江苏省沭阳县中学2021届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案

沭阳县中学2021届高三上学期第一次月考
数学试题
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，计45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2，设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ）
A．234升 B．468升 C．639升 D．903升
6．设，，且，则（ ）
A．有最小值为4 B．有最小值为
C．有最小值为 D．无最小值
7.已知数列满足，，则（ ）．
A． B． C． D．
8.双曲线有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值 为（） A．3 B．2 C．1 D．以上都不对
9．已知函数，对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题5分，计15分。在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
10．数列为等比数列，则（ ）
A．为等比数列 B．为等比数列
C．为等比数列 D．不为等比数列（为数列的前项和
11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角等于
B．点到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球半径为
12.已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（ ）
A．渐近线方程为 B．渐近线方程为
C． D．
填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）
13.已知，则________.
14.已知函数，则的值域是________.
15.直线将圆：分割成两段圆弧之比为3:1，则________.
16．已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 【本题满分10分】
已知集合，．
（1）当时，求AB；
（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．【本题满分12分】
已知函数，若函数在点处的切线方程是．
（1）求函数的解析式； （2）求的单调区间．
19．【本题满分12分】
如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中\
求证：平面.
（2）求二面角的余弦值．

20．【本题满分12分】
已知椭圆与双曲线的 焦点相同，且它们的离心率之和等 于
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆内一点作一条弦，使该弦被点平分，求弦所在直线方程.
21．【本题满分12分】
某投资商到宿迁市经济开发区投资万元建起一座汽车零件加工厂，第一年各种经费万元，以后每年增加万元，每年的产品销售收入万元．
（Ⅰ）若扣除投资及各种费用，则该投资商从第几年起开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该投资商为投资新项目，需处理该工厂，现有以下两种处理方案：
① 年平均利润最大时，以万元出售该厂；
② 纯利润总和最大时，以万元出售该厂．
你认为以上哪种方案最合算？并说明理由
22．【本题满分12分】
记是正项数列的前项和，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
沭阳县中学2021届高三上学期第一次月考
数学答案：
单项选择题
1-5BBCDC 6-9BBCB
二、多项选择题
10. BCD 11.ABD 12.BC
三、填空题
13. 14. [0，＋∞)
15. 16. 54
17. (本小题10分)
解：(1)由x2＋2x－3<0，解得－3当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4所以＝(－3,-2)． ---------------------4分
(2)q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集．--6分
又集合A＝(－3,1)，B＝(－a－1，－a＋1)，
所以 ----------------------8分
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0,2]． ----------------10分
18．解：（1）由，
得，
所以，所以．
把代入，得切点为，
所以，得，
所以．
（2）由（1）知，，
令，
解得或；
令，
解得．
所以）的增区间为，，减区间为．
19．解：（1）如图，取的中点，连接，．
∵，分别为，的中点，∴，
又且，∴，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面．
（2）由题意知：，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
∴，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，∴．
∵平面，∴为平面的一个法向量，
∴，
∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．
20．（1）；（2）．
试题解析：（1）由题意知，双曲线的焦点坐标为，离心率为，
设椭圆方程：，则
，，，
椭圆方程为：．
（2）设，
为弦的中点，，
由题意：，得
，
，
此时直线方程为：，即，
故所求弦所在的直线方程为．
21.解：由题意知，每年的经费是以为首项、为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为，则
． ………………3分
（Ⅰ）令，即，解得．
由可知，该工厂从第年起开始获得纯利润； …………………………5分
（Ⅱ）按方案①：年平均利润为，当且仅当，即时取等号，故按方案①共获利万元，此时； ………………………………8分
按方案②：，当时，，故按方案②共获利万元，此时．
比较以上两种方案，两种方案获利都是万元，但方案①只需要年，而方案②需要年，所以选择方案①最合算． ………………………………12分
22.记是正项数列的前项和，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【解析】（1）因为是和的等比中项，
所以①，当时，②，
由①②得：，
化简得，即或者（舍去），
故，数列为等差数列，
因为，解得，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，.
（2）因为，
所以.