苏科版八年级数学上册第三章《勾股定理》强化提优检测（Word版 含解析）

《勾股定理》强化提优检测
（时间：90分钟
满分：120分）
一、选择题（共8题；共24分）
1.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（??
）
A.169
B.169或119
C.169或225
D.225
2.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（??
）A.?24平方米?????????B.?26平方米???????C.?28平方米??????D.?30平方米
3.如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC
＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（?????
）
A.?4?????????????B.?????????????????C.?5?????????????D.?6
4.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（???
）
A.140°
B.100°
C.50°
D.40°
5.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E，F，G，H，
I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（??
）
A.?360????????????????B.?400???????????????C.?440????????????D.?484
6.如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，若OD=OE=OF，连接OA，OB，OC，下列说法不一定正确的是（
??）
A.△BOD≌△BOF
B.∠OAD=∠OBF
C.∠COE=∠COF
D.AD=AE
7.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程平方是（　　)
A.3
B.2+2
C.10
D.4
8.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2
，
则S1+S2的值为（　　）
A.16
B.17
C.18
D.19
二、填空题（共10题；共30分）
9.若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________?
10.在直角三角形
中，斜边
=2，则
=________
11.一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为________
12.如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是________米．
13.如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点,若AE=3,EM+CM的最小值为________.
14.如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=________．
15..在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1
，
S2
，
S3
，
S4
，
则S1+S2+S3+S4=________．
16..如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为________．
17.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1
，
S2
，
则S1+S2的值等于________．
18.如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为________cm．
三、解答题（共5题；共66分）
19.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？
20.如图所示，在三角形ABC中，∠C=90゜，两直角边AC=6，BC=8，三角形内有-点P，它到各边的距离相等，求这个距离.
21.已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
22.如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
23.
如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
24.
如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
25.
如图，在ABC
中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q在斜边上，且∠PCQ=45°，求证：PQ2?=AP2+BQ2。
26.
在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且FC=
?DC．试说明：AE⊥EF．
27．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；qqqqqq（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
28．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？
《勾股定理》强化提优检测(教师样卷)
一、选择题（共8题；共24分）
1.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（??
）
A.169
B.169或119
C.169或225
D.225
【答案】B
【解析】【解答】若12和5都为直角边，则第三边长平方为169若12为斜边，5为直角边，则第三边的平方为119，故答案为：B.
2.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（??
）A.?24平方米?????????B.?26平方米???????C.?28平方米??????D.?30平方米
【答案】A
【解析】【解答】如图，连接AC．由勾股定理可知
AC=
=
=5，又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2∴△ABC是直角三角形故所求面积=△ABC的面积-△ACD的面积=
×5×12-
×3×4=24（m2）．故答案为：A
3.如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC
＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（?????
）
A.?4?????????????B.?????????????????C.?5?????????????D.?6
【答案】C
【解析】【解答】如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，
∴
×10?BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故答案为：C．
4.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（???
）
A.140°
B.100°
C.50°
D.40°
【答案】B
【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
5.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E，F，G，H，
I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（??
）
A.?360????????????????B.?400???????????????C.?440????????????D.?484
【答案】C
【解析】【解答】如下图：延长AB交KL于点O，延长AC交GM于点P，则四边形APLO是正方形，AO=AB+AC=14，∴KL=6+14=20，ML=8+14=22，∴长方形KLMJ的面积为2220=440.故答案为：C.【分析】延长AB，AC，可得到四边形APLO是正方形，求出正方形APLO的边长，进而求出长方形KLMJ的长与宽，求得面积即可.
6.如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，若OD=OE=OF，连接OA，OB，OC，下列说法不一定正确的是（
??）
A.△BOD≌△BOF
B.∠OAD=∠OBF
C.∠COE=∠COF
D.AD=AE
【答案】B
【解析】【解答】A、∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF，∴O在∠ABC的角平分线上（∠DBO=∠FBO），∠ODB=∠OFB=90°，∵在△BOD和△BOF中∠BDO=∠BFO??
∠DBO=∠FBO??
BO=BO??∴△BOD≌△BOF，正确，A不符合题意；
B、根据已知不能推出∠OAD=∠OBF，错误，符合题意；
C、∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF，
∴O在∠ACB的角平分线上（∠FCO=∠ECO），∠OFC=∠OEC=90°，∵在△COF和△COE中
∠CFO=∠CEO??
∠FCO=∠ECO??
CO=CO??∴△COF≌△COE，∴∠COE=∠COF，正确，不符合题意；D、∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO=∠AEO=90°，∵OD=OE，OA=OA，由勾股定理得：AE=AD，正确，不符合题意；
故答案为：B
7.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程平方是（　　)
A.3
B.2+2
C.10
D.4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，AB=．
故选C．
8.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2
，
则S1+S2的值为（　　）
A.16
B.17
C.18
D.19
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°=BCAC=22
，
即AC=2BC，同理可得：BC=CE=2CD，∴AC=2BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD=63=2，∴EC2=22+22
，
即EC=22；∴S1的面积为EC2=22×22=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，
∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．
二、填空题（共10题；共30分）
9.若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________?
【答案】和3
【解析】【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是=；
当5是斜边时，则第三边是3．故答案为：和3．
10.在直角三角形
中，斜边
=2，则
=________
【答案】8
【解析】【解答】由题意AB
=4，AC
+BC
=AB
,所以AB
+AC
+BC
=8【分析】直接用勾股定理可求解。
11.一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为________
【答案】12米
【解析】【解答】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB=
4.52+62
=7.5（米）．
故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．
故答案是：12米．
12.如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是________米．
【答案】3
【解析】【解答】由题意得，AC=5米，BC=4米，在Rt△ABC中，AB=
=3米故答案为：3
13.如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点,若AE=3,EM+CM的最小值为________.
【答案】
【解析】【解答】解：如图作点C关于AD的对称点是点B，连接BE交AD于点M，连接CM∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC∴MB=MC当B.
M、E三点共线时，EM+CM的值最小，即EM+CM=EM+BM=BE∵等边△ABC中，E是AC边的中点∴在Rt△ABE中,
BE=故答案为：
14.如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=________．
【答案】
【解析】【解答】解：连接EF，∵点E、点F是AD、DC的中点，∴AE=EDCF=DF=
CD=
AB=
，由折叠的性质可得AE=A′E，∴A′E=DE，在Rt△EA′F和Rt△EDF中，∵
，∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），∴A′F=DF=
，∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+
=
，在Rt△BCF中，BC=
=
．∴AD=BC=
．故答案为：
．
15..在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1
，
S2
，
S3
，
S4
，
则S1+S2+S3+S4=________．
【答案】4
【解析】【解答】解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2
，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2
，
即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．
16..如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为________．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵AB=8，S△ABF=24∴BF=6．∵在Rt△ABF中，AF=
=10，∴AD=AF=BC=10∴CF=10﹣6=4设EC=x，则EF=DE=8﹣x．在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2
，
即（8﹣x）2=x2+42
，
解得，x=3．∴CE=3．故答案为：3．
【分析】根据三角形的面积，得到BF的值，再根据勾股定理和折叠的性质，求出AD=AF=BC的值，得到CF的值，由矩形的性质和勾股定理，求出EC的长.
17.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1
，
S2
，
则S1+S2的值等于________．
【答案】8π
【解析】【解答】解：
，所以S1+S2=
18.如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为________cm．
【答案】3.4
【解析】【解答】根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=(5－x)cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得：
，解得：x=3.4【分析】设AE=xcm，根据矩形和折叠的性质可将BE和CE用含x的代数式表示，在直角三角形BCE中，由勾股定理可列方程求解。
三、解答题（共5题；共66分）
19.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？
【答案】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB=AD2+BD2=122+122=122（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是122cm；
（2）∵AD=12cm，∴蚂蚁所走的路程=122+12+42=20，∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（米/秒）．
20.如图所示，在三角形ABC中，∠C=90゜，两直角边AC=6，BC=8，三角形内有-点P，它到各边的距离相等，求这个距离.
【解答】由勾股定理得：AB=
=10，∵在△ABC内有一点P，点P到各边的距离都相等，∴P为△ABC的内切圆的圆心，设切点为D、E、F，连接PD、PE、PF、PA、PC、PB，内切圆的半径为R，则由三角形面积公式得：
×AC×BC=
×AC×R+
×BC×R+
×AB×R，∴6×8=6R+8R+10R，R=2
21.已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB=?
=10，∵S△ABC=
AB?CD=
AC?BC，∴CD=
=
=4.8
22.如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
【答案】解：连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，在△BAE和△CAF中，
，∴△BAE≌△CAF，∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，∴EF=3，CE=5，∴CE2=EF2+CF2
，
∴∠CFE=90°∵∠AFE=60°，∴∠AFC=90°+60°=150°，∴∠AEB=∠AFC=150°
23.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
【答案】解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30-x）米，根据题意，得：
（30-x）2-（x+10）2=202
，
解得x=5．即树的高度是10+5=15米
27.
如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
【答案】解:设基地E应建在离站x千米的地方,则E=(50-x)千米在Rt△ADE中,根据勾股定理得:AD2+AE2=DE2在Rt△CEE中,根据勾股定理得:CB2+BE2=CE2
∴202+(50-x)2=CE2又∵C、D两村到E点的距禽相等,∴DE=CE∴DE2=CE2
解得x=20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方。
25.如图，在ABC
中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q在斜边上，且∠PCQ=45°，求证：PQ2?=AP2+BQ2。
【答案】证明：如图，在PC的右侧作CP的垂线，并截取CD=CP，连接BD，QD，则∠DCQ=∠PCQ=45°，于是可证△DCB≌△PCA（SAS），得AP=BD，∠DBC=∠A=45°，∴∠DBQ=90°，再证△DCQ≌△PCQ（SAS），得DQ=PQ，Rt△DBQ中，DQ?=BQ?+BD?即PQ2?=AP2+BQ2。
26.在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且FC=
?DC．试说明：AE⊥EF．
【答案】证明：连接AF，设FC=a，则DC=DA=AB=BC=4a所以DF=3a，CE=EB=2a．由勾股定理得AF=5a，EF=
a，AE=2
a从而由（
a）2+（2
a）2=（5a）2即EF2+AE2=AF2∴△AEF为直角三角形，斜边为AF，故∠AEF=90°，即AE⊥EF
27．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；qqqqqq（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．
28．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？
解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，AB＝220，∴，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）＝160．∵110＜160，
∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝160．∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝60．∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4（小时）．（3）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（110÷20）＝6.5（级）．