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华师版数学八年级上13.3.2等腰三角形判定导学案
课题
13.3.2
等腰三角形判定
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、学会如何判断一个三角形是不是等腰三角形;
2、了解等边三角形和等腰直角三角形;
3、探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，能运用识别方法进行相关的计算和推理.
重点
难点
探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，能运用识别方法进行相关的计算和推理.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、如图，在中，，AD为的中线，那么下列结论错误的是
A.
≌
B.
AD为的高线
C.
AD为的角平分线
D.
是等边三角形
2、如图，已知D为BC的中点，，，点E，F为垂足，且，，求证：是等边三角形．
合
作
探
究
探究一：
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是按定义，看它是否有两条边相等.现在再看看能否找到其他的判定方法.
我们知道，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗?
画画看，你发现了什么?
如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
已知:如图13.3.6,在△ABC中，∠B
=
∠
C.求证:AB
=
AC.
分析:要证明AB=
AC
,可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边,于是想到画∠
BAC的平分线AD.
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论?
探究二：
例3
如图13.3.7,在△ABC中,已知∠A
=
40°，∠B
=
70°．求证:AB
=
AC.
等边三角形的两个判定定理:
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
探究三：
例4
如图13.3.8,AB//
CD，
∠1
=
∠2．求证:AB
=
AC.
分析
要证AB
=
AC,可以设法证明∠
B=
∠
1
，而∠
1
=
∠
2，因此只要证明∠
B
=
∠
2.
例5
如图13.3.9,在Rt△ABC和Rt△
A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B’=
90°,AB
=
A'B',AC
=A'C'.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
注意:
1、等腰三角形判定定理与等腰三角形性质定理互为逆定理。
2、等腰三角形判定方法有两种
（1）等腰三角形的定义;
（2）等腰三角形判定定理。
3、解有关等腰三角形问题时，添加辅助线的常用方法是底边的“三线合一”。
当
堂
检
测
1、给出下列命题：(1)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个内角度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形：(3)有三条互不重合的直线a，b，c，若a
//
c，b
//
c，那么a
//
b；(4)等腰三角形两条边的长度分别为2和4，则它的周长为8或10．其中真命题的个数为(
)
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
2、如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，
求证：△DEF是等边三角形．
3、已知：如图，在中，，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作交AE的延长线于点F．
求证：
若，，求BC的长．
课
堂
小
结
等腰三角形判定方法有哪些？
参考答案
自主学习：
解：，
，
是的中线，
，，即AD是的高，AD为的角平分线，
，
在和中
，
≌，
即选项A、B、C都正确，
根据已知只能推出，不能推出AC、AB和BC的关系，
即不能得出是等边三角形，选项D错误，
故选D．
2、
证明：是BC的中点，
，
，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，
等角对等边．
，，
，
是等边三角形．
合作探究：
探究一：
证明：画∠
BAC的平分线交BC于点D.
在△BAD和△CAD中，
∵∠B=∠C(已知)，
∠1=∠2(角平分线的定义)，
AD=AD(公共边)，
∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)，
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等).
画BC边上的高线
画BC边上的中线
探究二：
证明：∵
∠
A+
∠
B+
∠
C
=180°(三角形的内角和等于180°)，
∠A
=
40°，∠
B
=
70°(已知)，
∴
∠C
=
180°-
∠
A-
∠
B(等式的性质)，
=
180°-
40°-
70°=
70°，
∴
∠
C
=
∠
B（等量代换)，
∴
AB
=
AC(等角对等边).
探究三：
例4
证明:
∵
AB//
CD(已知)，
∴
∠
B=
∠
2(两直线平行,同位角相等).
又∵
∠
1
=
∠
2（已知)，
∴∠
B
=
∠
1（等量代换)，
∴
AB
=
AC（等角对等边).
例5
证明：由于直角边AC
=
A'C',
我们移动Rt△ABC，证明使点A与点A'、点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧.
∵
∠A'C'B
=∠A'C'B'=90(已知)，
∠B'C'B=∠A'C'B'+∠A'C'B
=
180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上.
在△A'B'B中，
∵A'B'=AB
=
A'B（已知)，
∠B
=
∠B'（等边对等角).
在△ABC和△A'B'C'中，
∵
∠B=∠B'(已证)，
∠ACB=∠A'C'B'(已知)，
AC=A'C'（已知)，
Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(A.A.S.).
当堂检测：
1、解：(1)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
(2)三个内角度数之比为1:2:3的三角形的三个内角分别为30°，60°，90°，这样的三角形是直角三角形，是真命题；
(3)有三条互不重合的直线a，b，c，若a
//
c，b
//
c，那么a
//
b，是真命题；
(4)等腰三角形的两条边的长度分别为2和4，由三角形的三边关系可知，三边只能是4，4，2，它的周长为4+4+2=10，是假命题，
其中真命题的个数3个．
故选B．
证明：，，
，
又，，
，
，
，
是BC的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
是等边三角形．
证明：点E是CD的中点，
．
，
．
在与中，
≌；
解：点是CD的中点，，
，
，，
，
点D为AB的中点，，
，
是等边三角形，
．
课堂小结：
（1）等腰三角形的定义
（2）等腰三角形判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
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精品试卷·第
2
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（共
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.
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13.3.2
等腰三角形判定
数学华师版
八年级上
等腰三角形
等边三角形
性质
三线合一
等边对等角
轴对称图形
底边上的中线
顶角平分线
底边上的高线
复习导入
同学们，等腰三角形的性质有哪些？
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是按定义，看它是否有两条边相等.现在再看看能否找到其他的判定方法.
新知讲解
A
C
B
新知讲解
探索
我们知道，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗?
画画看，你发现了什么?
新知讲解
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
新知讲解
已知:如图13.3.6,在△ABC中，∠B
=
∠
C.
求证:AB
=
AC.
-------------
A
C
B
D
1
2
图13.3.6
新知讲解
分析:要证明AB=
AC
,可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边,于是想到画∠BAC的平分线AD.
-------------
A
C
B
D
1
2
图13.3.6
新知讲解
证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.
在△BAD和△CAD中，
∵∠B=∠C(已知)，
∠1=∠2(角平分线的定义)，
AD=AD(公共边)，
∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)，
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等).
A
C
B
D
1
2
-------------
新知讲解
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论?
画BC边上的高线
画BC边上的中线
新知讲解
图13.3.7
A
C
B
40°
例3
如图13.3.7,在△ABC中,已知∠A
=
40°，∠B
=
70°．求证:AB
=
AC.
70°
新知讲解
图13.3.7
A
C
B
40°
证明：∵
∠
A+
∠
B+
∠
C
=180°(三角形的内角和等于180°)，
∠A
=
40°，∠
B
=
70°(已知)，
∴
∠C
=
180°
-
∠
A-
∠
B(等式的性质)，
=
180°-
40°-
70°
=
70°，
∴
∠
C
=
∠
B（等量代换)，
∴
AB
=
AC(等角对等边).
70°
等边三角形的两个判定定理:
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
新知讲解
你能证明这些定理吗？
新知讲解
例4
如图13.3.8,AB//
CD，
∠
1
=
∠
2．
求证:AB
=
AC.
图13.3.8
A
C
B
分析
要证AB
=
AC,可以设法证明∠
B=
∠
1
，而∠
1
=
∠
2，因此只要证明∠
B
=
∠
2.
1
2
D
新知讲解
证明:
∵
AB//
CD(已知)，
∴
∠
B=
∠
2(两直线平行,同位角相等).
又∵
∠
1
=
∠
2（已知)，
∴∠
B
=
∠
1（等量代换)，
∴
AB
=
AC（等角对等边).
图13.3.8
A
C
B
1
2
D
新知讲解
变式
如图，BD是∠ABC的平分线，DE//BC，那么
△BED是等腰三角形吗？请说明理由．
新知讲解
解：△BED是等腰三角形．
理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DE//BC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠ABD=∠EBD，
∴△BED是等腰三角形．
新知讲解
例5
如图13.3.9,在Rt
△ABC和Rt
△
A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=
90°,AB
=
A'B',AC
=A'C'.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
-------------------
--------------------------------
A
C
B
A'
(A)
C'（C）
B'
B
图13.3.9
新知讲解
证明：由于直角边AC
=
A'C',
我们移动Rt△ABC，使点A与点A'、点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧.
∵
∠A'C'B
=
∠A'C'B'=90°(已知)，
∴∠B'C'B=
∠A'C'B'+
∠A'C'B
=
180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上.
新知讲解
在△A'B'B中，
∵A'B'=AB
=
A'B（已知)，
∠
B
=
∠
B'（等边对等角).
在△ABC和△A'B'C'中，
∵
∠
B=∠
B'(已证)，
∠
ACB=∠
A'C'B'(已知)，
AC=A'C'（已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(A.A.S.).
这样,我们就证明了前面已给出的直角三角形全等的H.L.判定定理.
注意:
1、等腰三角形判定定理与等腰三角形性质定理互为逆定理。
2、等腰三角形判定方法有两种
（1）等腰三角形的定义;
（2）等腰三角形判定定理。
3、解有关等腰三角形问题时，添加辅助线的常用方法是底边的“三线合一”。
新知讲解
课堂练习
1、给出下列命题：(1)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个内角度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形：(3)有三条互不重合的直线a，b，c，若a
//
c，b
//
c，那么a
//
b；(4)等腰三角形两条边的长度分别为2和4，则它的周长为8或10．其中真命题的个数为(
)
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
课堂练习
解：(1)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
(2)三个内角度数之比为1:2:3的三角形的三个内角分别为30°，60°，90°，这样的三角形是直角三角形，是真命题；
课堂练习
(3)有三条互不重合的直线a，b，c，若a
//
c，b
//
c，那么a
//
b，是真命题；
(4)等腰三角形的两条边的长度分别为2和4，由三角形的三边关系可知，三边只能是4，4，2，它的周长为4+4+2=10，是假命题，其中真命题的个数3个．
故选B．
课堂练习
2、如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，
求证：△DEF是等边三角形．
课堂练习
证明：∵∠A=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴∠BDE=∠CDF=60°，
∴∠EDF=60°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE与△CDF中，
∠B=∠C
BD=CD
∠BDE=∠CDF
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等边三角形．
课堂练习
拓展提高
3、已知：如图，在Rt△ABC
中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF//AB交AE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE?△FCE;
(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．
拓展提高
证明：（1）∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵AB//CF，
∴∠BAF=∠AFC．
在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS)；
拓展提高
(2)解：∵E点是CD的中点，DE=2，
∴CD=4，
∵AB//CF，∠DCF=120°，
∴∠BDC=180°-∠DCF=60°，
∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴DB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=4．
课堂总结
等腰三角形判定方法有哪些？
（1）等腰三角形的定义
（2）等腰三角形判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
板书设计
课题：13.3.2
等腰三角形判定
?
教师板演区
?
学生展示区
一、等腰三角形判定
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P84练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P84练习第3题
