人教版九年级数学下册 27.2 相似三角形的性质及应用学案（Word版 无答案）

相似三角形的性质及应用
要点一：
①相似三角形的周长之比等于相似比
例1：
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12cm，高AD=8cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形材料的边长
变式1：△ABC与△DEF的相似比为1:4，则△ABC与△DEF的周长比为_________
变式2：
已知△ABC的边长分别为4，2，3，△ABC与△DEF的相似，△DEF的周长为15，求△DEF的最大边_________
变式3：如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，∠AED=∠B，AE=EC=4，BC=10，AB=12，求△ADE的周长
②
相似三角形的面积之比等于相似比的平方
例1：如图，矩形FGHN内接于△ABC，F，G在BC上，N，H分别在AB，AC上，且AD⊥BC于点D，交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1:2，求矩形的面积
例2：如图，DE//BC，
=1，
=1
求：SABC
变式1：在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，求△ABC与△DEF的面积比
变式2：
已知△ABC与△DEF的相似比为3:4，且两个三角形的面积之差为28，求△ABC的面积_________
变式3：已知△ABC与△DEF的相似比为2:1，且两个三角形的面积之和为60，求△ABC的面积_________
变式4：如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
变式6：如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BE=EF=FD，则S△AMH：SABCD的值
变式7：如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，
CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，求△AEF与多边形BCDFE的面积之比
变式8：如图，已知DE是△ABC的中位线，点M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，求S△DMN：SANME的值
③三角形对应边上的中线，高线，角平分线之比等于相似比
例1：如图，已知△ADE∽△ACB，AG是角平分线交DE于点F，交BC于点G，AF∶FG＝3∶2，求DE∶BC.
变式1：如果△ABC∽△DEF，且AB＝1
cm，它的对应边DE＝3
cm，那么△ABC与△DEF的对应高的比是___________.
变式:2：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AM平分∠BAC交BC于点M，交DE于点N，则的值为(　　)
变式3：如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是角平分线，AE，A′E′分别是两三角形的高，求证：AD·A′E′＝AE·A′D′.
④
三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形的重心分每条中线成1:2的两条线段
例1：如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，S△DEF=2，求△AEC的面积
变式1：已知在△ABC中，G是△ABC的重心，AG⊥CG，AG=3，CG=4，求BG的长
变式2：如图，点G是等边△ABC的重心，过点G作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E，点M在BC边上．如果以点B、D、M为顶点的三角形与以点C、E、M为顶点的三角形相似（但不全等），那么S△BDM：S△CEM的值
要点二：等积式或比例式的证明
例1、如图，△ABC中，AB=AC,射线BF交高AD于G，交AC于E，作CF//AB交BF于F.求证：.
例2、如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．
求证：．
变式1、如图，D是Rt△ABC斜边AB上的中点，过D作DF⊥AB，交BC于E，交A的延长线于点F，求证：DC2=DE·DF.
变式2、
如图，已知锐角ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：
DE2=EG?EH
变式3：BE是等腰三角形ABC的角平分线，，延长BC到点D，使CD=CE，连结AD与BE的延长线交于点F，求证：
变式4、已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。
求证:
要点三：相似三角形应用
例1：如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（
）
例2：晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏相同高度的路灯之间，并且自己被两边的路灯罩在地上的影子成一直线时，自己右边的影子长3米，左边影子长为1.5米，如图所示，已知自己身高为1.80米，两盏路灯之间相距12米，求路灯的高度。
例3：在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在
坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（
）
A．24m
B．22m
C．20m
D．18m=12m
例题4：
某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条，若
使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数
A．24
B．25
C．26
D．27
变式1：
如图，路灯距地面8m，身高1.6米的小明从距离路灯的底部(点O)20m的点A处，沿OA所在的直线行走14m到点B时，则人影的长度____________(填增加或减少多少)
变式2：如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_________
米
变式3：如图，小明同学用自制三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB.
:变式4：
如图，在RtΔABC内有边长分别为]的三个正方形，则满足的关系式
A.
A.
A.
A.
变式5：
如图，一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下向上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张纸条是第________张
变式6：
要点四：相似三角形综合题
例1：
点A，B分别在反比例函数，的图像上，且OA⊥OB，求的值
例2：、如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0．6，求四边形ABCD的周长。
例题3：如图，已知A，B的坐标分别为（8,0:），（0，），C是AB的中点，过点C作轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为___．
变式1：如图，已知A在反比例函数在第一象限分支上的一点动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线，求的值
变式2：、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．
(1)求证：FB=FC；
(2)求证：FB2=FA·FD；
(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长。
变式3：如图，已知P是⊙O直径AB延长线上的一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E；
(1)求证：PA·PB=PO·PE；
(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长。
变式4：已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)，
,
（1）求过点A、B的直线的函数表达式；
（2）在轴上找一点D,连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．