(共27张PPT)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
第一章 §1.4 三角函数的图象与性质
学习目标
1.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
题型探究
问题导学
内容索引
当堂达标
问题导学
知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.
正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是
.
对于正弦函数y＝sin
x，x∈R有：
当且仅当x＝
时，取得最大值1；
当且仅当x＝
时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cos
x，x∈R有：
当且仅当x＝
时，取得最大值1；
当且仅当x＝
时，取得最小值－1.
[－1，1]
2kπ，k∈Z
(2k＋1)π，k∈Z
知识点二 正弦、余弦函数的单调性
思考1
正弦函数在
上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案
答案 观察图象可知：
推广到整个定义域可得
观察余弦函数y＝cos
x，x∈[－π，π]的图象.
思考2
余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案
答案 观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos
x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos
x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos
x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos
x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考3
正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？
答案
y＝cos
x的增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z.
梳理
解析式
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
值域
[－1，1]
[－1，1]
单调性
在__________________________
上递增，
在
，
k∈Z上递减
在_____________________
上递增，
在___________________
上递减
[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
最值
当x＝_____________时，ymax＝1；
当x＝_______________时，ymin＝－1
当x＝
时，ymax＝1；当x＝_____________
时，ymin＝－1
2kπ，k∈Z
π＋2kπ，k∈Z
题型探究
解答
所以函数f(x)的单调递增区间是
反思与感悟
用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间
需将最终结果写成区间形式.
答案
解析
命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较大小.
sin
196°与cos
156°；
类型二 正、余弦函数单调性的应用
解答
解 sin
196°＝sin(180°＋16°)＝－sin
16°，
cos
156°＝cos(180°－24°)＝－cos
24°＝－sin
66°.
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin
x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin
16°66°，
从而－sin
16°>－sin
66°，即sin
196°>cos
156°.
解答
反思与感悟
用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.
达标检测
规律与方法
1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
课堂小结：
知识点：
1
奇偶性
2
最值
3
单调性
题型：
1
2§1.4.2正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】
《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】
1.
会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数
的值域
2.
在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．
3.
在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．
【教学重点难点】
教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有的函数的值域
【学情分析】
知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复习导入、展示目标。
（一）问题情境
复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？
生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点
引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？
生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等
提出本节课学习目标——定义域与值域
（二）探索研究
给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：
1.奇偶性
由
可知:()为奇函数,其图象关于原点对称
()为偶函数,其图象关于轴对称
2.值域
(1)值域
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
所以,
即
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.
(2)最值
正弦函数
①当且仅当时,取得最大值
②当且仅当时,取得最小值
余弦函数
①当且仅当时,取得最大值
②当且仅当时,取得最小值
3.单调性
从的图象上可看出:
当时,曲线逐渐上升,的值由增大到
当时,曲线逐渐下降,的值由减小到
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.
余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.
三、例题分析
例1、求函数y=sin(2x+)的单调增区间．
解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．
解：令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为[，]．
由
≤2x+≤得
≤x≤
故函数y=sinz的单调增区间为
[，
]（ｋ∈Ｚ）
点评：“整体思想”解题
变式训练1.
求函数y=sin(-2x+)的单调增区间
解：令z=-2x+，函数y=sinz的单调减区间为[，]
故函数sin(-2x+)的单调增区间为[
，
]（ｋ∈Ｚ）．
例2：
比较sin2500、sin2600的大小
解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小
解：∵y=sinx在[，]（k∈Z），上是单调减函数，
又
2500<2600
∴
sin2500>sin2600
点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单
调区间，运用单调性即可，若比较复杂，
先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．
变式训练3.
cos
解：cos
由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。
五、反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
课堂小结：
1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题
2、数学思想方法：数形结合、整体思想。
当堂检测
§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
（分组展示。比一比，看谁做得又对又快！）
1、判断下列各式是否成立?并说明理由
(1)2cosx=3
(2)sin2x=0.5
(3)cos2x=1.5
2.判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=sinx
，
(2)f(x)=+1
，
3.（1）求函数的单调减区间.
（2）的单调减区间.
（选做）4、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值
六、发导学案、布置预习。
七、板书设计
正弦函数和余弦函数的性质
一、正弦函数的性质
例1
二、余弦函数的性质
例2
定义域、值域、单调、奇偶、周期对称
例3
八、教学反思
（1）根据学生学习知识的发展过程，在推导性质的过程中让学生自己先独思考，然后小组交流，再来纠正学生错误结论，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。
（2）关注学生的表达，表现，学生的情感需求，课堂明显就活跃，学生的积极性完全被调动起来，很多学生想表达自己的想法。这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。
（3）判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的，帮助学生辨析，缩短认识这些知识的时间，减少再出现类似错误的人数，在学生学习困惑时给与帮助。
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