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2020年沪科版九年级上册第二次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣2，1）
D．（2，﹣1）
解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），
故选：D．
2．（4分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（4分）根据下列表格对应值：
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24
B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26
D．3.25＜x＜3.28
解：由图表可知，ax2+bx+c＝0时，3.24＜x＜3.25．
故选：B．
4．（4分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy＝10，
∴y与x的函数关系式为：y＝．
故选：C．
5．（4分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（ ）
A．1.2m
B．1.3m
C．1.4m
D．1.5m
解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故＝，
即＝，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
6．（4分）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝2
D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y2
解：如图，k＜0，y随x的增大而增大；
∵矩形OABC面积为2，k＝﹣2，
故选：D．
7．（4分）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+50x
B．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25x
D．y＝﹣x2+26x
解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x?（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．
故选：D．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若BC＝12，AB＝20，则CD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．6
解：∵∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝20，
∴AC＝＝＝16，
由对称性可知CF⊥DE，
又∵∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝∠ECF＝∠B，
∴CF＝BF，
同理可得CF＝AF，
∴F是AB的中点，
∴CF＝AB＝10，
又∵∠DFC＝∠ACF＝∠A，∠DCF＝∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，
∴，
∴CF2＝CD×CA，即102＝CD×16，
∴CD＝，
故选：B．
9．（4分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米
B．8米
C．10米
D．12米
解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故选：C．
10．（4分）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，将一个三角板的直角顶点与点O重合，两直角边分别与BC，CD交于点E，F连接EF交OC于点G，下列3个结论：
①△OBE≌△OCF；
②△OGF∽△OFC；
③BE2+DF2＝2OG?OC．
其中正确的结论有（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，∠OBC＝90°，
∵∠BOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（ASA），所以①正确；
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝90°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴∠OFE＝45°，
∴∠GOF＝∠FOC，∠OFG＝∠OCF，
∴△OGF∽△OFC；所以②正确；
∵△OBE≌△OCF，
∴BE＝CF，
而CB＝CD，
∴CE＝DF，
∴BE2+DF2＝CF2+CE2＝EF2，
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴EF2＝OE2+OF2＝2OF2，
∵△OGF∽△OFC，
∴OF2＝OG?OC，
∴BE2+DF2＝2OG?OC．所以③正确．
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如果＝＝，其中b+2d≠0，那么＝ ．
解：∵＝＝，
∴＝＝，
∵b+2d≠0，
∴＝；
故答案为：．
12．（5分）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是 3 m．
解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，
把点A（0，5）代入抛物线解析式得：
a＝﹣，
∴抛物线解析式：
y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
∴OB＝3（m）．
故答案为3．
13．（5分）如图，一个边长分别为6cm、8cm、10cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AC、DC上，那么这个正方形的面积是 cm2 ．
解：如图，∵△BEF的三边为6、8、10，而62+82＝102，
∴△BEF为直角三角形，
∴∠FEB＝90°，而四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠FEC+∠BED＝90°，∠BED+∠EBD＝90°，
∴∠FEC＝∠EBD，
∴△FCE∽△EDB，
∴CE：DB＝EF：EB，即CE：DB＝3：4，
∴设CE为3x，则DB是4x，
∴ED是x，
∵三角形EBD为直角三角形，
∴EB2＝ED2+BD2，
∴64＝x2+（4x）2，
∴x2＝，
∵S正方形ABCD＝（4x）2＝cm2．
故答案为：cm2．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知抛物线y＝﹣x2+6x的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为N，且MN＝10，那么点N的坐标是 （3，﹣1）或（3，19） ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
解：（1）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数，
得
解得m＝2，
当m＝2时，它是y关于x的一次函数
（2）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝；
③，
解得m＝﹣1，
综上所述，当m＝4或或﹣1时，它是y关于x的二次函数．
16．（8分）（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；
（2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
解：（1）∵a，b，c，d是成比例线段
∴＝，
即＝，
∴c＝4；
（2）设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b﹣5c＝15
∴2k+3k﹣20k＝15
解得：k＝﹣1
∴c＝﹣4．
17．（8分）二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．
解：∵A（﹣1，0），B（4，0）
∴AO＝1，OB＝4，
AB＝AO+OB＝1+4＝5，
∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数图象过A，C，B三点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+5．
18．（8分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x
mm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
19．（10分）已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点A（0，），B（1，0），点C在反比例函数y＝（k＞0）上．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）将点B向上平移后落在反比例函数图象上的点记为点D，连结DA，DC，求△ACD的面积．
解：（1）如图，过点C作CF⊥y轴于点F．
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAF＝90°，
又∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠CAF＝∠ABO．
在△CAF与△ABO中，
，
∴△CAF≌△ABO（AAS），
∴CF＝AO＝，AF＝BO＝1，
∴OF＝OC+CF＝1+2＝3，
∴点C的坐标为（，1+），
点C在反比例函数y＝（k＞0）上．
∴k＝（1+）＝+3，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）作DH⊥y轴于H，
根据题意D（1，+3），
∴FH＝+3﹣（1+）＝2，AH＝3，DH＝1，
S△ACD＝S梯形CDHF+S△ACF﹣S△ADH＝（1+）×2+×﹣＝．
21．（12分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
（1）求芒果一天的销售量y与该天售价x之间的一次函数关系式，写出x的取值范围．
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据代入得：
，
解得：．
∴y＝﹣x+60（15≤x≤40）．
（2）由题知m＝y（x﹣10）
＝（﹣x+60）（x﹣10）
＝﹣x2+70x﹣600，
∴当m＝400时，﹣x2+70x﹣600＝400，
整理得：x2﹣70x+1000＝0，
解得：x1＝20，x2＝50．
∵15≤x≤40，
∴x＝20．
∴这天芒果的售价为20元．
22．（12分）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．
解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，
∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，
∴BC＝DC＝AD．
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝．
∴＝．
∴D是AB边上的黄金分割点；
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ADC＝AD?h，S△DBC＝DB?h，S△ABC＝AB?h，
∴＝，＝．
∵D是AB的黄金分割点，
∴＝，
∴＝．
∴CD是△ABC的黄金分割线．
23．（14分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M为AD的中点，连接BM，交AC于E，在CB上取一点F，使得CF＝AE，连接AF，交BM于G，连接CG．
（1）求∠BGF的度数；
（2）求的值；
（3）求证：BG⊥CG．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACF＝60°，
∵AE＝CF，
∴△BAE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝∠CAF+∠BAG＝∠BAC＝60°．
（3）设AM＝DM＝x，连接CM，
∵△ACD是等边三角形，
∴CM⊥AD，
∴CM＝AM＝x，
∵AD∥CB，
∴CM⊥BC，
∴∠BCM＝90°，
∵AD＝BC＝2x，
∴BM＝＝x，
∵△BAG∽△BMA，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝x，
∴＝＝，
∵∠CBG＝∠CBM，
∴△CBG∽△MBC，
∴∠BGC＝∠BCM＝90°，
∴BG⊥CG．
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数学试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣2，1）
D．（2，﹣1）
2．（4分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）根据下列表格对应值：
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24
B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26
D．3.25＜x＜3.28
4．（4分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
5．（4分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（ ）
A．1.2m
B．1.3m
C．1.4m
D．1.5m
6．（4分）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝2
D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y2
7．（4分）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+50x
B．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25x
D．y＝﹣x2+26x
8．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若BC＝12，AB＝20，则CD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．6
9．（4分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米
B．8米
C．10米
D．12米
10．（4分）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，将一个三角板的直角顶点与点O重合，两直角边分别与BC，CD交于点E，F连接EF交OC于点G，下列3个结论：
①△OBE≌△OCF；
②△OGF∽△OFC；
③BE2+DF2＝2OG?OC．
其中正确的结论有（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如果＝＝，其中b+2d≠0，那么＝
．
12．（5分）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是
m．
13．（5分）如图，一个边长分别为6cm、8cm、10cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AC、DC上，那么这个正方形的面积是
．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知抛物线y＝﹣x2+6x的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为N，且MN＝10，那么点N的坐标是
．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
16．（8分）（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；
（2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
17．（8分）二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．
18．（8分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
19．（10分）已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点A（0，），B（1，0），点C在反比例函数y＝（k＞0）上．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）将点B向上平移后落在反比例函数图象上的点记为点D，连结DA，DC，求△ACD的面积．
21．（12分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
（1）求芒果一天的销售量y与该天售价x之间的一次函数关系式，写出x的取值范围．
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
22．（12分）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．
23．（14分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M为AD的中点，连接BM，交AC于E，在CB上取一点F，使得CF＝AE，连接AF，交BM于G，连接CG．
（1）求∠BGF的度数；
（2）求的值；
（3）求证：BG⊥CG．
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精品试卷·第
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