华东师大版九年级数学上册 23.3.2相似三角形的判定 同步练习（Word版 含解析）

23.3.2相似三角形的判定
同步练习
一．选择题
1．如图，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，，下列结论正确的是（　　）
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCA
2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则图中与阴影三角形相似的三角形是（　　）
A．A
B．B
C．C
D．D
3．如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（　　）
A．∠ACP＝∠B
B．∠APC＝∠ACB
C．AP：AC＝AC：AB
D．AP：AB＝PC：BC
4．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（　　）
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
5．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（　　）
A．△AED∽△ABC
B．△ADB∽△BED
C．△BCD∽△ABC
D．△AED∽△CBD
6．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．AC2＝AD?AB
B．BC2＝BD?AB
C．∠ACD＝∠B
D．∠ADC＝∠ACB
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（　　）
A．△CGE∽△CBP
B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP
D．△PCF∽△BCP
9．如图，∠ACB＝∠BDC＝90°．要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC?CD；③，其中正确的是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
10．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
二．填空题
11．已知＝，要使△ABC∽△A1B1C1，应补充的一个条件是　
　．
12．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠B的平分线交AC于点D，则与△ABC相似的三角形为　
　．
13．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有　
　对相似三角形．
14．两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形　
　相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形　
　相似．（填上“不”、“不一定”或“一定”）
15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝　
　．
三．解答题
16．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
17．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，动点P、Q分别从点B、C同时出发，点P以2cm/s的速度沿BC向点C移动；点Q以1cm/s的速度沿CA向点A移动，经过多少秒，△CPQ和△ABC相似？
参考答案
1．解：∵CM＝CN
∴∠CNM＝∠CMN
∵∠CNA＝∠CMN+∠MCN，∠AMB＝∠CNM+∠MCN
∴∠CNA＝∠AMB
∵AM：AN＝BM：CM
∴AM：AN＝BM：CN
∴△ANC∽△AMB
故选：B．
2．解：黑色三角形两直角边长分别为2和3，
（A）该直角三角形的两直角边长分别为3和4，且≠，故不能与阴影三角形相似．
（B）该直角三角形的两直角边长分别为4和5，且，故不能与阴影三角形相似．
（C）该直角三角形的两直角边长分别为4和6，且＝，故能与阴影三角形相似．
（D）该三角形的三边长分别为和、、，不是直角三角形，故不能与阴影三角形相似．
故选：C．
3．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；
故选：D．
4．解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；
B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；
C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
D、相似：由题意AB＝10，AC＝8，可得BC＝6，∵DE＝15，EF＝9，∴，∵∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF；
故选：C．
5．解：∵△ABC是等边三角形，＝，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠C，
设AD＝x，AC＝3x，
则BC＝3x，CD＝2x，
∵AE＝BE＝x，
∴，，
∴，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
6．解：三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6．
A、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、＝＝，对应边＝＝＝，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
7．解：A、∵AC2＝AD?AB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵BC2＝BD?AB，
∴＝，
添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，且∠APD＝∠B+∠PFB＝∠APC+∠CPD，
∴∠APC＝∠BFP，且∠A＝∠B，
∴△APG∽△BFP，故选项C不合题意，
∵∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD，故选项B不合题意，
∵∠B＝∠CPD，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP，故选项D不合题意，
由条件无法证明△CGE∽△CBP，
故选项A符合题意，
故选：A．
9．解：①若AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD，故①符合题意；
②若BC2＝AC?CD，
∴，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
无法判定△ABC∽△BCD，故②不符合题意；
③若，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD，故③符合题意；
故选：B．
10．解：∵AB∥CD，
∴△AEO∽△CFO，△BEO∽△DFO，△ABO∽△CDO，
故选：C．
11．解：已知＝，要使△ABC∽△A1B1C1，应补充的一个条件是∠B＝∠B1．
故答案为：∠B＝∠B1．
12．解：如图，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠CBD＝∠A，
而∠BCD＝∠ACB，
∴△BCD∽△ABC．
故答案为△BCD．
13．解：∵∠A＝∠A，∠1＝∠2，
∴∠ADE∽△ABC，
∵∠A＝∠A，
∠1＝∠3，
∴△ADE∽△ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴DE∥CB，
∴∠DCB＝∠CDE，
∵∠2＝∠3，
∴△BDC∽△CED，
故答案为4
14．解：由于45°是锐角，可以作等腰三角形的顶角或底角，故不一定相似；
根据三角形的内角和定理：等于95°的角只能是顶角，
即△ABC和△DEF的顶角∠A＝∠D＝95°，
∵AB＝AC，DE＝DF，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝42.5°，∠E＝∠F＝（180°﹣∠D）＝42.5°，
∴∠B＝∠E，
∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF．
故答案是：不一定；一定．
15．解：如图1，若DP∥AB，
∴△CDP∽△CBA，
∴，
∴
∴DP＝1；
如图2，若DP∥AC，
∴△BDP∽△BCA，
∴，
∴
∴PD＝；
如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C，
∴△CDP∽△CAB，
∴，
∴，
∴PD＝，
故答案为：1或或．
16．解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴，，
∴，
在△ABC和△A'B'C'中
∵，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
17．（1）解：∵AE＝4，AC＝9
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5；
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴＝，
∴CD＝＝＝，
（2）证明：∵＝＝，＝＝
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
18．解：设经过t秒，则BP＝2t，CQ＝t，
∴PC＝8﹣2t，
∵∠QCP＝∠ACB，
∴当△CPQ∽△CBA时，
有，
即，
解得t＝2.4．
当△CPQ∽△CAB，
∴，
即，
解得t＝．
综上，经过2.4或秒．