(共20张PPT)
第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
一、积化和差公式
1.(1)积化和差公式有何特点?
(2)积化和差公式右侧系数都为
吗?
提示:(1)积化和差公式中:同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.
(2)否.sin
αsin
β=-
[cos(α+β)-cos(α-β)].
2.填空:
3.做一做:计算(1)sin
52.5°·cos
7.5°= ;?
(2)sin
αsin
3α= .?
二、和差化积公式
1.和差化积公式有何特点?
提示:余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为异
形式.
3.做一做:计算(1)sin
54°-sin
18°= ;?
探究一
探究二
探究三
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三角函数式的化简与求值
分析:先化简条件,再求值.
反思感悟三角函数化简与求值的策略
当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究本例若不利用积化和差公式,如何求解?
探究一
探究二
探究三
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证明恒等式
分析:根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一.
反思感悟三角恒等式证明的常用方法
当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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变式训练1已知sin
A+sin
3A+sin
5A=a,cos
A+cos
3A+cos
5A=b,求证:(2cos
2A+1)2=a2+b2.
证明:由题意知(sin
A+sin
5A)+sin
3A=2sin
3A·cos
2A+sin
3A=a,
(cos
A+cos
5A)+cos
3A=2cos
3Acos
2A+cos
3A=b,
则sin
3A(2cos
2A+1)=a,①
cos
3A(2cos
2A+1)=b.②
两式平方相加,得(2cos
2A+1)2=a2+b2.
探究一
探究二
探究三
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与三角函数有关的综合问题
分析:先将解析式化简,然后求解.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
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反思感悟三角函数综合问题的求解策略
求解三角函数性质问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的形式后再研究其性质.
探究一
探究二
探究三
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积化和差、和差化积公式的应用规律
(1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α、β,等式右边为它们的和差角.
(2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名,一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次函数.
余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名
探究一
探究二
探究三
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方法点睛本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换,构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导公式得解.
探究一
探究二
探究三
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答案:B
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
答案:B
答案:B
探究一
探究二
探究三
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4.sin
15°sin
30°sin
75°的值是 .?
5.(双空)sin
105°+sin
15°= ,
cos
75°×cos
15°= .?(共20张PPT)
第1课时 半角的正弦、余弦和正切
1.不查表求sin
22.5°,cos
22.5°的值.
2.填空:
3.做一做:sin
15°= ;cos
15°= .?
探究一
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探究三
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分析:先化简,再求值.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用半角公式求值的思路
(1)看角:看已知角与待求角的2倍关系.
(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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利用半角公式化简三角函数式
探究一
探究二
探究三
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反思感悟化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究在例2中,若去掉条件“180°<α<360°”,结果如何?
探究一
探究二
探究三
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利用半角公式证明问题
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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反思感悟三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简;
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有目的性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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运用公式求解三角函数综合题的思路
(1)将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式;
(2)求函数f(x)的递减区间及函数图像的对称中心.
审题策略(1)先用倍角公式化简,再用辅助角公式进行变形;(2)用正弦型函数的性质解答问题.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
规范解答
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答题模板(1)运用和、差、倍角公式化简.
(2)统一化成f(x)=asin
ωx+bcos
ωx+k的形式.
(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.
失误警示造成失分的原因:(1)公式应用错误;(2)函数关系式化简不到位;(3)求单调区间时未用区间.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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答案:D
答案:B
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答案:CD
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规范解答
当堂检测(共22张PPT)
8.2.3 倍角公式
1.(1)角
+β+40°与α+2β+80°是什么关系?
(2)试用角α的三角函数表示sin
2α,cos
2α,tan
2α.
提示:(1)角α+2β+80°是
+β+40°的二倍角.
(2)2α=α+α,再利用两角和的三角公式展开.
2.填表:倍角公式
探究一
探究二
探究三
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化简、求值问题
例1求下列各式的值:
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟化简、求值问题的求解策略
解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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给值求值问题
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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反思感悟给值求值问题的求解策略
由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值或求相关角时,关键在于“变角”,把“目标角”变换成“已知角”.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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给值求角问题
例3如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为
探究一
探究二
探究三
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探究一
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反思感悟给值求角问题的求解策略
要求角,应先求出该角的一种三角函数值,再根据范围求得角.
探究一
探究二
探究三
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逆用公式巧解题
在运用公式时,不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还要善于逆用、变形用公式.
(1)公式逆用.
探究一
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(3)倍角的余弦公式有三种形式:
cos
2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
在应用时要注意选择合适的形式.
探究一
探究二
探究三
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典例求值:
(1)sin
10°sin
50°sin
70°;
(2)sin
6°sin
42°sin
66°sin
78°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛求连续几个正弦或余弦的积,常构造正弦的倍角公式连续使用,最后利用诱导公式化简求值.
探究一
探究二
探究三
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答案:B
答案:D
探究一
探究二
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探究一
探究二
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当堂检测(共18张PPT)
第2课时 两角和与差的正切
1.两角和(差)的正、余弦公式是什么?
提示:sin(α±β)=sin
αcos
β±cos
αsin
β,
cos(α±β)=cos
αcos
β?sin
αsin
β.
2.填空
3.做一做:tan
105°= .?
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)tan
α+tan
β=tan(α+β).
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
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给角求值问题
例1求下列各式的值.
分析:根据所给角的特征,将式子转化为符合两角和与差的正切公式的形式,同时正向或逆向运用公式或公式的变形求三角函数值.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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思维辨析
当堂检测
给式求值问题
反思感悟给式求值问题的求解策略
若所求三角函数的角可用已知三角函数的角的和或差表示就可求出其值,即角变换思想同样可以运用到和差角的正切公式上求值.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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给值求角问题
分析:已知α-β及β角的正切,要求2α-β的正切,必须通过角变换,2α-β=α+(α-β),α=(α-β)+β,故需先求出α角的正切.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟求角问题的求解步骤
(1)求角的范围;(2)求出此角的一种适当的三角函数值;(3)得出角的数值.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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活用公式求值
在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用.
如:Tα±β可变形为如下几个公式
探究一
探究二
探究三
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方法点睛(1)利用tan
45°=1代入求解;(2)(3)利用正切公式的变形公式求解.
探究一
探究二
探究三
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答案:C
2.tan
15°+tan
75°=( )
A.4
B.2
C.1
D.2
答案:A
探究一
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4.计算(1+tan
10°)(1+tan
35°)等于 .?
答案:2
探究一
探究二
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当堂检测
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共21张PPT)
第1课时 两角和与差的正弦
两角和与差的正弦公式
1.用公式C(α±β)可以得到sin(α+β)的公式吗?
2.填空
Sα+β:sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β.?
Sα-β:sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β.?
3.做一做:sin
105°= .?
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)sin(α-β)=sin
αcos
α-cos
βsin
β.
( )
(2)sin
α+sin
β=sin(α+β).
( )
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos
β+cos(α-15°)sin
β.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
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给值求值
分析:若将cos(α+β)展开,再联立平方关系求sin
β的运算量大,利用角的变换β=(α+β)-α,两边同时取正弦比较简便.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究在例1中,试求β.
探究一
探究二
探究三
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利用两角和与差的正弦公式化简
例2化简下列各式:
分析:(1)各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系,所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法.(2)观察三个角之间的关系,知2α+β=α+(α+β),所以首先考虑角的代换,再利用两角和与差公式化复角为单角.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟化简三角函数式的标准和要求
(1)能求出值的应求出值;
(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;
(3)使三角函数式的次数尽可能低;
(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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利用两角和与差的正弦公式证明
探究一
探究二
探究三
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反思感悟三角恒等式证明的策略
三角恒等式的证明的实质是通过恒等变形消除待证式两边结构上的差异,常用策略是变角、变函数名称.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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一题多解——两角和与差的正弦求解
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
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方法点睛熟练三角公式是一题多解的基础.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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答案:C
答案:C
探究一
探究二
探究三
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答案:1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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5.设A,B,C为△ABC的三个内角,且x2-xsin
Acos
B+sin
C=0的两根为α,β,α+β=
αβ,判断△ABC的形状.
解:因为α,β是方程x2-xsin
Acos
B+sin
C=0的两根,
所以α+β=sin
Acos
B,αβ=sin
C.
又因为α+β=
αβ,
所以2sin
Acos
B=sin[π-(A+B)].
所以2sin
Acos
B=sin(A+B).
所以2sin
Acos
B=sin
Acos
B+cos
Asin
B,sin
A·cos
B-cos
Asin
B=0,即sin(A-B)=0.
又因为0
所以A-B=0,即A=B.
所以△ABC为等腰三角形.(共21张PPT)
8.2.1 两角和与差的余弦
1.(1)向量a,b的数量积公式是什么?
(2)若a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),则a·b=?
提示:(1)a·b=|a|·|b|·cos.
(2)a·b=cos
αcos
β+sin
αsin
β.
2.填空:
3.做一做:cos
105°= .?
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)cos(α-β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β.
( )
(2)cos(α+β)=cos
α+cos
β.
( )
(3)cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β对任意α,β都成立.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
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给角求值问题
例1求下列各式的值:
(1)cos
15°-cos
75°;
(2)sin
70°cos
25°-sin
20°sin
25°;
分析:注意结构形式,将其变形为两角和与差的余弦形式,套用公式.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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反思感悟解决给角求值问题的策略
公式Cα±β是三角恒等式,既可正用,也可逆用,一定要注意公式的结构特征,灵活变换角或名称,同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如,30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求值.
探究一
探究二
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探究一
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给值求值问题
分析:将β转化为(α+β)-α,再利用公式.
探究一
探究二
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反思感悟给值求值问题的两个主要技巧
一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负.
二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或
探究一
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给值求角问题
分析:利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解.
探究一
探究二
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反思感悟解决给值求角问题的策略
求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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角的变换技巧的应用
角的变换是三角恒等变换的首选方法.在进行三角恒等变换时,对角与角之间的关系必须进行认真地分析.
(1)分析角之间的和、差、倍、分关系,
例如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),
探究一
探究二
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方法点睛三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换,而角的变换主要体现了拆角与凑角的方法.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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当堂检测
1.在△ABC中,已知cos
Acos
B>sin
Asin
B,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案:C
答案:AD
探究一
探究二
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3.cos
78°cos
18°+cos
12°cos
72°= .?
探究一
探究二
探究三
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当堂检测(共21张PPT)
8.1.3 向量数量积的坐标运算
1.已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若e1,e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴正半轴同向的单位向量,则a,b如何用e1,e2来表示?并求出a+b与λa的坐标.
提示:a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,a+b
=(x1+x2,y1+y2),λa=λ(x1,y1)=(λx1,λy1).
2.填空:
(1)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.
(3)向量的长度、距离和夹角公式:
3.做一做:已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a·b,|a|,|b|,.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
向量数量积的坐标运算
例1已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).
(1)求(a+b)2;
(2)求(a+b)·(a-b).
分析:利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算.
解:(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.
(2)方法一:∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.
方法二:∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),
∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.
探究一
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反思感悟向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
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延伸探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c.
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利用向量数量积解决长度和夹角问题
例2已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角.
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反思感悟利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.
(3)求夹角的余弦值cos
θ.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos
θ求θ的值.
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答案:A
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分析:要对△ABC的三个内角分别讨论,并利用坐标反映垂直关系.
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用向量数量积的坐标运算求解几何问题
例4求证:直径所对的圆周角为直角.
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变式训练2已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.
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向量中的数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:
(1)向量的几何表示关注方向.
(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.
(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.
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解析:建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).
答案:C
方法点睛建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积的坐标运算求解.
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答案:D
2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案:C
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3.(双空)已知向量a=(2,4),b=(-2,2),若c=a+(a·b)b,则|c|= ,cos= .?
4.已知a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),且a与b的夹角大于90°,则实数m的取值范围为 .?
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5.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+λb,λ为实数,试证明:使|x|最小的向量x垂直于向量b.(共19张PPT)
8.1.2 向量数量积的运算律
1.向量数乘有哪些运算律?
提示:(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.填空:
向量数量积的运算律
已知向量a,b,c与实数λ,则
3.做一做:已知|a|=2,|b|=5,=120°,求(2a-b)·a.
答案:13
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)(a·b)·c=a·(b·c).
( )
(2)若a⊥b,则a·b=0.
( )
(3)若a∥b,则a·b>0.
( )
(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).
( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
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向量数量积的计算
例1已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:
(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.
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反思感悟求向量的数量积时,常用到的结论
(1)a2=|a|2;
(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;
(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.
同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件.
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求向量的模
例2已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=3,求|3a+b|的值.
分析:通过数量积a·b来探求已知条件|3a-2b|=3与目标式|3a+b|之间的关系.
解:因为|a|=|b|=1,所以|a|2=|b|2=1.
又因为|3a-2b|=3,所以(3a-2b)2=9,
所以9|a|2-12a·b+4|b|2=9,
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变式训练1已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为60°,|ka-2b|=13,求k的值.
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向量在几何中的应用
例3已知△ABC三边长分别为a,b,c,以A为圆心,r为半径作圆,如图
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反思感悟向量数量积在平面几何应用中的解题策略
(1)利用运算律结合图形先化简再运算.
(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).
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A.2
B.0
C.-1
D.-2
答案:D
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提示一先利用|a+b|2=(a+b)2,|a-b|2=(a-b)2求出后再开方.
提示二利用向量加法的平行四边形法则,a+b,a-b分别是平行四边形的对角线对应的向量,利用向量的几何意义在三角形中求解.
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方法点睛求向量的模的常见解法有两种,一种是利用a2=|a|2求解,特别注意不要忘记开方.另一种是把向量求模问题转化到平面几何中的长度计算上来.
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答案:A
答案:B
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3.(双空)已知|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为60°,则|2a-b|= .(a+b)与(a-b)的夹角的余弦值为 .?
答案:-16
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5.已知两单位向量a与b的夹角为120°.若c=2a-b,d=3b-a,求c与d的夹角的余弦值.
解:∵a,b是两个单位向量,∴|a|=|b|=1.
又∵a与b的夹角为120°,(共26张PPT)
8.1.1 向量数量积的概念
一、两个向量的夹角
1.设a,b是两个非零向量,能否把a,b平移到共同起点?
提示:能.
2.填空:
两个向量的夹角.
3.做一做:作出向量a与b的夹角:
答案:略
二、向量数量积的定义
1.如图,在力F的作用下,木块在水平方向上移动了5
m,若F=3
N,则力F做的功是多少?
2.填空:
(1)一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.
(2)数量积的性质
①a⊥b?a·b=0,且a·b=0?a⊥b;
④|a·b|≤|a||b|(共线时取等号).
3.做一做:若|a|=3,|b|=4,a∥b,则a·b= .?
答案:±12
三、向量的投影与向量数量积的几何意义
1.若A(1,1),B(5,8),过点A作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A1,A2,过点B作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B1,B2,则
提示:(4,0) (0,7)
2.填空:
(2)给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.
(3)一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量.
①两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.
②当e为单位向量时,a·e=|a|cos.
即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.
3.做一做:已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于( )
答案:A
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与向量数量积有关命题的判断
例1已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为( )
①|a·b|=|a|·|b|?a∥b;②a,b反向?a·b=-|a|·|b|;③a⊥b?|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|.
A.1
B.2
C.3
D.4
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解析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中因为a·b=|a|·|b|·cos
θ,所以由|a·b|=|a|·|b|及a,b为非零向量可得|cos
θ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a|·|b|·cos
π=-|a|·|b|,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题③是真命题;④中当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.
答案:C
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反思感悟两向量夹角的关注点
两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为
(或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
变式训练1若a⊥b,则a·b=0;反之成立吗?
答案:成立.
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求向量的投影的数量或数量积
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反思感悟1.求向量数量积的步骤
(1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos.
2.求投影的数量的两种方法
(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos.
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向量数量积的性质
例3已知a,b是两个非零向量.
(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a与b的夹角;
(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
分析:利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解.
解:(1)因为a·b=|a||b|cos,所以|a·b|=||a||b|cos|=|a||b||cos|=6.
又|a|=3,|b|=4,
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变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,求a·b.
解:由|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,知a⊥b,
故a·b=0.
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用数形结合法求向量的夹角
求两向量的夹角时,有时也会将两向量移到同一起点,将其放在三角形或四边形中,这时要准确确定两向量的方向,正确地找出夹角,并结合图形利用平面几何性质求出夹角.
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典例已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
解:根据向量加法的几何意义,如图所示.
方法点睛熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类问题的有效方法.
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变式训练若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是( )
解析:如图所示,在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,
∵|a+b|=|a-b|,
∴四边形ABCD为矩形.
在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,
答案:C
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A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
所以cos
A<0.所以角A是钝角.
所以△ABC是钝角三角形.
答案:C
2.已知e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断中正确的是( )
A.e1·e2=1
B.e1·e2=-1
C.e1·e2=±1
D.|e1·e2|<1
答案:C
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3.对任意向量a和b,|a||b|与a·b的大小关系是( )
A.|a||b|≤a·b
B.|a||b|>a·b
C.|a||b|≥a·b
D.|a||b|答案:C
答案:-2 2
5.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影的数量为 .?