(共18张PPT)
———平面几何中的向量方法
因为有了运算，向量的
力量无限.
因为有了向量，就像鸟儿
有了翅膀.
复习回顾
设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)
|a
|=
向量的长度(模)
向量的夹角
向量数量积的坐标表示
重要性质:
(1)
(2)
(3)
设a
、b都是非零向量,则
向量数量积的定义
平行
垂直
向量的坐标表示：
与向量有关的如平行、垂直、距离、夹角、三点共线等几何问题．
可充分利用向量这个工具来解决
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.
利用向量解决平面几何问题举例
思考：如果不用向量的方法，你能证明上述关系吗？
利用向量解决平面几何问题举例
2
已知,平行四边形
.求证：
证明：做
,
.
∵
是平行四边形（已知）
∴
,
,
∵
,
(所做）
∴
（垂直于一条直线的两条直线平行）
∴
是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴
（平行四边形对边相等）
∴
(等量减等量,差相等）
∴
（勾股定理）
=
=
=
=
P110
检3
问题1：如图平行四边形ABCD,已知AD=1，AB=2，BD=2,求对角线AC的长度。
A
B
D
C
问题2：分析以上的解题过程，你能总结出用向量知识解决平面几何的问题的一般思路吗？
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.
几何问题向量化
向量运算关系化
向量关系几何化
利用向量解决平面几何问题举例
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：几何问题向量化
向量运算关系化
向量关系几何化
例2.
如图，
ABCD中，点E、F分别是AD
、
DC边的中点，BE
、
BF分别与AC交于R
、
T两点，你能发现AR
、
RT
、TC之间的关系吗？
猜想：
AR=RT=TC
A
B
C
D
E
F
R
T
解一：相似
A
B
C
D
E
F
R
T
解二：设
则
因为
所以
又因为
共线，
所以设
由于
与
共线，所以设
基向量法
不共线，
故AT=RT=TC
A
B
C
D
E
F
R
T
A
B
C
D
E
F
R
T
解三：设
则
又因为
所以
因为E,R,B三点共线，
由于
与
共线，所以设
思考:T的位置用三点共线的结论应该如何证明？
“向量法解决几何问题”的两个角度：
基向量角度和坐标角度
P111
课10
练1.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E,F分别为BC,CD的中点，则（AE+AF）·BD=_____
A
B
C
D
E
F
P110
检4
练2.如图，在三角形ABC中，∠BAC=120°AB=AC=3，点D在线段BC上，DC=2BD,求：
（1）AD的长；
（2）∠DAC的大小.
1、几何法
2、基向量（选择合适的基底）
3、坐标法（建立合适的坐标系）
※对自己说，你有什么收获？
※对同学说，你有什么提示？
※对老师说，你有什么疑惑？
作业：课时作业（34）
课后思考题：
求证：1，△ABC的三条中线交于一点．
2，△ABC的三条高交于一点．
谢谢大家！评测练习
1.已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（
）
A．
B.
C.＋
D．
2．已知，则的坐标是___________.
3.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
4.如图所示，已知?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝60°，求对角线AC和BD的长．
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且2BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小2.5.1
平面向量应用举例一．【教材分析】
前面已学习了向量的概念及向量的线性运算以及向量的数量积，本节课应用向量的知识来解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题！二．【教学目标】1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究几何结论和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.三．【教学重难点】重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.
四．【教学过程】(一).(二).【新课引入】平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用（三）【典例精讲】例1.
证明：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：
证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(
a+b)·(
a+b)=
a·a+
a·b+b·a+b·b=
|a|2+2a·b+|b|2．
①同理,|a|2-2a·b+|b|2．
②①+②得
2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．对比其他方法：建系设坐标法和做辅助线勾股定理等方法体验向量法的优越性.跟踪练习
应用上述结论解题引导学生归纳，用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．简述为：几何问题向量化
向量运算关系化
向量关系几何化例2、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？解：设a，b，则a+b．因为与共线，因此，存在实数m，使得=m(a+b)．又因为与共线，因此存在实数n，使得=n=
n(b-
a)．由=
n，得m(a+b)=
a+
n(b-
a)．整理得a＋b＝0．由于向量a、b不共线，所以有 解得所以．同理
．于是
．所以
AR＝RT＝TC．引导学生小组讨论合作探究出其它方法一一展示、对比、点拨、点评练习1.矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E,F分别为BC,CD的中点，则=_____练习2.在三角形ABC中，∠BAC=120°AB=AC=3，点D在线段BC上，DC=2BD,求：（1）AD的长；（2）∠DAC的大小.如有时间，爬黑板展示【课堂小结】1.向量法：基底法和坐标法2.利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”建立平面几何与向量的联系，通过向量运算，研究几何元素之间的关系，把运算结果“翻译”成几何关系.数学思想与方法：转化，数形结合，几何问题代数化【板书设计】
研讨建议
§
2.5.1
平面向量的应用举例
例1
例2
练习
小结
