(共35张PPT)
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
课标要求
素养要求
1.掌握椭圆的简单几何性质.
2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象与数学运算素养.
新知探究
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？
1.椭圆的几何性质
明确a，b，c的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距，且有关系式a2＝b2＋c2
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＝1(a>b>0)
＝1(a>b>0)
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
(0，1)
2.离心率的作用
越扁平
圆
拓展深化
[微判断]
×
2.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(
)
提示 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁.
×
提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一.
×
√
[微训练]
1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
答案 B
[微思考]
提示 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，
－b)，(a，－b).
题型一 椭圆的简单几何性质
【例1】 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，
椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1，0).
规律方法 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
题型二 由椭圆的几何性质求方程
【例2】 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
【训练2】 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为( )
解析 (1)由题意知，椭圆的焦点在y轴上，
题型三 求椭圆的离心率
角度1 求离心率
∵b2＝a2－c2，∴(
)式可化简为3a4－7a2c2＋2c4＝0，
角度2 求离心率的取值范围
解 依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc).
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准方程，应先化成标准方程.
3.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.
4.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.
二、素养训练
A.2
B.4
C.3
D.6
解析 由椭圆方程知焦点在y轴上，故长轴长为2a＝6.故选D.
答案 D
答案 D
答案 C
解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
4.若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
解析 由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
答案 B
解析 ∵焦点在y轴上，∴0
第一课时 椭圆的简单几何性质
课标要求
素养要求
1.掌握椭圆的简单几何性质.2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象与数学运算素养.
新知探究
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？
问题 椭圆＋y2＝1的长轴长、短轴长、离心率分别是什么？
提示 椭圆的长轴长2a＝4，短轴长2b＝2，离心率e＝＝.
1.椭圆的几何性质
明确a，b，c的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距，且有关系式a2＝b2＋c2
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±，0)
(0，±)
焦距
|F1F2|＝2
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝∈(0，1)
2.离心率的作用
椭圆离心率e与a，b的关系：e＝＝＝
因为a>c>0，所以0拓展深化
[微判断]
1.椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(×)
提示 椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是2a.
2.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(×)
提示 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁.
3.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.(×)
提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一.
4.设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).(√)
[微训练]
1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5，3，
B.10，6，
C.5，3，
D.10，6，
解析 将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，∴焦点在y轴上，a＝5，b＝3，c＝＝4，∴长轴长10，短轴长6，e＝.
答案 B
2.已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为________.
解析 由题意知，2a＝8，e＝＝，∴a＝4，c＝1，从而b2＝a2－c2＝15.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
答案 ＋＝1或＋＝1
[微思考]
1.在画椭圆＋＝1(a>b>0)时，怎样才能画的更准确些？
提示 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，
－b)，(a，－b).
2.椭圆方程＋＝1(a>b>0)中，a，b，c的几何意义是什么？
提示 在方程＋＝1(a>b>0)中，a，b，c的几何意义如图所示，即a，b，c正好构成了以对称中心、一个焦点、一个短轴端点为顶点的直角三角形.
INCLUDEPICTURE"W29.TIF"
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"W29.TIF"
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题型一 椭圆的简单几何性质
【例1】 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.
解 把已知方程化成标准方程为＋x2＝1，
则a＝5，b＝1.所以c＝＝2，
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，
两个焦点分别是F1(0，－2)，F2(0，2)，
椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1，0).
规律方法 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
【训练1】 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
解 (1)由椭圆C1：＋＝1，可知a＝10，b＝8，c＝＝6，故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.
题型二 由椭圆的几何性质求方程
【例2】 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由e＝＝得c＝a，
又2b＝8，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
【训练2】 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为( )
A.(±13，0)
B.(0，±10)
C.(0，±13)
D.(0，±)
(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________.
解析 (1)由题意知，椭圆的焦点在y轴上，
且a＝13，b＝10，则c＝＝，故选D.
(2)由已知，得焦点在x轴上，且
∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 (1)D (2)＋＝1
题型三 求椭圆的离心率
角度1 求离心率
【例3－1】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，求椭圆C的离心率.
解 由题意知A(a，0)，B(0，b)，从而直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，又|F1F2|＝2c，
∴＝c.(
)
∵b2＝a2－c2，∴(
)式可化简为3a4－7a2c2＋2c4＝0，
解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝.
角度2 求离心率的取值范围
【例3－2】 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围.
解 依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc).
因为点B为CF1的中点，所以B.
因为点B在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.所以＋＝1.
所以k2＝.由|k|≤，得k2≤，
即≤，所以2e4－17e2＋8≤0.
解得≤e2≤8.因为0＜e＜1，所以≤e＜1.
故离心率e的取值范围为.
规律方法 求椭圆离心率的方法：
①直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝
求解.
②若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.
【训练3】 已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，求它的离心率e的最大值.
解 ∵椭圆＋＝1的焦点在x轴上，
∴5a>4a2＋1，
∴∴椭圆的离心率e＝＝≤
＝，
∴椭圆的离心率的最大值为.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准方程，应先化成标准方程.
3.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.
4.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.
二、素养训练
1.椭圆＋＝1的长轴长为( )
A.2
B.4
C.3
D.6
解析 由椭圆方程知焦点在y轴上，故长轴长为2a＝6.故选D.
答案 D
2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
INCLUDEPICTURE"24.TIF"
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"24.TIF"
\
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A.
B.
C.
D.
解析 ∵x－2y＋2＝0，∴y＝x＋1，从而＝，
即
＝，∴＝，e＝＝.
答案 D
3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋y2＝1
解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.
答案 C
4.若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去).
答案 B
5.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________.
解析 ∵焦点在y轴上，∴0∴a＝，b＝，∴c＝，又e＝＝，
∴＝，解得m＝.
答案
基础达标
一、选择题
1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝＝，∴e＝.
答案 B
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.x2＋＝1
C.＋y2＝1
D.＋＝1
解析 将椭圆方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，故其焦点为(0，±).又b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案 B
3.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.7，2，
B.14，4，
C.7，2，
D.14，4，
解析 先将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，
则b＝2，a＝7，c＝3.故长轴长为2a＝14,
短轴长为2b＝4，离心率e＝＝.
答案 B
4.若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析 依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.
答案 A
5.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
A.
B.
C.
D.－
解析 椭圆方程可化为＋＝1，
由题意，知m>0，∴<，∴a＝，
∴椭圆的长轴长为2a＝.
答案 C
二、填空题
6.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是________.
解析 若焦点在x轴上，则a＝2.
又e＝＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝1，
∴方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝＝，∴＝1－＝，
∴a2＝4b2＝16，
∴方程为＋＝1.
综上，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
答案 ＋y2＝1或＋＝1
7.椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为________.
解析 由＋y2＝1知，F1，F2的坐标分别为(－，0)，(，0)，即点P的横坐标为xP＝－，代入椭圆方程得|yP|＝，∴|PF1|＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.
答案
8.若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________.
解析 设P(x0，y0)(x0∈[－，])，而F(－1，0)，
∴|OP|2＋|PF|2＝x＋y＋(x0＋1)2＋y.
又y＝1－eq
\f(x,2)，
∴|OP|2＋|PF|2＝x＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2(当且仅当x0＝－1时等号成立).
∴|OP|2＋|PF|2的最小值为2.
答案 2
三、解答题
9.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解 (1)由已知得2a＝6，e＝＝，∴a＝3，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1
(a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，过点E的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，求椭圆的离心率.
解 由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，
得＝＝，
从而＝，整理得a2＝3c2.
故离心率e＝＝.
能力提升
11.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是__________.
解析 ∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，
∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
设P，则kOP＝.∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2).∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
12.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
解 (1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0∈(－2，2))，则eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2∴实数t的取值范围为(－2，－1).
创新猜想
13.(多选题)已知点(3，2)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，则( )
A.点(－3，－2)不在椭圆上
B.点(3，－2)在椭圆上
C.点(－3，2)在椭圆上
D.无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上
解析 由椭圆的对称性知点(－3，－2)，(－3，2)，
(3，－2)均在椭圆上.
答案 BC
14.(多选题)若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值可以为( )
A.
B.
C.2
D.4
解析 方程化为x2＋＝1，
则有m>0且m≠1.
当<1，即m>1时，a2＝1，b2＝，
依题意有＝，
解得m＝4，满足m>1；
当>1，即0依题意有＝，
解得m＝，满足0综上，m＝或4.
答案 AD第二课时 椭圆的方程及性质的应用
课标要求
素养要求
1.巩固椭圆的简单几何性质.2.会判断直线与椭圆的位置关系.3.能利用弦长公式解决相关问题.
通过运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
新知探究
传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”.这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音.
问题 如何求解椭圆上的点到其焦点的最大距离和最小距离？
提示 椭圆＋＝1(a>b>0)上的点与焦点距离的最值：点(a，0)，(－a，0)与焦点F1(－c，0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离.
1.点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＝1；
点P在椭圆内部?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)<1；
点P在椭圆外部?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)>1.
2.直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立
消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
3.弦长公式
利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝
＝，
或|AB|＝
＝
＝__.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
拓展深化
[微判断]
1.若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.(√)
2.已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线.(×)
提示 因椭圆中a>b>0，所以点P(b，0)在椭圆的内部，故无法作椭圆的切线.
3.直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交.(√)
[微训练]
1.已知点P(m，1)在椭圆＋＝1的外部，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意可知＋＞1，
解得m＞或m＜－.
答案 ∪
2.若直线y＝x＋1和椭圆＋＝1交于A，B两点，则线段AB的长为________.
解析 由
消y得3x2＋4x－2＝0.设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
则x1x2＝－，x1＋x2＝－，
所以|AB|＝·
＝.
答案
[微思考]
1.直线与椭圆有几种位置关系？
提示 有三种位置关系：相离、相切、相交.
2.求直线被椭圆截得的弦长的一般步骤是什么？
提示 (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2；
(5)代入弦长公式求得弦长.
题型一 直线与椭圆位置关系的判断
【例1】 当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：
(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？
解 由消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144，
整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14
400.
(1)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；
(2)当Δ>0时，得－5(3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点.
规律方法 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
【训练1】 若直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个公共点，求m的取值范围.
解 把直线方程y＝x＋m与椭圆方程＋y2＝1联立，消去y，得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0，解得－题型二 直线与椭圆的相交弦问题
【例2】 在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程.
解 法一 如果弦所在直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点.
故可设弦所在直线的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.
设弦的两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝＝4，解得k＝－，满足Δ>0.
∴弦所在直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，
故有x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵点M(2，1)是PQ的中点，故x1≠x2，
两边同除以(x1－x2)得，(x1＋x2)＋4(y1＋y2)＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－.
∴弦所在直线的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0(经检验符合题意).
规律方法 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
【训练2】 已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)由题意易知l的斜率存在.设l的斜率为k，
则其方程为y－2＝k(x－4).由
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
题型三 最短距离问题
【例3】 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.
解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
得m2＝16，∴m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P.故所求最短距离为
d＝＝＝.
由得
即P.
规律方法 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.
【训练3】 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝＝.
由
得即P.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
2.解决直线与椭圆的综合问题，需要正确地应用转化思想、数形结合思想，经常利用设而不求的方法，利用一元二次方程根与系数的关系解决，其中要注意根的判别式.
二、素养训练
1.已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为( )
A.(－2，0)
B.(0，1)
C.(2，0)
D.(0，1)或(0，－1)
解析 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P点坐标为(0，－1)或(0，1)时，取“＝”.故选D.
答案 D
2.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1(m>0且m≠3)有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞)
D.(0，3)∪(3，＋∞)
解析 由消y可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
答案 B
3.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A.4
B.2
C.1
D.4
解析 因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，
所以c2＝3，
所以右焦点坐标为(，0)，
将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，
故|AB|＝1.故选C.
答案 C
4.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.
解析 设M(x，y)，∵·＝0，
∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.
由题意知，椭圆上的点P总在圆外，∴|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，
∴b>c，∴a2>2c2，
∴<，∴0答案
三、审题答题
(示范四) 与椭圆有关的综合问题
【典型示例】
(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为①，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴②，|MF1|＝③.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值④.
联想解题
(1)看到①可知＝，得到a，c的等量关系.
(2)看到②可知，|MF2|为椭圆通径长的一半即M点的坐标为.
(3)看到③可联想到椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a，联立求解椭圆方程.
(4)见到④可知需要建立△ABO的面积函数.
满分示范
解 (1)由离心率为，得＝，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2，1分
即椭圆方程为＋＝1.
因为点M在椭圆上，且MF2⊥x轴，故把x＝c代入椭圆方程，
可得点M的坐标为，3分
由|F1M|＝＝＝得c＝1，从而a2＝3，b2＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.5分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由Δ>0，可得3k2－2>0，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝.7分
因为直线y＝kx＋2与y轴交点的坐标为(0，2)，
所以△OAB的面积
S＝×2×|x1－x2|＝＝.9分
令3k2－2＝t，则t∈(0，＋∞)，
所以S＝＝2＝2≤，
10分
当且仅当t＝4时取等号.
所以当t＝4时，△ABO面积的最大值为.12分
满分心得
椭圆中的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目中的条件和结论明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题；
(2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定函数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而确定函数的取值范围；
④利用基本不等式求出函数的取值范围；
⑤利用函数值域的求法，确定函数的取值范围.
基础达标
一、选择题
1.点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A.(－，)
B.(－∞，－)∪(，＋∞)
C.(－2，2)
D.(－1，1)
解析 由题意，得＋<1，即a2<2，解得－答案 A
2.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
解析 把y＝－x＋3代入椭圆方程，得5x2－24x＋32＝0，其Δ＝(－24)2－4×5×32<0，故直线与椭圆相离.
答案 C
3.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由消y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
∴弦的中点的横坐标是x＝×＝，
代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，
∴弦的中点坐标是.故选A.
答案 A
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
∵圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2.∵a2＝b2＋c2，∴c2＝2b2，∴＝，
∴e＝＝.
答案 A
5.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析 易知△ABF2的内切圆的半径r＝，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝lr＝×2c·|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝.
答案 A
二、填空题
6.椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________.
解析 已知椭圆的右焦点为(1，0)，它到直线x－y＝0的距离为＝.
答案
7.若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________.
解析 因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，所以点P(m，n)在随圆＋＝1的内部，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点.
答案 2
8.已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消y得：3x2－4x＝0，
可知：A(0，－1)，B，
又F1(－1，0)，
∴|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
答案
三、解答题
9.若椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x交于A，B两点，且|AB|＝，求＋的值.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x1＝＝y1，x2＝y2＝－，故|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2×＝＝，即＝，所以＋＝5.
10.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时⊥？此时|AB|的值是多少？
解 (1)由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆.它的短半轴长b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，显然Δ>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∵⊥，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1
＝.
又x1x2＋y1y2＝0，
∴k＝±.
当k＝±时，x1＋x2＝?，x1x2＝－.
∴|AB|＝
＝
＝
＝.
能力提升
11.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________.
解析 由题意得，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4)))(－2≤x0≤2)，
因为＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4)))＝(x0＋2)2＋2，
所以当x0＝2时，·取得最大值6.
答案 6
12.如图，过点B(0，－b)作椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，求这些弦中的最大弦长.
INCLUDEPICTURE"29.TIF"
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"29.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|BM|2＝x2＋(y＋b)2＝x2＋y2＋2by＋b2，①
由＋＝1，有x2＝(b2－y2).②
将②代入①式，整理得
|BM|2＝y2＋2by＋(a2＋b2)
＝·＋.
∵－b≤y≤b，
(1)当b≤c时，≤b，
∴当y＝时，|BM|的最大值为；
(2)当b>c时，>b，
∴当y＝b时，点M为(0，b)，即y轴上方顶点位置，
|BM|2的最大值为·＋＝4b2，
∴|BM|的最大值为2b.
综上所述，当b≤c时，这些弦中的最大弦长为；当b>c时，这些弦中的最大弦长为2b.
创新猜想
13.(多选题)若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以是( )
A.－1
B.－
C.
D.1
解析 易知椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，所以b＝1或－1.
答案 AD
14.(多选题)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值可以为( )
A.－
B.－
C.
D.
解析 根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
答案 AD(共40张PPT)
第二课时 椭圆的方程及性质的应用
课标要求
素养要求
1.巩固椭圆的简单几何性质.
2.会判断直线与椭圆的位置关系.
3.能利用弦长公式解决相关问题.
通过运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
新知探究
传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”.这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音.
问题 如何求解椭圆上的点到其焦点的最大距离和最小距离？
1.点与椭圆的位置关系
＝
<
>
2.直线与椭圆的位置关系
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
______解
Δ______0
相切
_____解
Δ_____0
相离
_____解
Δ____0
两
>
一
＝
无
<
3.弦长公式
利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式
拓展深化
[微判断]
×
√
1.若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.(
)
提示 因椭圆中a>b>0，所以点P(b，0)在椭圆的内部，故无法作椭圆的切线.
√
[微训练]
消y得3x2＋4x－2＝0.设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
[微思考]
1.直线与椭圆有几种位置关系？
提示 有三种位置关系：相离、相切、相交.
2.求直线被椭圆截得的弦长的一般步骤是什么？
提示 (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2；
(5)代入弦长公式求得弦长.
题型一 直线与椭圆位置关系的判断
【例1】 当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：
(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？
整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14
400.
(1)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；
(2)当Δ>0时，得－5(3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点.
规律方法 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
【例2】 在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程.
解 法一 如果弦所在直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点.
故可设弦所在直线的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.
∴弦所在直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵点M(2，1)是PQ的中点，故x1≠x2，
即x＋2y－4＝0(经检验符合题意).
规律方法 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
(2)由题意易知l的斜率存在.设l的斜率为k，
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
即x＋2y－8＝0.
题型三 最短距离问题
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
得m2＝16，∴m＝±4，
规律方法 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.
【训练3】 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
2.解决直线与椭圆的综合问题，需要正确地应用转化思想、数形结合思想，经常利用设而不求的方法，利用一元二次方程根与系数的关系解决，其中要注意根的判别式.
二、素养训练
答案 D
A.(－2，0)
B.(0，1)
C.(2，0)
D.(0，1)或(0，－1)
A.(1，＋∞)
B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞)
D.(0，3)∪(3，＋∞)
∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
答案 B
故|AB|＝1.故选C.
答案 C
所以c2＝3，
∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.
由题意知，椭圆上的点P总在圆外，∴|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，
∴b>c，∴a2>2c2，
三、审题答题
(示范四) 与椭圆有关的综合问题
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值④.
联想解题
满分心得
椭圆中的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目中的条件和结论明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题；
(2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定函数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而确定函数的取值范围；
④利用基本不等式求出函数的取值范围；
⑤利用函数值域的求法，确定函数的取值范围.