※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※
.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................
勾股定理
一、选择题
1.
如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为(???????)
?
A.
1.8?????????????B.
2.4?????????????C.
3.2?????????????D.
3.6?????????????
2.
如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(??)
?
A.
48?????????????B.
60?????????????C.
76?????????????D.
80?????????????
3.
如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在A处，点D落在处.若AB=3，BC=9，则折
痕EF的长为(????)
?
A.
?????????????B.
4?????????????C.
5?????????????D.
?????????????
4.
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题:?今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远,?问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为(????)
A.
?????????????B.
?????????????
?C.
?????????????
??
D.
?????????????
5.
如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8?m处，发现此时绳子末端距离地面2?m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为??(????)
?
A.
12?m?????????????B.
13?m?????????????C.
16?m?????????????D.
17?m?????????????
6.我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O.固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为 ( )
?
A.
(,1)?????????????B.
(2,1)?????????????C.
(1,)?????????????D.
(2,)?????????????
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为 ( )
?
A.
2a?????????????B.
2a?????????????C.
3a?????????????D.
a?????????????
8.
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6?cm，BC=8?cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于??(????)
?
A.
2?cm?????????????B.
3?cm?????????????C.
4?cm?????????????D.
5?cm?????????????
9.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是??(????)
?
A.
10?????????????B.
5?????????????C.
?????????????D.
?????????????
10.
如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是??(????)
?
A.
3?????????????B.
4?????????????C.
5?????????????D.
9?????????????
11.
一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为??(????)
A.
3?????????????B.
?????????????C.
与3?????????????D.
不确定?????????????
12.
如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为??(????)
?
A.
25米?????????????B.
12米?????????????C.
13米?????????????D.
米?????????????
13.
如图,在中,AB=AC=5,BC=6.M为BC的中点,于点N,则MN等于(????)
?
A.
?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
?????????????
14.
如图,在中,,AB=15,则两个正方形面积的和为(????)
?
A.
150?????????????B.
200?????????????C.
225?????????????D.
350?????????????
15.
若直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高是(????)
A.
5?????????????B.
2.4?????????????C.
3.6?????????????D.
1.8?????????????
16.
[2016·株洲中考]如图,以直角三角形a,b,c为边,向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数有( )
?
A.
1个?????????????B.
2个?????????????C.
3个?????????????D.
4个?????????????
二、填空题
17.
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF的取值范围为??????.
?
18.
如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米.梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下滑了____米.
?
19.
如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为____.
?
20.
已知长方形ABCD，AB=3?cm，AD=4?cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为____.
?
21.
如图,在中,AC=8,BC=6,,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,那么阴影部分的面积为_____.
?
22.
如图所示,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次为，，，,则_____.
?
23.
直角三角形的周长为12,斜边长为5,则该直角三角形的面积为_____.
24.
如图，A,B两个火车站相距25km，C、D两村位于铁路的同侧，且，，且AC=15km，BD=10km.现要在铁路AB段上建一个中转站E，使得CE=DE，则中转站E应建在距A站____km处.
?
三、解答题
25.
如图,已知在中,AB=10,AC=21,BC=17,求AC边上的高.
?
26.在△ABM中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.
(1)如图1,若AB=3,BC=5,求AC的长;
?
?图1
(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:∠BDF=∠CEF.
?
?图2
27.
为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20?cm，宽AB=16?cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据步骤①②解答下列问题：
?
(1)找出图中∠FEC的余角；
(2)计算EC的长.
28.
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.
?
29.
如图，已知在长方形ABCD中，AD=3cm，AB=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求的面积.
?
四、证明题
30.
勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
?
?图①
?图②
?将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中.求证：.
?证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a.
?∵，
?，∴.
?∴.
?请参照上述证法，利用图②完成下面的证明.
?将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中.求证：.
?
31.
如图,在中,AB=AC,D为BC边上任意一点.求证：.
?
32.
如图,四边形ABCD,EFGH,NHMC都是正方形,边长分别为a,b,c,且点A,B,N,E,F在同一直线上.求证：.
?
33.
如图所示,已知AD是的中线.求证：.
?
34.
以a,b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形.把这四个直角三角形拼成如图所示的形状.求证：.
?
35.
已知：如图，在中，，AB=AC，P为BC上一点.求证：.
?
参考答案
1.
【答案】D【解析】连接BF，交AE与点H，由折叠的性质可得FE=BE，BF⊥AE，
?
?∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又Rt△ABE中，AB=4，由勾股定理得AE==5，∴BH==，则BF=，在△BFC中，FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，
?∴CF==.故选D.
2.
【答案】C【解析】∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB2=AE2+BE2=100，
?∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE，=AB2-×AE×BE=100-×6×8=76.故选C.
3.
【答案】A【解析】由翻折可知AE=EC,设BE=x，则AE=9-x在Rt△ABE中，根据勾股定理得
?3?+x?=(9-x)?，解得x=4，∴AE=5.在△ABE和△AD′F中，AB=AD′,?∠BAE=∠FAD′,?∠B=∠D′,∴△ABE≌△AD′F(AAS).∴AF=AE=5.过点F作FH⊥BC交BC于点H,则FH=3，EH=5-4=1.
?
?在△EFH中，根据勾股定理得EF=.故选A.
4.
【答案】D【解析】设折断后的竹子高x尺，根据勾股定理可得x2+32=(10-x)2?，故选D.
5.
【答案】D【解析】如图所示，作BC⊥AE于点C，
?因为四边形BDEC为矩形，所以BC=DE=8，
?设AE=x，则AB=x，AC=x-2，
?在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2+BC2=AB2，即(x-2)2+82=x2，解得x=17.
?即旗杆的高度为17?m,故选D.
?
6.
【答案】D【解析】由题知AB=AD'=D'C'=2,AO=1,∴由勾股定理知OD'=,∴点C'的坐标为(2,),故选D.
7.
【答案】B【解析】因为CD⊥AB,CD=DE=a,所以由勾股定理得,CE=a,因为点E是线段AB的中点,∠ACB=90°,根据直角三角形的性质可得AB=2CE=2a,故选B.
8.
【答案】B【解析】在Rt△ABC中,AC=6?cm，BC=8?cm，根据勾股定理得：AB=10?cm，
?根据折叠性质得：DE⊥AB，CD=DE，AE=AC=6?cm，∴BE=10-6=4(cm)，
?设CD的长为xcm，则BD=(8-x)cm，
?在Rt△BED中，BD2=DE2+BE2,即，解得x=3，即CD的长为3?cm，故选B.
9.
【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∵BC=8，AC=6，根据勾股定理得AB=10，
?根据三角形的面积公式得：，解得，故选C.
10.
【答案】A【解析】在Rt△ABD中，因为AB=4，BD=5，由勾股定理得.
?因为点D在∠ABC的平分线上，所以D到BA和点D到BC的距离相等，所以点D到BC的距离等于3，故选A.
11.
【答案】C【解析】根据题意可知：本题存在两种情况：①当5是直角边时，则第三边长是;
?②当5是斜边长时，则第三边长是，故选C.
12.
【答案】B【解析】点A与点B之间的距离为线段AB的长度，
?∵∠ABC=90°，AC=20米，BC=16米.
?在Rt△ABC中，根据勾股定理得(米)，故选B.
13.
【答案】C【解析】连接AM.
?
?因为AB=AC且M为BC的中点,则,CM=.在中,由勾股定理,得AM=4.又,即,得.故选C.
14.
【答案】C【解析】因为在中,,所以两正方形面积和.故选C.
15.
【答案】B【解析】因为三角形是直角三角形,所以先由勾股定理得斜边为5,再利用等面积法×3×4=×5×h,可求得斜边上的高h是2.4.故选B.
16.
【答案】D【解析】本题考查利用勾股定理验证图形面积的关系.在第1个图中,S1=a2,S2=b2,S3=c2,根据勾股定理a2+b2=c2,得S1+S2=S3;在第2个图中,S1=a2,S2=b2,S3=c2,根据勾股定理a2+b2=c2,得S1+S2=S3;在第3个图中,S1=a2,S2=b2,S3=c2,根据勾股定理a2+b2=c2,得S1+S2=S3;在第4个图中,S1=a2,S2=b2,S3=c2,根据勾股定理a2+b2=c2,得S1+S2=S3,故满足条件的有4个,故选D.
?勾股定理是判断本题等式是否成立的关键.
17.
【答案】≤CF≤3
?【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，=3，如图1所示；当B与E重合时，，如图2所示：在Rt△ABG中，?BG=BC=5，AB=3，∴AG==4，∴DG=AD-AG=1，设CF=FG=x，
?在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴(3-x)2+12=x2，解得x=，∴≤CF≤3.
?
18.
【答案】0.5
?【解析】在Rt△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，
?∴AC==2(米)，
?在Rt△CDE中，CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，
?∴=1.5(米)，
?∴AE=2-1.5=0.5(米).
19.
【答案】7
?【解析】因为∠B=90°，所以由勾股定理得BC2=AC2-AB2=52-32=16，所以BC=4.根据折叠的性质，所以EC=EA，所以△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7.
20.
【答案】cm
?【解析】连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED=EB，
?设AE=x?cm，则DE=(4-x)cm，∴EB=(4-x)cm，
?因为四边形ABCD为矩形，所以∠A=90°，
?在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即x2+32=(4-x)2，
?解得x=.故AE=cm.
21.
【答案】24
?【解析】设以两直角边为直径的半圆面积分别为和,以斜边为直径的半圆面积为,则,,,则阴影部分的面积为.
22.
【答案】4
?【解析】由图易证,最左端斜放置的正方形与相邻两个正方形所夹的两个直角三角形是两个全等的三角形,则易得.同理可证,∴.
23.
【答案】6
?【解析】设此直角三角形的两直角边长为a、b,因为周长为12,斜边长为5,则,又由勾股定理知,∴,则,故其面积为.
24.
【答案】10
?【解析】设AE=x?km，则BE=(25-x)km.∵，，而CE=DE，∴.解得x=10.即中转站E应建在距A站10km处.
25.
【答案】过点B作于点D.设AD=x,则CD=21-x.
?
?在中,.
?在中,,
?∴,解得x=6,∴,∴BD=8.
?即AC边上的高为8.
?
26.
(1)
【答案】AC=.
?【答案补充】∵∠ABM=45°,AM⊥BM∴△ABM为等腰直角三角形,
?又∵AB=3,∴AM=BM=3,∴CM=2,
?∴AC=.
?(2)
【答案】延长EF到点G,使得FG=EF,连接BG.
?
?∵DM=MC,∠BMD=∠AMC,BM=AM,
?∴△BMD≌△AMC,
?故AC=BD,
?又CE=AC,因此BD=CE,
?∵BF=FC,∠BFG=∠EFC,FG=FE,
?∴△BFG≌△CFE,
?故BG=CE,∠G=∠E,
?∴BD=BG,
?∴∠BDF=∠G,
?∴∠BDF=∠CEF.
?
27.
(1)
【答案】因为∠C=90°，所以∠FEC+∠EFC=90°，因为∠AFE=90°，所以∠EFC+∠AFB=90°，即∠AFB=∠FEC,因为∠B=90°，所以∠BAF+∠BFA=90°，所以∠FEC的余角有∠EFC，∠BAF.
?(2)
【答案】设EC=x?cm.由题意得，EF=DE=(16-x)cm，AF=AD=20?cm.
?在Rt△ABF中，?(cm).FC=BC-BF=20-12=8(cm).在Rt△EFC中，由勾股定理得,即，解得x=6，∴EC的长为6?cm.
?
28.
【答案】在中，由勾股定理，得，∴AB=10.又由折叠知，，AC=AE=6?cm，CD=DE，∴BE=AB-AE=4?cm.∵BD=8-CD，∴在中，由勾股定理，得.解得DE=3.∴CD的长为3?cm.
?
29.
【答案】设AE=x?cm，则DE=BE=(9-x)?cm.在中，根据勾股定理，得.解得x=4，∴.
?
30.
【答案】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，
?
?∵，
?又∵，
?∴，
?∴.
?
31.
【答案】证明：过点A作于点E.
?
?∵AB=AC,∴BE=EC.
?又∵,∴,,
?∴,
?即.
?
32.
【答案】证明：由题意,得,CN=NH,∴,.∴.
?在和中,
?∴,∴CB=NE=a.
?在中,,即,∴.
?
33.
【答案】证明：过点A作于点E.
?在中,有,,,
?∴
?.
?又∵AD是的中线,∴DB=DC,∴.
?
34.
【答案】证明：,且,∴.化简、整理,得.
?
35.
【答案】证明:过A点作于点D，∴.
?又∵，AB=AC，∴.
?又∵PB-PD=BD=DC=PD+PC，∴，
?∴，
?∴.
?
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勾股逆定理
一、选择题
1.
将下列各组数据作为三角形的边长，能够组成直角三角形的是(????)
A.
4，5，6?????????????B.
1.5，2，2.5?????????????C.
2，3，4?????????????D.
1，，3?????????????
2.
一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰,底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据(????)
A.
13，10，10?????????????B.
13，10，12?????????????C.
13，12，12?????????????D.
13，10，11?????????????
3.
下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的为(????)
A.
三个角的比为1:2:3?????????????B.
三条边满足关系?????????????
?C.
三条边的比为2:3:4?????????????D.
三个角满足关系?????????????
4.
三角形的三边长a,b,c满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形的形状是??(????)
A.
锐角三角形?????????????B.
钝角三角形?????????????C.
直角三角形?????????????D.
等边三角形?????????????
5.
在△ABC中，，则△ABC是??(????)
A.
等腰三角形?????????????B.
钝角三角形?????????????
?C.
直角三角形?????????????D.
等腰直角三角形?????????????
6.
园丁住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，则这块草坪的面积是??(????)
?
A.
24平方米?????????????B.
36平方米?????????????C.
48平方米?????????????D.
72平方米?????????????
7.
已知m>n>1，，，，则以a,b,c为边的三角形一定是(????)
A.
等边三角形?????????????B.
等腰三角形?????????????
?C.
直角三角形?????????????D.
形状无法确定?????????????
8.如图,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6.DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD=( )
?
A.
3?????????????B.
4?????????????C.
4.8?????????????D.
5?????????????
9.
如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为?( )
?
A.
90°?????????????B.
60°?????????????C.
45°?????????????D.
30°?????????????
10.
在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则( )
A.
∠A为直角?????????????B.
∠C为直角?????????????
?C.
∠B为直角?????????????D.
△ABC不是直角三角形?????????????
二、填空题
11.
一个三角形的周长为12，且三边a，b，c有如下关系：c=b-1，b=a-1，则这个三角形的面积是____.
12.
如图，D为△ABC的边BC上一点.已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为____.
?
13.
如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是____.
?
14.
如果的三边长分别为a、b、c，且满足关系式，那么是____三角形.
15.
有六根细木棒，它们的长度(单位：cm)分别是2，4，6，8，10，12，从中任取三根首尾顺次连接，能构成直角三角形的是____.
16.
如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE,BE,CE，将绕点B顺时针旋转到的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则____度.
?
17.
在△ABC中,三边长a,b,c满足a2+b2=25,a2-b2=7,c=5,则最大边上的高为 .?
18.
已知两条线段的长为5?cm和12?cm,当第三条线段的长为 时,这三条线段能组成一个直角三角形.?
19.
若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m= 时,这个三角形是直角三角形.?
20.
如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为 .?
?
21.
下列命题中,其逆命题成立的是 .(只填写序号)?
?①同旁内角互补,两直线平行;
?②如果两个角是直角,那么它们相等;
?③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;
?④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
三、解答题
22.
已知A，B，C为△ABC的三边长，且满足，试判断△ABC的形状.
23.
已知的三边长为a,b,c，且，，c=2(m>n>0)，请判断的形状.
24.
如图，在中，AB=7，BC=24，AC=25，于点D，求BD的长.
?
25.
如图，已知CD=6?m，AD=8?m，，BC=24?m，AB=26?m，求四边形ABCD的面积.
?
26.
如图，在中，AB=5?cm，BC=6?cm，BC边上的中线AD=4?cm，试判断的形状.
?
27.
判断，2n+1，(n是正整数)是不是一组勾股数.
28.
已知等腰三角形ABC的底边BC=13,D是腰AB上一点,且CD=12,BD=5,求△ADC的周长.
?
29.
如图所示,已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,试判断△ABC的形状.
?
30.
如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,F为AD上的一点,且AF=AD,试判断△EFC的形状.
?
四、证明题
31.
如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求证:BA⊥AD.
?
32.
已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.
?求证:△ABC是直角三角形.
?
参考答案
1.
【答案】B【解析】A,∵，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B,∵?，∴能构成直角三角形，故本选项正确；C,∵，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D,∵，∴不能构成直角三角形，故本选项错误，故选B.
2.
【答案】B【解析】如图，根据题意画出图形，可知腰AB,高AD和底边BC的一半构成一个直角三角形.当时，该三角形为直角三角形，各选项只有B中的数据满足上面的关系，即，故答案为B.
?
3.
【答案】C【解析】A：三个角的比为1:2:3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=?90°，故正确；B：三条边满足关系，则，故正确；C：三条边的比为2:3:4，，故错误；D：三个角满足关系，则为90°，故正确.
4.
【答案】C【解析】因为，若(a+b)2-c2=2ab,可得a2+b2=c2，
?故该三角形是直角三角形，故选C.
5.
【答案】D【解析】设三角形三边长分别为，因为，所以△ABC为直角三角形，因为BC=AC，所以该三角形为等腰直角三角形，故选D.
6.
【答案】B【解析】连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=5米.
?在△ACD中，因为5?+12?=13?，即，所以△ACD是直角三角形，
?所以草坪的面积等于两个直角三角形的面积和，所以草坪面积=平方米.
7.
【答案】C【解析】由，，两式相加得，两式相减得c=2mn.又∵，∴，，∴，，即，所以该三角形为直角三角形.故选C.
8.
【答案】D【解析】∵AB=10,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2,由勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,∵DE是AC的中垂线,∴ED∥BC,且DE是△ABC?的中位线,D为AB的中点,∴CD=AB=5.
9.
【答案】C【解析】连接AC,观察图形易知AB=,?BC=,?AC=,所以△ACB为等腰三角形,又因为BC2+?AC2=AB2,?△ACB为等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.
10.
【答案】A【解析】因为(a+b)(a-b)=a2-b2=c2,所以b2+c2=a2.所以△ABC为直角三角形,?∠A为直角,故选A.
11.
【答案】6
?【解析】把b=a-1代入c=b-1，得c=a-2.
?因为这个三角形的周长为12，
?所以a+(a-1)+(a-2)=12，得a=5.
?所以这个三角形的三边长分别为3，4，5，
?所以该三角形是一个直角三角形，所以其面积是.
12.
【答案】14
?【解析】因为12?+5?=13?，即AD2+BD2=AB2，可知△ABD为直角三角形，∠ADB=90°.
?在Rt△ACD中，根据勾股定理CD2=AC2-AD2=152-122=81，所以CD=9，所以BC=BD+CD=5+9=14.
13.
【答案】AB,EF,GH
?【解析】可设正方形的边长为1，即可利用勾股定理求出各线段的长，即AB=，EF=，GH=,
?因为，所以以AB,EF,GH为三边的三角形是直角三角形.
14.
【答案】直角
?【解析】由平方值和绝对值的非负性质，可知，从而求出a=24，b=18，c=30.此时，所以是直角三角形.
15.
【答案】6，8，10
?【解析】在所给数据中，寻找满足两个数的平方和等于第三个数的平方的一组数即可.
16.
【答案】135
?【解析】∵由旋转知与全等，∴，，，
?∴在中，?，.又∵，，则，∴是直角三角形，∴，则.
17.
【答案】
?【解析】∵(负值舍去)∴a2+b2=?42+32=25=c2,∴△ABC为直角三角形,设最大边上的高为h,则×3×4=×5×h,解得h=.
18.
【答案】cm或13cm
?【解析】当12为直角边时,∵52+122=132,∴第三条线段的长为13;当12为斜边时,∵52+()2=122,∴第三条线段的长为.∴第三条线段的长是cm或13cm.
19.
【答案】2
?【解析】因为m+3>m+2>m+1,所以m+3为直角边,根据勾股定理得,(m+1)2+(m+2)2=(m+3)2,解得m=2或m=-2(舍去).所以m=2.
20.
【答案】14
?【解析】由AD2+BD2=AB2,可知∠BDA=90°,则AD为△ABC的BC边上的高.∴在Rt△ACD中,?CD2=AC2-AD2=152-122=81,即CD=9,BC=BD+CD=5+9=14.
21.
【答案】①④
?【解析】①的逆命题是:两直线平行,同旁内角互补,成立;②的逆命题是:如果两个角相等,那么这两个角是直角,不成立;③的逆命题是:如果两个数的平方相等,那么这两个数相等,不成立,例如(±5)2=25,?-5和5的平方相等,但-5≠5;④的逆命题是勾股定理,成立.
22.
【答案】因为，
?所以，
?即.
?所以a=5，b=3，c=4.
?因为，即.
?所以△ABC是直角三角形.
?
23.
【答案】∵，即，∴为直角三角形.
?
24.
【答案】依据题意，先由7，24，25证明为直角三角形，再利用等面积法求BD的长.
?∵，即，∴是直角三角形，且.从而易得.
?
25.
【答案】连接AC.∵，∴由勾股定理易得AC=10?m.∵，∴是直角三角形，且AB为斜边，∴，，故.
?
26.
【答案】AD是BC边上的中线，且BC=6?cm，
?∴BD=CD=3?cm.
?在中，∵AB=5?cm，AD=4?cm，BD=3?cm，
?∴，
?∴是直角三角形，且，
?∴在中，，
?∴AC=5?cm=AB，故是等腰三角形.
?
27.
【答案】显然为三角形的最大边.又∵，，∴，即这组数是勾股数.
?
28.
【答案】∵BD2+CD2=52+122=169=BC2,∴△BDC为直角三角形,且∠BDC=90°.设AB=AC=x,则AD=AB-BD=x-5.在Rt△ADC中,由勾股定理,得AD2+CD2=AC2,即(x-5)2+122=x2,解得x=16.9,∴AD=x-5=16.9-5=11.9.∴△ADC的周长为11.9+12+16.9=40.8.
?
29.
【答案】∵a+b=4,ab=1,∴(a+b)2=42=16,即a2+b2+2ab=16,
?∴a2+b2=16-2ab=16-2×1=14,又∵c2=()2=14,∴a2+b2=c2,又∵a,b,c是△ABC的三边,根据勾股定理得△ABC为直角三角形.
?
30.
【答案】∵点E为AB的中点,∴BE=AB=×4=2,
?∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.
?同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.
?∵CE2+EF2=CF2,
?∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.
?
31.
【答案】延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.∵点D是BC的中点,∴BD=CD.在△ADC和△EDB中,CD=BD,∠ADC=∠EDB,AD=ED,∴△ADC≌△EDB,∴EB=AC=13,AE=2AD=2×6=12.又∵AB=5,∴AB2+AE2=52+122=169=132=BE2,∴△ABE是直角三角形,且∠BAE=90°,∴BA⊥AD.
?
32.
【答案】在Rt△ACD和Rt△BCD中,
?∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,
?∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2,
?∴△ABC是直角三角形.
?
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