝(6×3－32－33＋×34)－(6×2－22－23＋×24)＝－4＝－.
(3)(＋)26xdx＝(x＋＋2)6xdx
＝(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
(4)eq
\i\in(0,
,)2cos2dx＝eq
\i\in(0,
,)
(1＋cosx)dx
＝(x＋sinx)eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))＝1＋.
命题方向? 微积分基本定理的应用
典例2 (1)(2020·泰安高二检测)若(2ax2－a2x)dx＝，则a＝__1或__.
(2)已知t>0，f(x)＝2x－1，若f(x)dx＝6，则t＝__3__.
[解析] (1)(2ax2－a2x)dx
＝2ax2dx－a2xdx
＝2a·|－x2|＝a－.
∴a－＝，解a＝1或.
(2)f(x)dx＝(2x－1)dx＝(x2－x)|＝t2－t
∴t2－t＝6解得t＝－2或3.∵t>0，∴t＝3.
┃┃跟踪练习2__■
(1)上题(2)中条件不变，改为试求
(2x－1)dx的值．
(2)若将上题(2)中条件改为f(x)dx＝f()，求a的值．
[解析] (1)由t＝3，得
(2x－1)dx＝(2x－1)dx
＝(x2－x)|＝(9－3)－(1＋1)＝4.
(2)a2－a＝a－1，
即a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
学科核心素养 求分段函数的定积分
求分段函数的定积分时，可利用定积分的性质将其表示为几段定积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解．
典例3 计算下列定积分：
(1)若f(x)＝求eq
\i\in(-1,,)f(x)dx；
(2)|x2－4|dx；
(3)(|x－1|＋|x－3|)dx.
[思路分析] 解答本题第(1)小题，可按f(x)的分段标准及积分区间将其化为两段积分的和；解答第(2)(3)小题时，可根据绝对值的意义将其转化为分段函数的定积分．
[解析] (1)因为f(x)＝
所以eq
\i\in(-1,,)f(x)dx＝f(x)dx＋eq
\i\in(0,,)
f(x)dx
＝x2dx＋eq
\i\in(0,,)
(cosx－1)dx
＝x3|＋(sinx－x)eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))
＝＋(1－)＝－.
(2)因为|x2－4|＝
所以|x2－4|dx＝|x2－4|dx＋|x2－4|dx
＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝(4x－x3)|＋(x3－4x)|
＝(8－)＋[(－12)－(－8)]＝.
(3)因为|x－1|＝
|x－3|＝
所以(|x－1|＋|x－3|)dx
＝|x－1|dx＋|x－3|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＋|x－3|dx
＝(1－x)dx＋(x－1)dx＋(3－x)dx
＝(x－x2)|＋(x2－x)|＋(3x－x2)|
＝＋＋4＝5.
『规律总结』 (1)在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间[a，b]上的积分，分成几段积分和的形式．分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分即可．
(2)当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来．例如：对于被积函数y＝sin3x，其原函数应为y＝－cos3x，而其导数应为y′＝3cos3x.
┃┃跟踪练习3__■
(1)设f(x)＝则f(x)dx＝( C )
A．
B．
C．
D．不存在
(2)定积分eq
\i\in(0,,)
|sinx|dx的值为__3__.
[解析] (1)f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3|＋(2x－x2)|＝＋＝.
(2)eq
\i\in(0,,)|sinx|dxsinxdx＋eq
\i\in(π,,)
(－sinx)dx
＝(－cosx)|＋cosxeq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,π,))＝2＋1＝3.
易混易错警示 积分变量分辨不清
典例4 求定积分(3t2－2t＋1)dx.
[错因分析] 如果对积分变量不注意，马马虎虎，就有可能得到(3t2－2t＋1)dx＝(t3－t2＋t)|＝21－1＝20这样的错误结果．
[正解] ∵[(3t2－2t＋1)x]′＝3t2－2t＋1，
∴(3t2－2t＋1)dx＝[(3t2－2t＋1)x]|＝3(3t2－2t＋1)－(3t2－2t＋1)＝6t2－4t＋2.
[点评] 本题错误在于没有搞清楚积分变量，误以为t是积分变量，从而导致错误．事实上，该定积分中，积分变量是x，t是常数，这时被积函数实质是一个常数函数，从而其原函数应是个一次函数y＝(3t2－2t＋1)x.
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-1.7 定积分的简单应用
自主预习·探新知
情景引入
大家都可以想象到天女散花的情景——左手提着一篮娇艳美丽的鲜花，右手把一朵鲜花散落，一片片花瓣飘荡在空中，随后落在人间，让人产生无尽的遐想．
一片花瓣的图形可以看成两条美丽的曲线相交而成．由前面学习的定积分的知识，我们可以计算出该图形的面积，即一片花瓣平铺的面积．
新知导学
1．求平面图形的面积
(1)求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a、x＝b(a图①中，f(x)>0，f(x)dx>0，因此面积S＝__f(x)dx__；
图②中，f(x)<0，f(x)dx<0，因此面积S＝|f(x)dx|＝__－f(x)dx__；
图③中，当a≤x0，因此面积S＝|f(x)|dx＝__－f(x)dx＋f(x)dx__.
(2)求由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a、x＝b(a图④中，f(x)>g(x)>0，面积S＝__[f(x)－g(x)]dx__；
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积S＝__[f(x)－g(x)]dx__.
2．变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝__v(t)dt__.
3．变力做功
一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s
m，则力F所做的功为W＝Fs.
如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b.则变力F(x)做的功W＝__F(x)dx__.
预习自测
1．由直线x＝0、x＝、y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于( A )
A．3
B．
C．1
D．
[解析] 所求面积S＝eq
\i\in(0,,)2sinxdx＝－2cosxeq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))＝－2(－－1)＝3.
2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为( C )
A．gt
B．gt
C．gt
D．gt
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是v(t)
dt，∴gt
dt＝gt2＝g(t－0)＝gt.故应选C．
3．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积是，则c＝____.
[解析] 曲线y＝x2与y＝cx3的交点为.
由题意知eq
\i\in(0,,)
(x2－cx3)dx＝eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))＝＝.∴c＝.
4．(2020·黄冈质量检测)设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为__4x＋3__.
[解析] ∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝5，
xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx＝ax3|＋bx2|＝a＋b＝.
由解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 不需分割图形面积的求解
典例1 计算由直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13所围图形的面积S.
[思路分析] 先画出图形，再求出两曲线的交点，然后结合图形利用定积分写出面积表达式，最后利用微积分基本定理求解．
[解析] 作出直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组
得交点坐标为A(2,5)和B(5,8)．
因此所求图形的面积
S＝(x＋3)dx－(x2－6x＋13)dx
＝(－x2＋7x－10)dx
＝(－x3＋x2－10x)|＝.
『规律总结』 利用定积分求平面图形的面积的步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象．
(2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的部分．
(3)借助图形确定出被积函数．
(4)求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和(定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面积．
┃┃跟踪练习1__■
(1)如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0＝__.
(2)(2020·安阳高二检测)如图是函数y＝cos(2x－)在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是( B )
A．
B．
C．
D．－
[解析] (1)S阴＝x2dx＝x－×03＝x，S△OAP＝××x0＝x0，由题意知x＝x0，
因为x0>0，所以x0＝.
(2)由已知函数y＝cos(2x－)的周期为T＝π，知图中阴影的最右的端点坐标为(，0)，故阴影部分的面积
S＝－eq
\i\in(0,,)cos(2x－)dx＋eq
\i\in(,,)cos(2x－)dx
＝－[sin(2x－)]eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))＋[sin(2x－)]eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,,))
＝－[sin(－)－sin(－)]＋[sin－sin(－)]＝＋1＝.
命题方向? 分割型平面图形面积的求解
典例2 求由曲线y＝、y＝2－x、y＝－x所围成图形的面积．
[思路分析] 画出三条曲(直)线，求出交点坐标，将平面图形按交点分割成可求积分的几部分再求解．
[解析] 解法1：画出草图，如图所示．
解方程组、及
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝[－(－x)]dx＋[(2－x)－(－x)]dx
＝(＋x)dx＋(2－x)dx
＝(x＋x2)|＋(2x－x2)|
＝＋＋[(2×3－×32)－(2－)]＝.
解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝
[(2－y)－(－3y)]dy＋[(2－y)－y2]dy
＝
(2＋2y)dy＋(2－y－y2)dy
＝(2y＋y2)|＋(2y－y2－y3)|＝－(－2＋1)＋2－－＝.
『规律总结』 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的各交点坐标，可以将积分区间细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限为y的对应值．被积函数也相应的改变．
┃┃跟踪练习2__■
求由抛物线y2＝，y2＝x－1所围成图形的面积．
[解析] 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图所示．
方法一：以x为积分变量．
由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A(，)，B(，－)．
设点P(1,0)，则所求面积
S＝2(eq
\i\in(0,,)dx－eq
\i\in(1,,)dx)＝2[xeq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))－(x－1)
eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,1,))]＝.
方法二：以y为积分变量．由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A(，)，B(，－)．
设点P(1,0)，则所求面积S＝2eq
\i\in(0,,)
(y2＋1－5y2)dy＝2(y－y3)eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0,))＝.
命题方向? 变速直线运动的路程、位移问题
典例3 有一动点P从原点出发沿x轴运动，在时刻为t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)t＝6时，点P离开原点后运动的路程和点P的位移；
(2)经过时间t后又返回原点时的t值．
[思路分析] (1)
→→
(2)→
[解析] (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点沿x轴正方向运动，
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点后运动的路程
s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝(4t2－t3)|－(4t2－t3)|＝.
当t＝6时，点P的位移为(8t－2t2)dt
＝(4t2－t3)|＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，
t＝6是所求的值．
『规律总结』 1.沿直线运动时，路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′情况如下：
(1)若v(t)≥0，则s＝v(t)dt；s′＝v(t)dt.
(2)若v(t)≤0，则s＝－v(t)dt；s′＝v(t)dt.
(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，则s＝v(t)dt－v(t)dt，s′＝v(t)dt.
所以求路程时要先求得速度的正负区间．
2．用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中相关的内容，将物理问题转化为定积分解决．
┃┃跟踪练习3__■
列车以72
km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4
m/s2，问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动？
[解析] 已知列车速度v0＝72
km/h＝20
m/s，列车制动时获得加速度a＝－0.4
m/s2.
设列车由开始制动经过t
s后的速度为v，则v＝v0＋at＝20－0.4t.
令v＝0，得t＝50(s)．
设列车由开始制动到停止时所走的路程为s，则
s＝vdt＝
(20－0.4t)dt＝500(m)．
所以列车应在进站前50
s，离车站500
m处开始制动．
学科核心素养 求变力做功
用定积分解决此类变力做功问题，要明确变力是在其方向上的位移之和，再用定积分求解．
典例4 一物体在变力F(x)＝(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向从x＝0运动到x＝5处，求变力所做的功．
[解析] 变力F(x)所做的功为
W＝(2x＋4)dx＋(x2＋2x)dx＝(x2＋4x)|＋(x3＋x2)|＝12＋60＝72(J)．
『规律总结』 1.对于给出物体在变力作用下沿与力相同方向运动的变力做功问题，可直接用定积分求解，计算公式W＝F(x)dx.
2．注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
┃┃跟踪练习4__■
设有一长25
cm的弹簧，若加以100
N的力，则弹簧伸长到30
cm，求使弹簧由25
cm伸长到40
cm所做的功．
[解析] 设x表示弹簧伸长的长度(单位：厘米)，F(x)表示加在弹簧上的力，设F(x)＝kx，依题意得x＝5时F(x)＝100，
所以k＝20，x＝40－25＝15，
所做的功为：W20xdx＝10x2＝2
250(N·cm)＝22.5(J)．
易混易错警示 因被积函数和积分上下限确定不准致误
典例5 由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积为( C )
A．16－
B．16＋
C．
D．
[错解] 选D．由y2＝8x(y>0)得y＝，
由x＋y－6＝0得y＝6－x，
由得或(舍去)．
∴所求面积S＝(6－x－)dx＝[6x－x2－(8x)]|＝，
故选D．
[辨析] 错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区间致误．
[正解] 由题意，所围成平面图形如图所示，
由
得所以抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)，
方法一：(选y为积分变量)
S＝(6－y－y2)dy＝(6y－y2－y3)|
＝24－8－×64＝.
方法二：(选x为积分变量)
S＝()dx＋(6－x)dx
＝×x|＋(6x－x2)|
＝＋[(6×6－×62)－(6×2－×22)]＝.
[点评] 用定积分求较复杂的平面图形的面积时，一要根据图形确定x还是y作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数；三要找准原函数．
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9
-第一章
章末整合提升
网络构建·理脉络
导数及其应用
专题突破·启智能
专题?
利用导数的几何意义解题
导数的概念、运算及导数的几何意义等基础知识，是高考的必考内容，难度位于中低档．
典例1 设曲线y＝x3在x＝a(a≠0)处的切线为l.
(1)求直线l的方程；
(2)证明：直线l与曲线y＝x3恒有两个不同的公共点，且这两个公共点之间的距离不小于3a2.
[思路分析] (1)利用导数的几何意义解决．先求导数f
′(x)＝3x2，则切线斜率为f
′(a)＝3a2，再利用点斜式写出切线方程．(2)利用方程思想解决．将切线方程与曲线方程联立求出交点坐标A(a，a3)，B(－2a，－8a3)，再利用两点间距离公式求出距离，观察结构，采用基本不等式证明结论成立．
[解析] (1)y′＝3x2，直线l的斜率为f
′(a)＝3a2.
故直线l的方程为y－a3＝3a2(x－a)，
即y＝3a2x－2a3.
(2)证明：由，得x3－3a2x＋2a3＝0.
即(x－a)2(x＋2a)＝0，解得x1＝a，x2＝－2a.
因为a≠0，所以x1≠x2.
所以直线l与曲线有两个不同的交点A(a，a3)，B(－2a，－8a3)，
则|AB|＝≥
＝3a2，
即这两个公共点之间的距离不小于3a2.
『规律方法』 如何求方程x3－3a2x＋2a3＝0的根是解决该题第二问的关键．事实上，x3－3a2x＋2a3＝0可化为(x3－a2x)－(2a2x－2a3)＝0，进而化为x(x2－a2)－2a2(x－a)＝0.然后通过分解因式解决．
专题? 求函数的单调区间
典例2 设a∈R，讨论定义在(－∞，0)的函数f(x)＝ax3＋(a＋)x2＋(a＋1)x的单调性．
[解析] f
′(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋a＋1＝(x＋1)(ax＋a＋1)，x<0.
(1)若a＝0，则f
′(x)＝x＋1，当x∈(－∞，－1)时，f
′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1,0)时，f
′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)若a≠0时，则f
′(x)＝a(x＋1)·[x＋(1＋)]．
①若a>0，则当x∈(－∞，－1－)时，f
′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(－1－，－1)时，f
′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1,0)时，f
′(x)>0，f(x)单调递增．
②若－1≤a<0，则当x∈(－∞，－1)时，f
′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1,0)时，f
′(x)>0，f(x)单调递增．
③若a<－1，则当x∈(－∞，－1)时，f
′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1，－1－)时，f
′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1－，0)时，f
′(x)<0，f(x)单调递减．
『规律方法』 导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等．
专题? 求函数的极值与最值
典例3 已知函数f(x)＝(x－1)ln
x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[解析] (1)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f
′(x)＝＋ln
x－1＝ln
x－.
因为y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f
′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f
′(1)＝－1<0，
f
′(2)＝ln
2－＝>0，
故存在唯一x0∈(1,2)，使得f
′(x0)＝0.
又当x′(x)<0，f(x)单调递减，
当x>x0时，f
′(x)>0，f(x)单调递增，
因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)证明：由(1)知f(x0)又f(e2)＝e2－3>0，
所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.
由α>x0>1得<1又f＝ln－－1＝＝0，
故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
『规律方法』 一般地，对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数)，当函数f(x)的极大值小于零或函数f(x)的极小值大于零时，图象与x轴仅有一个交点．
专题? 恒成立问题
典例4 设函数f(x)＝ex－e－x.
(1)证明：f(x)的导数f
′(x)≥2；
(2)若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．
[思路分析] (1)求导数f
′(x)＝ex＋e－x，观察结构利用基本不等式解决；(2)构造函数g(x)＝f(x)－ax，则g′(x)＝f
′(x)－a＝ex＋e－x－a，由(1)知f
′(x)＝ex＋e－x≥2，从而得到分类标准为a≤2和a>2，在这两种情况下利用导数来研究函数g(x)的单调性及最值，即可解决．
[解析] (1)证明：f(x)的导数f
′(x)＝ex＋e－x.
由于ex＋e－x≥2＝2，故f
′(x)≥2.
当且仅当x＝0时，等号成立．
(2)令g(x)＝f(x)－ax，则
g′(x)＝f
′(x)－a＝ex＋e－x－a，
①若a≤2，当x>0时，g′(x)＝ex＋e－x－a>2－a≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax.
②若a>2，方程g′(x)＝0的正根为x1＝ln，x2＝ln<0，舍去x2.
此时，若x∈(0，x1)，则g′(x)<0，故g(x)在该区间为减函数．
所以，x∈(0，x1)时，g(x)综上，满足条件的a的取值范转围是(－∞，2]．
『规律方法』 结合函数的单调性、极值及最值，将参数置身于题目之中，考查分类讨论、数形结合等数学思想方法，一直是高考的热点问题．其中恒成立问题是常见的问题之一，在解决恒成立问题时，一般是构造函数、数形结合或分离参数，过程要注意树立主元意识．
专题? 利用导数处理方程的根
以导数为工具画出函数的大致图象，进而利用数形结合思想、函数方程思想处理方程的根的问题在近几年高考题中已出现，并有创新．
典例5 设a为实数，已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若方程f(x)＝0有三个不等实根，求实数a的取值范围．
[解析] (1)依题意有f(x)＝x3－x2，
故f
′(x)＝x2－2x＝x(x－2)．
当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表得f(x)在x＝0时取极大值f(0)＝0，f(x)在x＝2时取得极小值f(2)＝－.
(2)因为f
′(x)＝x2－2ax＋(a2－1)＝[x－(a－1)]·[x－(a＋1)]，所以方程f
′(x)＝0的两根为a－1和a＋1，显然，函数f(x)在x＝a－1时取得极大值，在x＝a＋1时取得极小值．
因为方程f(x)＝0有三个不等实根，
所以
即
解得－2故a的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2)．
专题? 导数在实际问题中的应用
从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数最值问题，再利用导数解决，从而进一步地解决实际问题是高考提出的能力要求．
典例6 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2
050.
求：(1)日产量为75件时的总成本和平均成本；
(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量；
(3)当日产量为75件时，总成本的瞬时变化率．
[解析] (1)日产量为75件时的总成本和平均成本分别为C(75)＝7
956.25(元)，≈106.08(元/件)．
(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量＝＝101.25(元/件)．
(3)∵C′(x)＝x＋60，
∴当日产量为75件时的总成本的瞬时变化率为C′(75)＝97.5(元)．
『规律方法』 要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义域，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．
专题? 定积分的应用
典例7 如图，设由抛物线C：x2＝4y与过它的焦点F的直线l所围成封闭曲面图形的面积为S(阴影部分)．
(1)设直线l与抛物线C交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(2)求S的最小值．
[解析] (1)可得点F(0,1)，设直线l的方程为y＝kx＋1，直线l与抛物线C交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
又∵x1∴x2－x1＝＝4.
(2)S＝(kx＋1－x2)dx
＝(k·＋x－x3)
＝(x＋x2－x)－(x＋x1－x)
＝(x2＋x1)(x2－x1)＋(x2－x1)－(x2－x1)[(x1＋x2)2－x1x2]
＝8k2＋4－(4k2＋1)，
令＝t，则t≥1，有k2＝t2－1，S＝8(t2－1)t＋4t－t[4(t2－1)＋1]＝t3，
S＝t3在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当t＝1，即k＝0时，S有最小值.
专题? 函数思想与方程思想
函数思想是用运动和变化的观点、集合和对应的思想来分析和研究数学问题中的数量关系，先建立函数关系或构造函数，再利用函数的图象和性质来分析问题、转化问题，从而使问题得到解决，函数思想的精髓就是构造函数．
方程思想可以帮助分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质来分析、转化问题，从而使问题得到解决．
函数思想与方程思想密切相关，函数关系式可看成方程，某些方程又可看成函数关系式，在解决有关问题时，函数、方程、不等式常相互转化，从另一个角度使问题得到解决．
导函数(即导数本身)就是一种函数，在解决有关导数的问题时，常会用到函数思想与方程思想．
典例8 已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．
[解析] f
′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)
＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．
令f
′(x)＝0得x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0.
(1)当Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a＝a(a－4)>0.
即a<0或a>4时，方程x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1于是f
′(x)＝ex(x－x1)(x－x2)．从而有下表：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
即此时f(x)有两个极值点．
(2)当Δ＝0即a＝0或a＝4时，方程x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有两个相同的实根x1＝x2.
于是f
′(x)＝ex(x－x1)2.
故当x′(x)>0；当x>x1时，f
′(x)>0.因此f(x)无极值点．
(3)当Δ<0即00，f
′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]>0，故f(x)为增函数，此时f(x)无极值点．
因此当a>4或a<0时，f(x)有两个极值点；当0≤a≤4时，f(x)无极值点．
『规律方法』 可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是
f
′(x0)＝0，且在x0的左侧与右侧f
′(x)的符号不同，因此当方程有根时，还必须判断方程的根的两侧导数的符号，这是解题时容易忽略的地方．
专题? 分类讨论思想
分类讨论思想是根据数学中研究对象的本质属性的相同点和不同点，将研究对象分为不同的几类，然后对划分的每一类分别进行研究或求解的思想，它是解答数学问题的重要思想和解题策略之一，它可以使原本不确定的问题条理化、系统化、明确化．
典例9 已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式．
[思路分析] 本题是在函数、导数、不等式、解析几何的交汇处命题，考查了导数的几何意义、直线的方程、利用导数求函数的最值、利用导数证明不等式等知识，考查了分类讨论与等价转化的数学思想以及综合运用导数知识解决函数、不等式问题的能力．利用导数求函数的最值，要注意对参数a进行分类讨论．
[解析] 由条件知h(x)＝－alnx(x>0)，
∴h′(x)＝－＝，
(1)当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2.
∴当0当x>4a2时，h′(x)>0，h(x)在(4a2，＋∞)上单调递增．
∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是最小值点，
∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln(4a2)＝2a(1－ln2a)．
(2)当a≤0时，h′(x)＝>0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最小值．
故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝2a(1－ln2a)(a>0)．
『规律方法』 如果我们面临的数学问题不能用统一的形式解决，或者因为一种形式无法进行概括时，这时分类讨论就顺理成章了，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，对于每一类情况都要给出解答．分类讨论思想的一般步骤是：(1)确定标准；(2)恰当地分类；(3)逐类讨论；(4)归纳结论．本章中的题型，如求单调区间、求参数的范围、求极值、最值以及恒成立问题时，都要用到分类讨论思想．
专题? 数形结合思想
数形结合思想是一个重要的数学思想，也是一种常见的数学方法．一般来说，“形”具有形象、直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“数形对照”便于寻求思路、化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够进行严格的论证和定理求解．“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端，恰当地应用数形结合思想可以提高解题的速度，优化解题过程，这正如著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．
本章的数形结合思想体现很多，如导数的几何意义、函数的单调性、极值、方程中根的研究、定积分的计算等．
典例10 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f
′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图所示．
(1)求x0的值；
(2)求a，b，c的值．
[思路分析] 由导函数的图象判断函数f(x)的单调性，从而确定极值点．
[解析] (1)由图象可知，在(－∞，1)上，f
′(x)>0；
在(1,2)上，f
′(x)<0；
在(2，＋∞)上，f
′(x)>0.
故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，
在(1,2)上单调递减．
因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.
(2)解法1：f
′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f
′(1)＝0，f
′(2)＝0，f(1)＝5得，
，解得a＝2，b＝－9，c＝12.
解法2：设f
′(x)＝m(x－1)(x－2)＝mx2－3mx＋2m，
又f
′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
所以a＝，b＝－m，c＝2m，
f(x)＝x3－mx2＋2mx.
∵f(1)＝5，∴－m＋2m＝5，∴m＝6，
∴a＝2，b＝－9，c＝12.
专题十一 转化与化归思想
所谓转化与化归就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终使问题得到解决．可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无不是在不断地转化中获得解决的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式．
典例11 已知f(x)在定义域(－1,1)内可导，且f
′(x)<0，又当a，b∈(－1,1)，且a＋b＝0时，f(a)＋f(b)＝0，解不等式f(1－m)＋f(1－m2)>0.
[思路分析] 本题是一个抽象型函数问题，有三个关键点：①在定义域(－1,1)内，由f
′(x)<0知f(x)单调递减；②由a，b∈(－1,1)，且a＋b＝0时，f(a)＋f(b)＝0知f(x)是奇函数；③将f(1－m)＋f(1－m2)>0变形后，应用单调性、奇偶性转化为具体的不等式组来求解．
[解析] 因为f(x)在(－1,1)内可导，且f
′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上为减函数．
当a，b∈(－1,1)，且a＋b＝0时，f(a)＋f(b)＝0，
所以f(b)＝－f(a)，即f(－a)＝－f(a)，
所以f(x)在(－1,1)上为奇函数．
又因为f(1－m)＋f(1－m2)>0，
所以f(1－m)>－f(1－m2)，
所以f(1－m)>f(m2－1)，
即解得1『规律方法』 求解抽象函数问题要注意：①不可把抽象函数特殊化，要仔细分析已知条件，不可以主观添加认为成立的条件．②要对已知条件多方面变形使用，借助通用的单调性、奇偶性求解时要符合已知条件.
即时巩固
一、选择题
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则的最小值为( C )
A．3
B．
C．2
D．
[解析] ∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b>0；
∵对于任意实数x都有f(x)≥0，
∴a>0且b2－4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c>0，
∴＝＝＋1≥＋1≥1＋1＝2，
当a＝c时取等号．故选C．
2．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为( C )
[解析] 令f(x)＝，
∵f(1)＝>0，f(π)＝＝0，
∴排除选项A，D．
由1－cos
x≠0，得x≠2kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
∴排除选项B．故选C．
3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( B )
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，
又∵在[1，＋∞)上，(－3x2)max＝－3，
∴a≥－3，故应选B．
二、填空题
4．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝__1__.
[解析] 因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f(1)＝a＋2，
f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，
又因为切线过点(2,7)，所以7－(a＋2)＝(3a＋1)×(2－1)，解之得a＝1.
5．函数y＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值____.
[解析] ∵y＝cos3x＋sin2x－cosx＝cos3x＋(1－cos2x)－cosx＝cos3x－cos2x－cosx＋1，令t＝cosx，则－1≤t≤1，则y＝t3－t2－t＋1，则y′＝3t2－2t－1＝(3t＋1)(t－1)，令y′＝0，解得t＝－或t＝1，列表如下：
t
[－1，－)
－
(－，1)
y′
＋
0
－
y
增
极大值
减
故函数y＝t3－t2－t＋1在t＝－时取得极大值，亦即最大值，即ymax＝.
三、解答题
6．(2017·全国Ⅰ理，21)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
[解析] (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f
′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
(ⅰ)若a≤0，则f
′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．
(ⅱ)若a>0，则由f
′(x)＝0得x＝－ln
a.
当x∈(－∞，－ln
a)时，f
′(x)<0；
当x∈(－ln
a，＋∞)时，f
′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，－ln
a)单调递减，在(－ln
a，＋∞)单调递增．
(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．
(ⅱ)若a>0，由(1)知，当x＝－ln
a时，f(x)取得最小值，最小值为f(－ln
a)＝1－＋ln
a.
①当a＝1时，由于f(－ln
a)＝0，故f(x)只有一个零点；
②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln
a>0，
即f(－ln
a)>0，故f(x)没有零点；
③当a∈(0,1)时，1－＋ln
a<0，即f(－ln
a)<0.
又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0，
故f(x)在(－∞，－ln
a)有一个零点．
设正整数n0满足n0>ln(－1)，
则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0>en0－n0>2n0－n0>0.
由于ln(－1)>－ln
a，
因此f(x)在(－ln
a，＋∞)有一个零点．
综上，a的取值范围为(0,1)．
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