初中数学沪教版九年级上册第二十四章 相似三角形-第2讲：相似三角形学案-教师版
文档属性
| 名称 | 初中数学沪教版九年级上册第二十四章 相似三角形-第2讲：相似三角形学案-教师版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 341.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-22 07:52:19 | ||
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文档简介
相似三角形
内容分析
相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．
知识结构
1844675805721
模块一：相似三角形的判定
知识精讲
1、相似三角形的定义
A
D
E
B
C
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
如图， DE 是?ABC 的中位线，那么在?ADE 与?ABC 中，
?A ? ?A ， ?ADE ? ?B ， ?AED ? ?C ； AD ? DE ? AE ? 1 ．
AB BC AC 2
由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．
用符号来表示，记作?ADE ∽ ?ABC ，其中点 A 与点 A 、
点 D 与点 B 、点 E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽ ”读作“相似于”．
用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“ ? ”后相应的位置上．
1 / 32
根据相似三角形的定义，可以得出：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．
（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
2、相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
如图，已知直线l 与 ?ABC 的两边 AB 、AC 所在直线分别交于点 D 和点 E ，则
A
E D
E
B
C
A
D
E
B
C
?ABC ．
?ADE ∽
A
D
B C
3、相似三角形判定定理 1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
如图，在?ABC 与?A1B1C1 中，如果?A ? ?A1 、?B ? ?B1 ，那么?ABC ∽ ?A1B1C1 ．
A
B C
A1
B1
C1
常见模型如下：
4、相似三角形判定定理 2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
1
如图，在?ABC 与?A B C 中， ?A ? ?A ， AB ? AC ，那么?ABC ∽ ?A B C ．
1 1 1
A1B1 A1C1
1 1 1
A
B C
A1
B1 C1
5、相似三角形判定定理 3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，在?ABC 与?A B C 中，如果 AB ? BC
? CA
，那么?ABC ∽ ?A B C ．
1 1 1
A1B1 B1C1 C1 A1
1 1 1
A
B
C
A1
B1
C1
6、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
1
如图，在 Rt?ABC 和 Rt?A B C 中，如果?C ? ?C
? 90? ，
AB ?
BC ，那么?ABC ∽
?A1B1C1 ．
1 1 1
A
A1B1 B1C1
A1
B C B1 C1
3 / 32
例题解析
【例 1】如图，已知点 P 是?ABC 中边 AC 上一点，联结 BP，要使?ABP ∽ ?ACB ，那么应添加的一个条件为 ，或 ，或 ．
A
P
C
B
【难度】★
【答案】?C ? ?ABP ， ?ABC ? ?APB ， AB ? AP ．
AC AB
【解析】根据相似三角形的判定定理 1 和判定定理 2，题目中有公共角，只需要加上一个等角或夹这个角的两边对应成比例的条件即可．
【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意对定理内容的把握，判定定理 2 一定是夹等角的两条边对应成比例．
【例 2】下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是 40°的两个等腰三角形相似
B．有一个角是 106°的两个等腰三角形相似
C．面积相等的两个直角三角形相似
D．两边之比为 3 : 5 的两个直角三角形相似
【难度】★
【答案】B
【解析】有一个角是 40°的等腰三角形，不能确定这个角是顶角还是底角，即不能确定三角形形状，A 错误；有一个角是 106°的等腰三角形，可以确定这个角一定是等腰三角形的顶角，则底角大小也必相同，根据相似三角形判定定理 1，B 正确；面积相等的直角三角形，底边长和高长都不能确定，形状不确定，C 错误；两边之比为 3:5，不能确定这两条边是否同为两直角边或者一斜边一直角边，即不能确定直角三角形形状相同，
D 错误．
【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意一定要对题目提供的条件进行分析的基础上再确定是否能用判定定理证明相似．
C
A
B
【例 3】下列 4 ? 4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与 ?ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】根据已知 ?ABC ，得对应两直角边之比 AB ? 2 ，三角形与?ABC 相似，则两条直
BC
角边之比也为 2，只有 C 选项满足．
【总结】相似三角形判定定理 2 可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．
【例 4】如图， ?ABC 中，AE 交 BC 于点 D， ?C ? ?E ， AD : DE ? 3 : 5 ，AE = 8，BD = 4， 则 DC 的长等于（ ）
A． 4
15
【难度】★★
【答案】D
B． 12
5
C． 17
4
D． 15
4
A
B D C
E
【解析】由 AD : DE ? 3 : 5 ，AE = 8，可得 AD ? 3 ， DE ? 5 ， 由?C ? ?E ，结合一对对顶角?BDE ? ?ADC ，可得
?BDE ∽ ?ADC ，由此则有 BD ? DE ，代入即为 4 ? 5 ，
即得: CD ? 15 ，故选 D．
4
AD CD
3 CD
【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，注意题目中相似图形的对应关系，对应成比例的线段和点一定要准确．
【例 5】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似；
1
1
1
图 1
1
1
1
1
乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似．
图 2
4924044-604900对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人多对 B．两人都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对，乙对
【难度】★★
【答案】C
【解析】直角三角形扩张以后得到的三角形三边分别与原三角形平行，得到两三角形三个内角都相等，根据相似三角形判定定理 1，可知相似，甲对；乙向外扩张后，矩形两邻边
分别变为 5 和 7， 3 ? 5 ，两矩形的边不对应成比例，可知两矩形不相似，乙不对，故
5 7
选 C．
【总结】对于三角形来讲，三角形个内角相等则各对应边比例相等，可以得到两三角形相似， 对于其它的多边形来说，角相等不能保证相似，必须再确定两图形的对应边对应成比例才能判定相似，注意相似成立的条件．
A
N
B
C
?
M
AC2 ? CM 2 ? 4 ．
【例 6】如图， ?ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，点 M 为 BC 中点，MN ? AC 于点 N，则MN = ．
【难度】★★
【答案】12 ．
5
【解析】连结 AM ．由 AB = AC = 5， M 为 BC 中点，
可知 AM ? BC ， BM ? CM ? 3 ，由勾股定理可得： AM
由面积法，可得： AM ? MC ? MN ? AC ，即得 MN ? AM ? MC ? 4 ? 3 ? 12 ．
AC 5 5
【总结】考查图形性质的综合应用，本题中也可用“子母三角形”通过相似解题．
【例 7】如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BP // DF，且与 AD 相交于点 P，则图中有 对相似的三角形．
D C
P
F
A
B
E
【难度】★★
【答案】6．
【解析】 AB / /CD ，AD / /BC ，结合 BP // DF，由相似三角形预备定理，知?CDF 、 ?BEF 、 ?ABP 、
?AED 四三角形两两相似，即共有 6 对相似三角形．
【总结】考查相似三角形的预备定理，由平行可证相似，同时考查相似三角形的传递性．
【例 8】如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC， ?ABC ? 90? ，AB = 8，AD = 3，BC = 4， 点 P 为 AB 边上一动点，若?PAD 与?PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ）．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
C
D
A
P
B
【难度】★★
【答案】C
【解析】与是相似三角形，根据相似三角形判定定理 2，首先易得
?A ? ?B ? 90? ，则只需要两三角形夹直角的两边对应成比例
即可，分成两种情况讨论，即 AD ? AP 或 AD ? AP ，可分别
BP BC BC BP
得到 AP ? 2 或 AP ? 6 或 AP ? 24 ，即满足条件的 P 点有 3 个，故选 C．
7
【总结】考查相似三角形判定定理 2 的应用，注意进行分类讨论，要经过准确计算，不能直接分两种情况得出两种结果．
【例 9】如图，在 Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC
的延长线于点 E，则 CE 的长为（ ）
A． 3
2
【难度】★★
【答案】B
B． 7
6
C． 25
6
D．2
BC2 ? AC 2
A
D
B
C
E
【解析】根据勾股定理，可得 AB ? ? 5 ，则有
BD ? 1 AB ? 5 ，由 ?BDE ? ?ACB ? 90? ， ?A 为公共角，
2 2
根据相似三角形判定定理 1，可证 ?ABC ∽ ?EBD ，则有
AB ? BD ，代入线段可求得 BE ? 25 ，则CE ? BE ? BC ? 7 ．
BE BC 6 6
【总结】考查相似三角形判定定理和性质的综合应用，先判定再应用性质．
【例 10】如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE ? BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且?AFE ? ?B ．
3
（1）求证： ?ADF ∽ ?DEC ；
3
（2）若 AB = 8，AD = 6
，AF = 4
，求 AE 的长． A D
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）6 F
B C
【解析】（1）证明 四边形 ABCD 是平行四边形， E
? AB / /CD，AD / / BC ．
??ADF ? ?DEC，?B ? ?C ? 180? ．
141394188119?AFE ? ?AFD ? 180?，?AFE ? ?B ，
??AFD ? ?C ，
? ?ADF ∽ ?DEC ．
（2）解：由（1） ?ADF ∽ ?DEC ，
? AF ? AD ，
CD DE
6 3
即 4 3 ? ，解得： DE ? 12 ．
8 DE
1413941103217AE ? BC ，
? ?EAD ? 90? ，
DE2 ? AD2
根据勾股定理，即得： AE ? ? 6 ．
【总结】考查相似三角形判定定理 1，和相似三角形的相关性质的结合应用，先判定再应用性质，过程中注意对相关图形及性质的应用．
A D
G
F
B
C
E
【例 11】如图，梯形 ABCD 中，AD // BC，AB = DC，对角线 AC、BD 相交于点 F，点 E 是边 BC 延长线上一点，且?CDE ? ?ABD ．
（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；
（2）联结 AE，交 BD 于点 G，求证： DG ? DF ．
GB DB
【难度】★★
【答案】略．
【解析】证明 AD // BC，AB = DC，
??BAD ? ?CDA ．
141394190517AB ? DC，AD ? AD ，
??ABD ? ?DCA ．
??ACD ? ?ABD ．
?CDE ? ?ABD ，
??ACD ? ?CDE ．
? AC / /DE ．
1413929128904AD // BC，
?四边形 ACED 是平行四边形．
（2） AD / /BC ，
? AD ? DF ．
BC FB
? AD ? DF ．
BC ? AD DF ? FB
1413929151510四边形 ACED 是平行四边形，
? AD ? CE ，
? AD ? DF ，即 AD ? DF ．
BC ? CE DF ? FB
AD / / BE ，
? DG ? AD ，
GB BE
? DG ? DF ．
GB DB
BE DB
【总结】考查相似中有平行线的情况，即可直接利用图形中的“A”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化．
【例 12】如图，在?ABC 中，AB = AC，点 D、E 分别是边 AC、AB 的中点，DF ? AC，DF
A
E
D
F
G
B
C
与 CE 相交于点 F，AF 的延长线与 BD 相交于点 G．
275219964115（1）求证： AD2 ? DG BD ；
（2）联结 CG，求证： ?ECB ? ?DCG ．
【难度】★★
【答案】略
【解析】证明：（1）
? AD ? AE ．
AB ? AC，AE ? 1 AB，AD ? 1 AC ，
2410256-1638692 2
1413940130664?BAD ? ?CAE ，
??BAD ? ?CAE ，
??ABD ? ?ACE ．
1413940132568AD ? CD，DF ? AC ，
? AF ? CF ．
??GAC ? ?ACE ．
??ABD ? ?GAD ．
1413940132568?ADB ? ?GDA ，
??ADG ∽ ?BDA ．
3147169144140? AD ? DG ，即证 AD2 ? DG BD ．
BD AD
1478074104744278458478700AD ? CD，AD2 ? DG BD ，?CD2 ? DG ? GB ．即 CD ? GB ．
DG CD
141394095745?GDC ? ?BDC ，
??GDC ∽ ?CDB ．
??DBC ? ?DCG ．
1413939132576AB ? AC ，
同（1）易证?ECB ? ?DBC ，
??ECB ? ?DCG ．
【总结】本题综合性较强，一方面考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，另一方面考查了相似三角形的判定及性质，解题时注意对条件认真分析以及灵活运用．
【例 13】在?ABC 中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点 D 是射线 BC 上的一点（不与端点重合），联结 AD，如果?ACD 与 ?ABC 相似，求 BD 的值．
【难度】★★★
【答案】14 或 50 或 64．
【解析】由 AB = 40，AC = 24，BC = 32，三角形三边满足 AC2 ? BC2 ? AB2 ，即?ABC 为直角三角形，其中?ACB ? 90? ， D 在射线 BC 上，相似三角形对应关系不确定，可知存在以下几种情形：
D 在线段 BC 上，此时 ?ADC ∽ ?BAC ，则有 AC ? DC ，可得 DC ? 18 ，则
BC AC
BD ? BC? DC?32 ?18 ? 14；
D 在线段 BC 延长线上， ?ADC ∽ ?BAC 时，同（1）可得 BD ? BC ? DC ? 50 ；
D 在线段 BC 延长线上， ?DAC ∽ ?BAC 时，则有?DAC ≌ ?BAC ，
BD ? 2BC ? 64 ．
【总结】相似三角形的存在性问题，题目未给明对应关系，一定要注意进行分类讨论，本题中的点在射线上则更需要注意在线段延长线上时的情况．
【例 14】正方形 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，且始终保持
AM ? MN，求当 BM 为多少时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为多少？
A
D
N
B
M
C
【难度】★★★
【答案】 BM ? 1 时四边形 ABCN 有最大面积 5 ．
2 8
【解析】由?B ? 90? ，则有?BAM ? ?AMB ? 90? ，
AM ? MN，则?NMC ? ?AMB ? 90? ， ?NMC ? ?BAM ， 由?B ? ?C ? 90? ，可证?ABM ∽ ?MCN ．
AB BM
则 ? ，设 BM ? x ，则 MC ? 1 ? x ， CN ? x ? x2 ，
MC CN
1 1 1 ?
1 ?2 5
则有 S
? ?CN ? AB?? BC ? ??x2 ? x ? 1?? ?
x ? ? ．
ABCN
2 2 2 ?
2 ? 8
? ?
由此可知当 x ? 1 ，即 BM ? 1 时，四边形 ABCN 有面积最大值 5 ．
2 2 8
【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型，综合二次函数的最值问题．
【例 15】如图，将边长为 6 cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，则?EBG 的周长为 cm．
A
F
D
E
B
G
Q
H C
【难度】★★★
【答案】12．
【解析】设 DF ? x ，根据翻折的性质，则有 EF ? x ，
A F? 6 ? ，在 Rt?AEF 中，用勾股定理，则有
AE2 ? AF 2 ? EF 2 ，即32 ? ?6 ? x?2 ? x2 ，解得 x ? 15 ，
4
则 AF ? 9 ，由?A ? 90? ，则有?AFE ? ?AEF ? 90? ，
4
同时?FEG ? ?D ? 90? ，则?AEF ? ?EBG ? 90? ，
得： ?AFE ? ?BEG ，由?A ? ?B ? 90? ，可证?AEF ∽ ?BGE ．
9 15
则 AE ? AF ? EF ， 即 3
BG BE GE BG
? 4 ? 4
3 GE
，解得 BG ? 4 ， EG ? 5 ，故C?EBG
? 12cm ．
【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型．
【例 16】如图， Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ，AC = 4 cm，BC = 2 cm，D 为 BC 的中点，若动点 E 以 1 cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 A ? B ? A 的方向运动，设点 E 的运动时间为
A
E
C
D
B
t 秒，联结 DE，当 t 为何值时， ?BDE 是直角三角形？
2481192370731【难度】★★★
【答案】t ? 9 5 或t ?
5
5 或t ? 3
或t ? 11 5 ．
5
5
AC2 ? BC2
413342566685【解析】根据勾股定理，可得 AB ? ? 2 5 ，点 E 沿
A ? B? A运动时， ?B 大小固定不变，可能存在?DEB ? 90? 和
?EDB ? 90? 两种情形：
（1）当?DEB ? 90? 时，由?B ? ?B ， ?DEB ? ?C ? 90? ，得?DEB ∽ ?ACB ，则有
2 5
D B? E ， 即 1 ? EB ， 得 EB ? 5 ，此时存在两种情形，即t ? 9 5 或t ? 11 5 ；
A B B 2 5 5 5
（2）当?EDB ? 90? 时，由?B ? ?B ， ?EDB ? ?C ? 90? ，得?EDB ∽ ?ACB ，则有
2 5
5
5
5
E B ? D ，即 EB ? 1 ，得 EB ? ，此时存在两种情形，即t ? 或t ? 3 ．
A B B 2
【总结】本题主要考查动点的分类讨论问题，注意运动过程中的不变量．
【例 17】如图， ?ABC 中，4AB = 5AC，AD 为?ABC 的角平分线，点 E 在 BC 的延长线上，
EF ? AD 于点 F，点 G 在 AF 上，FG = FD，联结 EG 交 AC 于点 H，若点 H 是 AC 的中点，求 AG 的值．
FD
【难度】★★★
G
H
N
F
C
D
K
【答案】 4 ． A
3
【解析】延长 AC 到 M ，使 AM ? AB ，连结 DM ，过点
M 作 MN / / AD 交GE 于点 N ，交 BE 于 K ．
∵AD 为?ABC 的角平分线，
∴点 D 到 AB、AC 的距离相等． B E
则 BD ? S?ABD ? AB ? 5 ． M
CD S?ACD AC 4
1413941112107AB ? AM，?BAD ? ?MAD，AD ? AD ，
??BAD ? ?MAD ，
? DM ? BD ? 5 DC ．
4
MN / / AD ，
? DC ?
AC ? 4 ．
CK CM
? DK ? 5 DC ? DM ，即?MDK 是等腰三角形．
4
1413940113377EF ? AD，FG ? FD ，??DEG 是等腰三角形．
∵ MN / / AD ，??GDE ? ?DKM ．
∵ DK ? DM ，DE ? GE ，??KDM ? ?DEG ．
?GE / /DM ．
?四边形 DMNG 是平行四边形．
? MN ? GD ? 2FD ，又 H 是 AC 中点，
? AG ? 2AG ? 2AH ．
FD MN HM
1 AC
∵ AH
HM
? 2
1 AC ? 1 AC
4 2
? 2 ,
3
∴ AG ? 4 ．
FD 3
【总结】考查角平分线，等腰三角形，全等，相似，平行四边形知识的综合应用，难度大， 主要在于添加正确的辅助线．
模块二：相似三角形的性质
知识精讲
1、相似三角形性质定理 1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
2、相似三角形性质定理 2
相似三角形周长的比等于相似比．
3、相似三角形性质定理 3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
例题解析
【例 18】如果两个相似三角形的面积之比是 9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是 12 cm， 那么大三角形对应边上的中线长是 cm．
【难度】★
【答案】20
【解析】根据相似三角形面积比等于相似比平方，可知两三角形相似比k ? 3 : 5 ，两三角形
对应中线长之比也等于k ? 3 : 5 ，即得大三角形对应边上中线长为12 ? 3 ? 20cm ．
5
【总结】考查相似三角形的面积比和对应中线比与相似比的关系．
【例 19】在?ABC 中，DE // BC，且 D 在 AB 边上，E 在 AC 边上，若 S?ADE : SBCED ? 1: 4 ， 则C?ADE : C?ABC ???， AD : DB ???．
【难度】★
17022601056575
5815827515757【答案】 5 : 5 ， ?
? 1?: 4
5
3729189448480479415544931252699004493125
【解析】 S?ADE : SBCED ? 1: 4 ，得 S?ADE : S? ABC ? 1 : 5，可得相应相似比 k ? 1:
? 5 : 5 ，则
2457223-715C?ADE : C?ABC ? k ?
5 : 5 ， AD : AB ? k ?
5 : 5 ， AD : DB ?
5 : ?5 ?
5 ?? ?
? 1?: 4 ．
【总结】考查相似三角形的面积比和对应边长比和周长比与相似比的关系．
【例 20】如图，梯形 ABCD 中，AD // BC， ?B ? ?ACD ? 90? ，AB = 2，DC = 3，则?ABC
与 ?DCA 的面积比为（ ）
48661321303123
A．2 : 3 B．2 : 5 C．4 : 9 D． 2 :
C
B
D
A
【难度】★
【答案】C
【解析】由 AD // BC，可得?BCA ? ?CAD ，结合
?B ? ?ACD ? 90? ，可证?ABC ∽ ?DCA ，则有
AB 2 S
? 2 ?2 4
k ? ? ， 则 ?ABC ? k 2 ? ? ? ?
，故选 C．
DC 3
S?DCA
? 3 ? 9
【总结】考查相似三角形的面积比与相似比的关系．
【例 21】如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x，那么 x 的值为（ ）
A．只有 1 个 B．可以有 2 个 C．可以有 3 个 D．有无数个
【难度】★
【答案】B
【解析】由 6 ? 8 ，可知这两条边分别为对应边，相似比 k ? 2 ，第一个直角三角形中第三
3 4
62 ? 82
边长有两种情况，即
7
x ? 5 或 x ? ，故选 B．
? 10 或
? 2 ，由此得10 ? 2 或
82 ? 62
7
2 7
x x
? 2 ，解得
【总结】考虑相似三角形的相似比，一定要确立好对应关系．
【例 22】如图，D、E 分别在 ?ABC 的边 AB、AC 上，AD ? AE ? DE ? 2 ，且
?ABC 与?ADE
AB AC BC 3
A
D E
B
C
的周长之差为 15 cm，求?ABC 与 ?ADE 的周长．
【难度】★★
【答案】C?ABC ? 45cm ， C?ADE ? 30cm ．
【解析】 AD ? AE ? DE? 2 ，可知 ?ADE ∽ ?ABC ，其相似比
AB AC BC 3
k ? 2 ，则 C?ADE ? k ? 2 ，又C ? C
? 15 ，可得： C
? 45cm ， C
? 30cm ．
3 C?ABC 3
?ABC
?ADE
?ABC
?ADE
【总结】考查相似三角形的判定和性质的结合应用．
【例 23】如图，在?ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 DE // AC，若
S?BDE
:CDES? ?1:4 ，
A
D
B
E
C
则 S?BDE : S?ACD ???．
【难度】★★
【答案】1: 20 ．
【解析】由 S?BDE : S?CDE ? 1: 4 ，即得 BE : CE ? 1: 4 ，由 DE // AC，
即得： BD ? BE ? 1 ，可得： S?BCD ? BD ? 1 ，则有 S?BDE ? 1 ．
AD CE 4
S?ACD
AD 4
S?ACD 20
【总结】等高三角形面积比等于底边长之比，结合三角形的相似性质即可．
【例 24】如图，在?ABC 中，?C ? 90? ，将?ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB
3
边上的点 D 处，已知 MN // AB，MC = 6，NC ? 2 ，那么四边形 MABN 的面积是 ．
【难度】★★
M
N
B
3
【答案】18 ． C
【解析】连结CD ，即得 MN 垂直平分CD ，由 MN // AB， 即得 M 是 AC 的中点， ?CMN ∽ ?CAB ，
S ? CM ?2 ? 1 ?2 1
则 ?CMN ? ? ?
? ? ? ? ， A D
3
3
S?CAB
? AC ? ? 2 ? 4
由此可得： S
MABN
? 3S
?CMN
? 3? 1 MC ? NC ? 3 ? 6 ? 2 2 2
? 18 ．
【总结】考查翻折与相似性质的结合应用．
【例 25】如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 6，AD = 9， ?BAD 的平分线交 BC 于 E，交
2
DC 的延长线与 F， BG ? AE 于 G， BG ? 4 ，则?EFC 的周长为 ．
【难度】★★
【答案】8．
【解析】由 AD / /BC ，得?DAE ??AEB
A D
G
B
E
C
F
，由 AE
2
平分?BAD ，得?BAE ? ?DAE ? ?AEB ，
可得 AB ? BE ? 6 ，由 BG
?AE
，BG ? 4 ，
BE2 ? BG2
根据勾股定理可得GE ? ? 2 ，
则有 AE ? 2GE ? 4 ， EC ? BC ? BE ? 3 ，由 AB / /CF ，得?EAB ∽ ?EFC ，
由此即得 C?ABE
? BE ? 6 ? 2 ，由C
? AB ? BE ? EC ? 16 ，得C
? 8 ．
C?EFC EC 3
?ABE
?EFC
【总结】考查相似三角形结合平行四边形特殊图形性质，构造“A”“8”字型等相关基本图形的应用，本题中注意运用“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型．
【例 26】如图，在?ABC 中，BE 平分?ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 ED // BC 交 AB 于点
A
D
E
B
C
D．
234728189875（1）求证： AE BC ? BD AC ；
（2）如果 S?ADE ? 3 ， S?BDE ? 2 ，DE = 6，求 BC 的长．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）10．
241025590428【解析】（1）证明：
??DEB ? ?EBC
ED / /BC
DE ? AE
，
BC AC
1413940113377?DBE ? ?EBC
? BD ? AE BC AC
??DEB ? ?DBE
2929576115275即 证 AE BC ? BD AC
?D E? B
（2）解：由 S
? 3 ， S
? 2 ，即得 AD ? S?ADE ? 3 ，则有 AD ? 3 ，由 ED // BC，
?ADE
?BDE
BD S
?BDE 2
AB 5
可得： DE ? AD ? 3 ，代入求得 BC ? 10 ．
BC AB 5
【总结】考查相似三角形面积比与等高三角形面积比的结合应用以及“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型的应用．
【例 27】如图，直角三角形 ABC 中，?ACB ? 90? ，AB = 10，BC = 6，在线段 AB 上取一点D，作 DF ? AB 交 AC 于点 F，现将?ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对应点记为 A1 ，AD 的中点 E 的对应点记为 E1 ，若?E1FA1 ∽ ?E1BF ，则 AD = ．
C
F
A
E D
E1 A1
B
【难度】★★★
【答案】16 ．
5
AB2 ? BC2
【解析】由?ACB ? 90? ，AB = 10，BC = 6，根据勾股定理得
AC ?
? 8 ，由
?C ? ?EDA ? 90? ，?A ? ?A ，
可证 ?ADE ∽ ?ACB ，则有 AF ? AD ? DF ，可设 DE ? 3a ，则 AD ? 4a，AE ? 5a ，
AB AC BC
29474481295776052089130079DE ? 1 AD ? 2a ，则 EF ? 13a ，根据翻折性质，得 A E ? AE ? 2a，E F ? EF ? 13a ，
2 1 1 1
13a
BE ? 10 ? 6a ， ?E FA ∽ ?E BF ，则有 E1F ? E1 A1 ，即 13a ? 2a ，解得 a ? 4 ，
1 1 1 1
E1B E1F
10 ? 6a 5
由此即得 AD ? 4a ? 16 ．
5
【总结】考查翻折的性质与相似结合，可以把对应边之比转化为同一个三角形的边长之比．
【例 28】如图，在 Rt?ABC 中， ?C ? 90? ，AB = 5，BC = 3，点 D、E 分别在 BC、AC 上， 且 BD = CE，设点 C 关于 DE 的对称点为 F，若 DF // AB，则 BD 的长为 ．
【难度】★★★
F
【答案】1． B
【解析】延长 DF 交 AC 于 M ，
由勾股定理，可得 AC ?
AB2 ? BC2 ? 4 ， D
141076670645?DFE ? ?C ? 90?，?DMC ? ?A ， A C
??EFM ∽ ?DCM ∽ ?BCA ． M E
，
? EF ? DC ? BC ? 3 EF ? BC ? 3 ．
EM MC AC 4 EM AB 5
设 BD ? x ，则有CE ? EF ? x ， EM ? 5 x ， DC ? 3 ? x ， MC ? 8 x ，
3 3
即有 3 ? x ? 3 ，解得： x ? 1 ，即 BD ? 1．
8 x 4
3
【总结】相似三角形的性质可将两个相似三角形对应边之比转化为一个三角形中对应边长之比，便于计算．
【例 29】如图，在 Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ，AC = 8，BC = 6， CD ? AB 于点 D．点 P 从点 D 出发，沿线段 CD 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒．
（1）求线段 CD 的长；
（2）设?CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻 t，使得 S?CPQ : S?ABC ? 9 :100 ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
A
Q
D
H
P
C B
（3）当 t 为何值时， ?CPQ 为等腰三角形？
【难度】★★★
【答案】（1） 24 ；（2） S ? ? 2 t2 ? 48 t ， t ? 1.8 或t ? 3 时，
5 5 25
S : S
? 9 :100 ；（3） t ? 12 或t ? 144 或t ? 24 ．
?CPQ
?ABC
5 55 11
AC 2 ? BC 2
【解析】（1）根据勾股定理，可得 AB ? ? 10 ，
由直角三角形面积法，则有CD ? AB ? AC ? BC ，
解得： CD ? 24 ；
5
（2）过点 P 作 PH ? AC 交 AC 于 H ，
141076588612?PHC ? ?ACB ? 90? ， ?CPH ? ?A ，
??PHC ∽ ?ACB ，
? PH ? PC ．
AC AB
依题意可得CQ ? PD ? t ，则CP ? 24 ? t ，
5
代入即为： PH ?
24 ? t
5 ，
8 10
解得： PH ? 4 ? 24 ? t ? ? ? 4 t ? 96 ．
5 ? 5 ?
5 25
? ?
? S ? 1 QC ? PH ? 1 t ? ? 4 t ? 96 ? ? ? 2 t2 ? 48 t ，其中0 ? t ? 24 ；
2 2 ? 5 25 ? 5 25 5
? ?
若存在某一时刻，使得 S?CPQ : S?ABC ? 9 :100 ，
则有 S ? ? 2 t2 ? 48 t ? 9 ? 1 ? 6 ? 8 ，
5 25 100 2
整理得： 5t2 ? 24t ? 27 ? 0 ，
解得： t1
? 9，t
5 2
? 3 ，均符合题意；
（3）分类讨论：
① CQ ? CP ，即t ? 24 ? t ，
5
解得： t ? 12 ；
5
② PQ ? CP ，根据等腰三角形的性质可得QC ? 2CH ? 6 CP ，
5
即得 t ? 6 ，解得： t ? 144 ；
24 ? t 5 55
5
③ CQ ? PQ ，同理②，可得
解得： t ? 24 ．
11
t
24 ? t
5
? 5 ，
6
综上：当?CPQ 为等腰三角形时，t 的值为12 或144 或 24 ．
5 55 11
【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，特别是由动点引起的等腰三角形的问题要注意分类讨论，解题方法比较多样，主要是抓住题目中的条件认真分析．
随堂检测
【习题 1】如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中?ABC
相似的是（ ）
A
B
C
【难度】★
【答案】B
A． B． C． D．
【解析】由已知 ?ABC ，可得一钝角?ABC ? 135? ，夹这个钝角两边之比 AB ?
BC
，三角
2
形与?ABC 相似，则必有一角135? ，且夹这个角两边长之比为 2 ，只有 B 选项满足．
2
【总结】相似三角形判定定理 2 可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．
【习题 2】如图，D 是?ABC 的边 AC 上一点， ?CBD 的平分线交 AC 于点 E，AE = AB，则长度为线段 AD、AC 长度比例中项的线段是 ．
A
D
E
B
C
【难度】★
【答案】 AE 和 AB ．
【解析】AE = AB，得?ABE ? ?AEB ， ?AEB ? ?C ? ?EBC ， 即得?ABD ? ?DBE ? ?C ? ?EBC ， BE 平分?CBD ，
即为?DBE ? ?EBC ，由此可得?ABD ? ?C ，又?A ? ?A ，
即证?ABD ∽ ?ACB ，则有 AD ? AB ，又 AE = AB，即得．
AB AC
【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，先判定相似再应用性质，注意题目中一个条件的多种用途．
【习题 3】如图，在?ABC 中，D、F 是 AB 的三等分点，DE // FG // BC，分别交 AC 于 E、
A
D
E
F
G
B
C
G．记?ADE 、四边形 DFGE、四边形 FBCG 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ， 则 S1 : S2 : S3 ???．
【难度】★★
【答案】1: 3 : 5 ．
?ADE ?AFG ?ABC
【解析】D、F 是 AB 的三等分点，即 AD : AF : AB ? 1: 2 : 3 ， 由 DE // FG // BC，即可得 S : S : S ? 12 : 22 : 32 ，
即 S1 : ?S1 ? S2 ?: ?S1 ? S2 ? S3 ? ? 1: 4 : 9 ，得 S1 :S2 :S3
?1:3:5 ．
【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．
【习题 4】如图，D 是?ABC 的边 BC 上一点，已知 AB = 4，AD = 2，?DAC ? ?B ，若?ABD
A
B
D
C
的面积为 a，则?ACD 的面积为 ．
【难度】★★
【答案】 1 a ．
3
【解析】由?DAC ? ?B ， ?C ? ?C ，可得：
?BAC ∽ ?ADC ，其相似比k ? AB ? 4 ? 2 ，
AD 2
由此可得： S?BAC
S?ADC
? k 2 ? 4 ，则有 S?ABD ? 3 ，即得： S
S?ACD
?ACD
? a ．
3
【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．
【习题 5】如图，矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点 P 从 A 点出发，按 A ? B ? C 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA = x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图像大致是（ ）
A
y
D
x
y
4
B P
C O
3 5 x
y
4
O
3 5 x
y
4
O
3 5 x
y
4
O
3 5 x
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】由运动轨迹可知，动点从 A ? B 的过程中，D 到直线 PA 的距离即为 AD，是一条
与 x 轴平行的直线，D 错误；动点从 B ? C 的过程中， S
?APD
? 1 S
2
矩形ABCD
? 6 ，即得
xy ? 6 ，由此可得 y ? 12 ，D 直线的距离 PA 函数是一段双曲线，可知正确答案是 B．
x
【总结】动点问题，进行准确分段分解，化作一段线段上的运动情况即可．
【习题 6】如图，已知点 D 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的一点，BC = 3BD，CE ? AD，
则 AE ? ．
CE
C
D
E
【难度】★★
【答案】 1 ．
2
【解析】过点 D 作 DM ? AC 交 AC 于点 M ，
M
则有 DM / / AB ，则?CMD 为等腰直角三角形，
由CE ? AC ，可得： ?ADM ∽ ?ACE ． A B
? AE ? AM ? AM ? BD ? 1 ．
CE DM CM CD 2
【总结】考查相似三角形性质的应用，构造平行线即可得到相似．
Q
A
H
N
B C
P M
【习题 7】在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB = 2 m，它的影子 BC = 1.6 m，木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m，MN = 0.8 m，则木竿 PQ 的长度为 m．
【难度】★★
【答案】2.3 ．
【解析】如图有 HN ? PM ? 1.2 ，
PH ? MN ? 0.8 ，同一时刻影子与木杆
AB QH
长度所成比例相同，则有
? ，
BC HN
得： QH ? 1.5 ，则 PQ ? QH ? HP ? 2.3m ．
【总结】影长问题转化为相似，同一时刻下相似比相同．
【习题 8】如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF ? AE，EF 分别交 AC、CD 于点 M、F，BG ? AC，垂足为点 G，BG 交 AE 于点 H．
（1）求证： ?ABE ∽ ?ECF ；
（2）找出与?ABH 相似的三角形，并证明；
（3）若 E 是 BC 的中点，BC = 2AB，AB = 2，求 EM 的长．
【难度】★★
A
【答案】（1）略；（2） ?ECM ；（3） 2 2 ．
G
H
M
D
2410255117318【解析】（1）证明： EF ? AE ， F
??AEB ? ?FEC ? 90? ．
141394090517?ABC ? 90?
??BAE ? ?FEC
??AEB ? ?BAE ? 90?
B E N C
141394197687?ABE ? ?ECF ? 90? ? ?ABE ∽ ?ECF
（2）由（1） ?BAE ? ?FEC ，又?ABG ? ?GBC ? ?GBC ? ?BCG ? 90?
??ABG ? ?ECM ? ?ABH ∽ ?ECM
（3）作 MN ? BC 交 BC 于点 N ，
则有 MN / / AB ，由 BC = 2AB，得CN ? 2MN ，
141076688125BC ? 2AB，BE ? CE
? AB ? BE，?AEB ? ?FEC ? 45?
? EN ? MN ? 1 CN ，得 EN ? 1 EC ? 2 ，则 EM ?
2EN ? 2 2 ．
4315391-1165442 3 3 3
【总结】考查“子母三角形”中相似的应用．
【习题 9】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EF // AC // HG，EH // BD // FG，求四边形 EFGH 的周长．
A
H
D
E
G
B
F
C
【难度】★★★
13
【答案】2 ．
【解析】由 EF // AC // HG，EH // BD // FG，可知四边
形 EFGH 是 平 行 四 边 形 ， 且 EH ? AH ，
BD AD
HG ? DH ，即得： EH ? HG ? 1 ，
AB2 ? BC2
4997152266286AC AD BD AC
由四边形是矩形，根据勾股定理可得 AC ? BD ?
? 13 ，即有 EH ? HG ? 1 ，
13
13
13
由此可得： EH ? HG ? ，故CEFGH ? 2?EH ? HG? ? 2 ．
【总结】考查图形中的“A”字型等基本图形的叠合应用，可进行比例转化得到一些特定的等量关系即可进行计算．
【习题 10】如图，在?ABC 中，AB = AC，AD ? BC 于点 D，BC = 10 cm，AD = 8 cm．点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、AC、
AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t
秒（t > 0）．
（1）当 t = 2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的?PEF 的面积存在最大值，当?PEF 的面积最大时， 求线段 BP 的长；
A
E
F
H
m
B
D
C
（3）是否存在某一时刻 t，使?PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）6；（3） t ? 280 或t ? 40 ．
183 17
【解析】（1）证明：当t ? 2 时， DH ? 2t ? 4 ? AH ．
141394188760AB ? AC，AD ? BC ，
? BD ? CD ．
141393989920EF / /BC ，
?EH ? FH ，?四边形 AEDF 是平行四边形，
∵ AD ? EF ，?四边形 AEDF 是菱形．
147807457415（2） EF / /BC ，
? EF ? AE ? AH ．
BC AB AD
由题意，可得： DH ? 2t ，则有 AH ? 8 ? 2t ， 即得： EF ? 8 ? 2t ．
10 8
? EF ? ? 5 t ? 10 ? 0 ? t ? 10 ? ．
2 ? 3 ?
? ?
? S ? 1 EF ? DH ? 1 ? ? 5 t ? 10? ? 2t ? ? 5 t2 ? 10t ? ? 5 ?t ? 2?2 ? 10 ．
?PEF
2 2 ? 2 ? 2 2
? ?
由此可知t ? 2 时， ?PEF 的面积有最大值，此时 BP ? 3t ? 6 ；
（3）① ?EPF ? 90? ，分别通过 E 、 F 向 BC 作高，
3t ? 5 t
易得两个三角形相似，即有
2t ?
10 ? 3t ? 5 t
4
4 ，解得： t ? 280 ；
2t 183
② ?EFP ? 90? ，过点 F 向 BC 作高，
则有 2t
? 8 ，解得： t ? 40 ；
10 ? 3t 5 17
③ ?PEF ? 90? ，过点 E 向 BC 作高， 则有 2t ? 8 ，此时不存在；
3t 5
综上所述， t ? 280 或t ? 40 时， ?PEF 是直角三角形．
183 17
【总结】本题是一道考查动点问题的综合题，难度较大，第（2）问中求面积最大值时，要运用配方的思想，第（3）问的直角三角形问题要注意分类讨论，求解时通过作高即可转化为“一线三直角”的基本模型进行求解．
课后作业
【作业 1】如图，在?ABC 中，DE // BC， AD ? 1 ，则下列结论正确的是（ ）
A． AE ? 1
DB 2
A
D
E
B C
B． DE ? 1
AC 2 BC 2
C． ?ADE 的周长 ? 1 D． ?ADE 的面积 ? 1
?ABC 的周长 3
【难度】★
【答案】C
?ABC 的面积 3
【解析】 AD ? 1 ，DE // BC，可得两三角形相似，相似比
DB 2
AD 1
1 ? 1 ?2 1
? ?
k ? AC ? 3 ，则其对应边、对应周长之比应为 3 ，对应面积比为? 3 ?
? ，故选 C．
9
【总结】考查相似图形的性质，各个量之比与相似比的关系．
【作业 2】如图，在?ABC 中，点 D 和点 E 分别在边 AB、AC 上，下列条件不能判定?ABC
A
D
E
B
C
∽ ?AED 的是（ ）
A． ?AED ? ?B
C． AD ? AC
AE AB
【难度】★
【答案】D
B． ?ADE ? ?C
D． AD ? AE
AB AC
【解析】根据相似三角形判定定理 1 和判定定理 2，可知 ABC 都正确，故选 D．
【总结】考查相似三角形判定定理的应用，可将相似比转化为一个图形中对应边之比．
D
A
O
B
C
【作业 3】一副三角尺按如图所示的方式叠放，则?AOB 与?DOC 的面积之比为 ．
【难度】★
1
【答案】 ．
3
【解析】由?ABC ? ?BCD ? 90? ，可得 AB / / DC ，则有?AOB ∽ ?COD ，
286011966781由?D ? 30? ，可得 DC ? 3BC ，由 AB ? BC ，
3
可得： k ? AB ? 1 ?
，则有 S?AOB
? k 2 ? 1 ．
BC 3
S?COD 3
【总结】考查特殊的直角三角形中的边角关系的转化．
【作业 4】如图，点 D、E 分别在?ABC 两边 AB、AC 上，且 AD = 31，DB = 29，AE = 30，
EC = 32．若?A ? 50? ，则关系式“1 ?ADE ? ?B ；2 ?AED ? ?C ；3 ?ADE ? ?C ；4
?AED ? ?B ”中正确的有（ ）
A
E
D
B
C
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【难度】★★
【答案】A
【解析】由 AD = 31，DB = 29，可得 AB ? AD ? DB ? 60 ，由 AE = 30，
EC = 32，可得 AC ? AE ? EC ? 62 ，则有 AE ? AD ，又?A ? ?A ，
AB AC
即得 ?ADE ∽ ?ACB ，则有?ADE ? ?C ， ?AED ? ?B ，可知②
③错误，④正确，同时根据“大边对大角”，可知?ADE ? ?AED ，可知①错误，即正确的只有④，故选 A．
【总结】考查相似三角形的判定定理 2 和相关相似性质的结合应用，先判定再应用性质，结合“大边对大角”性质即可解决问题．
【作业 5】在?ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B），过点 P 的一条直线截?ABC ， 使截得的三角形与?ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的相似线．
A
P
B
C
如图， ?A ? 36? ，AB = AC，当点 P 在 AC 的垂直平分线上时，过点 P 的?ABC 的相似线最多有 条．
【难度】★★
【答案】3．
【解析】过点C 可分别作出 BC 、 AC 的一条平行线，即有两条相似线，同时原图是一个黄金三角形，连结也可得到一个黄金三角形， 也相似，即一共可以得到 3 条相似线．
【总结】考查黄金三角形的性质．
【作业 6】如图，四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上，连接 BG、DE，
DE 和 FG 相交于点 O，设 AB = a，CG = b（a > b），下列结论：① ?BCG ≌ ?DCE ；
S ? b2 S
?EFO
?DGO
② BG ? DE ；③ DG ? GO ；④ ?a ? b?2
GC CE
，其中正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
A
D
F
B
C
E
O
G
【难度】★★
【答案】B
【解析】根据正方形的性质，则有
BC ? DC，?BCG ? ?DCE ? 90?，GC ? EC ，可证
?BCG ≌ ?DCE ，①正确；此时则有?GBC ? ?CDE ， 延长与 DE 相交即可证垂直，②正确；由GF / /CE ，
可得： GO ? DG ，③不正确；由 DG / / EF ，可得：
CE DC
S ? DG ?2
?DGO ∽ ?EFO ，根据相似三角形的性质，则有 ?DGO ? ? ?
，由 AB = a，CG = b，
S?EFO
? EF ?
2
S ? b2 S
?EFO
?DGO
S ? a ? b ?2
得 DG ? a ? b ， EF ? b ，则 ?DGO ? ? ? ，即得?a ? b?
，④正确；
S?EFO ? b ?
综上所述，故选 B．
【总结】考查相似三角形与正方形特殊性质的结合应用．
【作业 7】已知，在菱形 ABCD 中，CF ? AB，垂直为 E；CE 与 BD 相交于点 F．
381471282185（1）求证： AB ? CF ；（2）求证： DF DB ? 2BC2 ．
A
E
B
O
F
D
C
BE EF
【难度】★★
【答案】略．
【解析】证明 四边形 ABCD 是菱形，
? AB / /CD，AB ? CD ,
? BE ? EF , 即 AB ? CF ．
CD CF BE EF
（2）连结 AC 交 BD 于O ，
根据菱形的性质，则有 AC ? BD ， BD ? 2DO ， BC ? CD ， 由 AB / /CD ，CF ? AB，则有?FCD ? ?BEF ? 90? ，
即?FCO ? ?OCD ? 90? ．
141394089882?OFC ? ?FCO ? 90? ,
??ODC ? ?FCO ．
??ODC ∽ ?CDF ．
? OD ? CD ．
CD DF
? 1 BD ? DF ? CD2 ．
2
203305887610即得： DF DB ? 2BC2 ．
【总结】考查菱形的性质结合“子母三角形”进行边角转化的问题．
【作业 8】如图，四边形 ABCD 中，AC ? BD 交 BD 与点 E，点 F、M 分别是 AB，BC 的中点，BN 平分?ABE 交 AM 于点 N，AB = AC = BD，连接 MF，NF．
D
C
E
N
M
A
F
B
（1）判断?BMN 的形状，并证明你的结论；
（2）判断?MFN 与?BDC 之间的关系，并说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）等腰直角三角形；（2） ?MFN ∽ ?BDC ．
201147487873【解析】（1） AB ? AC ， M 是 BC 中点，
? AM ? BC ， AM 平分?BAC ．
141076688732AC ? BD ，??EAB ? ?ABE ? 90? ．
又 BN 平分?ABE ，??MNB ? ?NAB ? ?ABN ? 1 ??EAB ? ?ABE ? ? 45? ．
2
即可证?BMN 是等腰直角三角形
?CAM
（2） ? ?ACM ? 90?，?CBE ? ?ACM ? 90? ，
??CAM ? ?CBE ? ?MAB ．
?AMN
? 90? ，F 是 AB 的中点，
? FM ? 1 AB ? AF ? 1 BD ．
2 2
??NMF ? ?MAB ? ?CBE ．
?BMN 是等腰直角三角形，
? MB ? MN ? 1 BC ．
2
? MB ? FM ? 1 ．
BC BD 2
? ?MFN ∽ ?BDC ．
【总结】考查直角三角形斜边中线，等腰三角形的性质，相似三角形的判定综合题，这类题目难度较高，在猜想的基础上进行解题．
5
【作业 9】如图， ?AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标为（2， ）底边 OB 在 x 轴上，将
y
A
O
B
x
?AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度后得?A'O ' B ，点 A 的对应点 A' 在 x 轴上， 求点O ' 的坐标．
【难度】★★★
2228724100224【答案】O' ? 20 4 5 ? ．
? ， ?
? 3 3 ?
20929351223563034148121757【解析】由 A?2，5 ?，可得 yA ? 5 ，
OB ? 2xA ? 4 ，根据勾股定理可得：
OA ? AB ? 3 ，根据翻折性质，则有 A' B ? AB ? 3 ，由面积法则有 yA ? OB ? yO' ? AB ，
4 5
3
即得： y ? ，由勾股定理可得 x
OB ?
? 8 ，由此可得 x ? 20 ，
O' O'
42 ? ? 5 ?
? 4
?2
? 3
?
222872480050即得O' ? 20 4 5 ? ．
3 O' 3
? ， ?
? 3 3 ?
【总结】考查三角形中的面积转化，用面积法和勾股定理结合可求长度，数形结合即可将长度转化为点坐标．
【作业 10】已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为 BC 边的中点，点 P 为 AB 边上一动点， 沿 PE 翻折得到?FPE ，直线 PF 交 CD 边于点 Q，交直线 AD 于点 G．
（1）如图，当 BP = 1.5 时，求 CQ 的长；
（2）如图，当点 G 在射线 AD 上时，设 BP = x，DG = y，求 y 关于 x 的函数关系式， 并写出 x 的取值范围；
（3）延长 EF 交直线 AD 于点 H，若?CQE ∽ ?FHG ，求 BP 的长．
A
D
G
Q
P
B
E
C
F
【难度】★★★
【答案】（1） 8
3
；（2） y ?
16x ?16
4 ? x2
?1 ? x ? 2? ；
3
（3） 2 3 或2
3
【解析】（1）连结QE ，
141394186873BE ? EF ? CE ? 2，QE ? QE，?QFE ? ?C ? 90? ，
??QFE ? ?QCE ． ? ?F E Q ? ?
1? ? F．
??PEQ ? 1 ??BEF ? ?FEC ? ? 90? ．
2
C E Q
2
??BPE ? ?QEC ．
? BP ? BE ，即1.5 ?
??BPE ∽ ?CEQ
2 ，解得： CQ ? 8 ．
CE CQ 2 CQ 3
（2）由（1）可得： ?BPE ∽ ?CEQ ．
由 BP ? x ，可得： CQ ? 4 ，则 DQ ? 4 ? 4 ， AP ? 4 ? x ，
x x
由 AB / /CD ，则有 DQ ? GD ，
AP GA
4 ? 4
即 x ?
y ，整理，得： y ? 16x ?16 ?1 ? x ? 2? ．
4 ? x y ? 4
（3）由题意知， ?C ? 90? ? ?GFH
4 ? x2
① G 在线段 AD 的延长线上时，由?CQE ∽ ?FHG ，可知?G ? ?CQE ，
141394188483?CQE ? ?FQE ，??DQG ? ?FQC ? 2?G ．
14139411217513
?DQG ? ?G ? 90? ，??G ? 30? ? ?BEP ，? BP ? BE ? 2 3 ．
3
② G 在线段 AD 的反向延长线上时，同理可得： ?G ? 30? ? ?BPE ，
185084166393237889466393? BP ? 3BE ? 2 3 ．
【总结】考查翻折与全等结合的问题，本题中出现了“子母三角形”，利用直角三角形的相似综合解决问题．
内容分析
相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．
知识结构
1844675805721
模块一：相似三角形的判定
知识精讲
1、相似三角形的定义
A
D
E
B
C
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
如图， DE 是?ABC 的中位线，那么在?ADE 与?ABC 中，
?A ? ?A ， ?ADE ? ?B ， ?AED ? ?C ； AD ? DE ? AE ? 1 ．
AB BC AC 2
由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．
用符号来表示，记作?ADE ∽ ?ABC ，其中点 A 与点 A 、
点 D 与点 B 、点 E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽ ”读作“相似于”．
用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“ ? ”后相应的位置上．
1 / 32
根据相似三角形的定义，可以得出：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．
（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
2、相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
如图，已知直线l 与 ?ABC 的两边 AB 、AC 所在直线分别交于点 D 和点 E ，则
A
E D
E
B
C
A
D
E
B
C
?ABC ．
?ADE ∽
A
D
B C
3、相似三角形判定定理 1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
如图，在?ABC 与?A1B1C1 中，如果?A ? ?A1 、?B ? ?B1 ，那么?ABC ∽ ?A1B1C1 ．
A
B C
A1
B1
C1
常见模型如下：
4、相似三角形判定定理 2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
1
如图，在?ABC 与?A B C 中， ?A ? ?A ， AB ? AC ，那么?ABC ∽ ?A B C ．
1 1 1
A1B1 A1C1
1 1 1
A
B C
A1
B1 C1
5、相似三角形判定定理 3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，在?ABC 与?A B C 中，如果 AB ? BC
? CA
，那么?ABC ∽ ?A B C ．
1 1 1
A1B1 B1C1 C1 A1
1 1 1
A
B
C
A1
B1
C1
6、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
1
如图，在 Rt?ABC 和 Rt?A B C 中，如果?C ? ?C
? 90? ，
AB ?
BC ，那么?ABC ∽
?A1B1C1 ．
1 1 1
A
A1B1 B1C1
A1
B C B1 C1
3 / 32
例题解析
【例 1】如图，已知点 P 是?ABC 中边 AC 上一点，联结 BP，要使?ABP ∽ ?ACB ，那么应添加的一个条件为 ，或 ，或 ．
A
P
C
B
【难度】★
【答案】?C ? ?ABP ， ?ABC ? ?APB ， AB ? AP ．
AC AB
【解析】根据相似三角形的判定定理 1 和判定定理 2，题目中有公共角，只需要加上一个等角或夹这个角的两边对应成比例的条件即可．
【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意对定理内容的把握，判定定理 2 一定是夹等角的两条边对应成比例．
【例 2】下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是 40°的两个等腰三角形相似
B．有一个角是 106°的两个等腰三角形相似
C．面积相等的两个直角三角形相似
D．两边之比为 3 : 5 的两个直角三角形相似
【难度】★
【答案】B
【解析】有一个角是 40°的等腰三角形，不能确定这个角是顶角还是底角，即不能确定三角形形状，A 错误；有一个角是 106°的等腰三角形，可以确定这个角一定是等腰三角形的顶角，则底角大小也必相同，根据相似三角形判定定理 1，B 正确；面积相等的直角三角形，底边长和高长都不能确定，形状不确定，C 错误；两边之比为 3:5，不能确定这两条边是否同为两直角边或者一斜边一直角边，即不能确定直角三角形形状相同，
D 错误．
【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意一定要对题目提供的条件进行分析的基础上再确定是否能用判定定理证明相似．
C
A
B
【例 3】下列 4 ? 4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与 ?ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】根据已知 ?ABC ，得对应两直角边之比 AB ? 2 ，三角形与?ABC 相似，则两条直
BC
角边之比也为 2，只有 C 选项满足．
【总结】相似三角形判定定理 2 可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．
【例 4】如图， ?ABC 中，AE 交 BC 于点 D， ?C ? ?E ， AD : DE ? 3 : 5 ，AE = 8，BD = 4， 则 DC 的长等于（ ）
A． 4
15
【难度】★★
【答案】D
B． 12
5
C． 17
4
D． 15
4
A
B D C
E
【解析】由 AD : DE ? 3 : 5 ，AE = 8，可得 AD ? 3 ， DE ? 5 ， 由?C ? ?E ，结合一对对顶角?BDE ? ?ADC ，可得
?BDE ∽ ?ADC ，由此则有 BD ? DE ，代入即为 4 ? 5 ，
即得: CD ? 15 ，故选 D．
4
AD CD
3 CD
【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，注意题目中相似图形的对应关系，对应成比例的线段和点一定要准确．
【例 5】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似；
1
1
1
图 1
1
1
1
1
乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似．
图 2
4924044-604900对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人多对 B．两人都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对，乙对
【难度】★★
【答案】C
【解析】直角三角形扩张以后得到的三角形三边分别与原三角形平行，得到两三角形三个内角都相等，根据相似三角形判定定理 1，可知相似，甲对；乙向外扩张后，矩形两邻边
分别变为 5 和 7， 3 ? 5 ，两矩形的边不对应成比例，可知两矩形不相似，乙不对，故
5 7
选 C．
【总结】对于三角形来讲，三角形个内角相等则各对应边比例相等，可以得到两三角形相似， 对于其它的多边形来说，角相等不能保证相似，必须再确定两图形的对应边对应成比例才能判定相似，注意相似成立的条件．
A
N
B
C
?
M
AC2 ? CM 2 ? 4 ．
【例 6】如图， ?ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，点 M 为 BC 中点，MN ? AC 于点 N，则MN = ．
【难度】★★
【答案】12 ．
5
【解析】连结 AM ．由 AB = AC = 5， M 为 BC 中点，
可知 AM ? BC ， BM ? CM ? 3 ，由勾股定理可得： AM
由面积法，可得： AM ? MC ? MN ? AC ，即得 MN ? AM ? MC ? 4 ? 3 ? 12 ．
AC 5 5
【总结】考查图形性质的综合应用，本题中也可用“子母三角形”通过相似解题．
【例 7】如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BP // DF，且与 AD 相交于点 P，则图中有 对相似的三角形．
D C
P
F
A
B
E
【难度】★★
【答案】6．
【解析】 AB / /CD ，AD / /BC ，结合 BP // DF，由相似三角形预备定理，知?CDF 、 ?BEF 、 ?ABP 、
?AED 四三角形两两相似，即共有 6 对相似三角形．
【总结】考查相似三角形的预备定理，由平行可证相似，同时考查相似三角形的传递性．
【例 8】如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC， ?ABC ? 90? ，AB = 8，AD = 3，BC = 4， 点 P 为 AB 边上一动点，若?PAD 与?PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ）．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
C
D
A
P
B
【难度】★★
【答案】C
【解析】与是相似三角形，根据相似三角形判定定理 2，首先易得
?A ? ?B ? 90? ，则只需要两三角形夹直角的两边对应成比例
即可，分成两种情况讨论，即 AD ? AP 或 AD ? AP ，可分别
BP BC BC BP
得到 AP ? 2 或 AP ? 6 或 AP ? 24 ，即满足条件的 P 点有 3 个，故选 C．
7
【总结】考查相似三角形判定定理 2 的应用，注意进行分类讨论，要经过准确计算，不能直接分两种情况得出两种结果．
【例 9】如图，在 Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC
的延长线于点 E，则 CE 的长为（ ）
A． 3
2
【难度】★★
【答案】B
B． 7
6
C． 25
6
D．2
BC2 ? AC 2
A
D
B
C
E
【解析】根据勾股定理，可得 AB ? ? 5 ，则有
BD ? 1 AB ? 5 ，由 ?BDE ? ?ACB ? 90? ， ?A 为公共角，
2 2
根据相似三角形判定定理 1，可证 ?ABC ∽ ?EBD ，则有
AB ? BD ，代入线段可求得 BE ? 25 ，则CE ? BE ? BC ? 7 ．
BE BC 6 6
【总结】考查相似三角形判定定理和性质的综合应用，先判定再应用性质．
【例 10】如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE ? BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且?AFE ? ?B ．
3
（1）求证： ?ADF ∽ ?DEC ；
3
（2）若 AB = 8，AD = 6
，AF = 4
，求 AE 的长． A D
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）6 F
B C
【解析】（1）证明 四边形 ABCD 是平行四边形， E
? AB / /CD，AD / / BC ．
??ADF ? ?DEC，?B ? ?C ? 180? ．
141394188119?AFE ? ?AFD ? 180?，?AFE ? ?B ，
??AFD ? ?C ，
? ?ADF ∽ ?DEC ．
（2）解：由（1） ?ADF ∽ ?DEC ，
? AF ? AD ，
CD DE
6 3
即 4 3 ? ，解得： DE ? 12 ．
8 DE
1413941103217AE ? BC ，
? ?EAD ? 90? ，
DE2 ? AD2
根据勾股定理，即得： AE ? ? 6 ．
【总结】考查相似三角形判定定理 1，和相似三角形的相关性质的结合应用，先判定再应用性质，过程中注意对相关图形及性质的应用．
A D
G
F
B
C
E
【例 11】如图，梯形 ABCD 中，AD // BC，AB = DC，对角线 AC、BD 相交于点 F，点 E 是边 BC 延长线上一点，且?CDE ? ?ABD ．
（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；
（2）联结 AE，交 BD 于点 G，求证： DG ? DF ．
GB DB
【难度】★★
【答案】略．
【解析】证明 AD // BC，AB = DC，
??BAD ? ?CDA ．
141394190517AB ? DC，AD ? AD ，
??ABD ? ?DCA ．
??ACD ? ?ABD ．
?CDE ? ?ABD ，
??ACD ? ?CDE ．
? AC / /DE ．
1413929128904AD // BC，
?四边形 ACED 是平行四边形．
（2） AD / /BC ，
? AD ? DF ．
BC FB
? AD ? DF ．
BC ? AD DF ? FB
1413929151510四边形 ACED 是平行四边形，
? AD ? CE ，
? AD ? DF ，即 AD ? DF ．
BC ? CE DF ? FB
AD / / BE ，
? DG ? AD ，
GB BE
? DG ? DF ．
GB DB
BE DB
【总结】考查相似中有平行线的情况，即可直接利用图形中的“A”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化．
【例 12】如图，在?ABC 中，AB = AC，点 D、E 分别是边 AC、AB 的中点，DF ? AC，DF
A
E
D
F
G
B
C
与 CE 相交于点 F，AF 的延长线与 BD 相交于点 G．
275219964115（1）求证： AD2 ? DG BD ；
（2）联结 CG，求证： ?ECB ? ?DCG ．
【难度】★★
【答案】略
【解析】证明：（1）
? AD ? AE ．
AB ? AC，AE ? 1 AB，AD ? 1 AC ，
2410256-1638692 2
1413940130664?BAD ? ?CAE ，
??BAD ? ?CAE ，
??ABD ? ?ACE ．
1413940132568AD ? CD，DF ? AC ，
? AF ? CF ．
??GAC ? ?ACE ．
??ABD ? ?GAD ．
1413940132568?ADB ? ?GDA ，
??ADG ∽ ?BDA ．
3147169144140? AD ? DG ，即证 AD2 ? DG BD ．
BD AD
1478074104744278458478700AD ? CD，AD2 ? DG BD ，?CD2 ? DG ? GB ．即 CD ? GB ．
DG CD
141394095745?GDC ? ?BDC ，
??GDC ∽ ?CDB ．
??DBC ? ?DCG ．
1413939132576AB ? AC ，
同（1）易证?ECB ? ?DBC ，
??ECB ? ?DCG ．
【总结】本题综合性较强，一方面考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，另一方面考查了相似三角形的判定及性质，解题时注意对条件认真分析以及灵活运用．
【例 13】在?ABC 中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点 D 是射线 BC 上的一点（不与端点重合），联结 AD，如果?ACD 与 ?ABC 相似，求 BD 的值．
【难度】★★★
【答案】14 或 50 或 64．
【解析】由 AB = 40，AC = 24，BC = 32，三角形三边满足 AC2 ? BC2 ? AB2 ，即?ABC 为直角三角形，其中?ACB ? 90? ， D 在射线 BC 上，相似三角形对应关系不确定，可知存在以下几种情形：
D 在线段 BC 上，此时 ?ADC ∽ ?BAC ，则有 AC ? DC ，可得 DC ? 18 ，则
BC AC
BD ? BC? DC?32 ?18 ? 14；
D 在线段 BC 延长线上， ?ADC ∽ ?BAC 时，同（1）可得 BD ? BC ? DC ? 50 ；
D 在线段 BC 延长线上， ?DAC ∽ ?BAC 时，则有?DAC ≌ ?BAC ，
BD ? 2BC ? 64 ．
【总结】相似三角形的存在性问题，题目未给明对应关系，一定要注意进行分类讨论，本题中的点在射线上则更需要注意在线段延长线上时的情况．
【例 14】正方形 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，且始终保持
AM ? MN，求当 BM 为多少时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为多少？
A
D
N
B
M
C
【难度】★★★
【答案】 BM ? 1 时四边形 ABCN 有最大面积 5 ．
2 8
【解析】由?B ? 90? ，则有?BAM ? ?AMB ? 90? ，
AM ? MN，则?NMC ? ?AMB ? 90? ， ?NMC ? ?BAM ， 由?B ? ?C ? 90? ，可证?ABM ∽ ?MCN ．
AB BM
则 ? ，设 BM ? x ，则 MC ? 1 ? x ， CN ? x ? x2 ，
MC CN
1 1 1 ?
1 ?2 5
则有 S
? ?CN ? AB?? BC ? ??x2 ? x ? 1?? ?
x ? ? ．
ABCN
2 2 2 ?
2 ? 8
? ?
由此可知当 x ? 1 ，即 BM ? 1 时，四边形 ABCN 有面积最大值 5 ．
2 2 8
【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型，综合二次函数的最值问题．
【例 15】如图，将边长为 6 cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，则?EBG 的周长为 cm．
A
F
D
E
B
G
Q
H C
【难度】★★★
【答案】12．
【解析】设 DF ? x ，根据翻折的性质，则有 EF ? x ，
A F? 6 ? ，在 Rt?AEF 中，用勾股定理，则有
AE2 ? AF 2 ? EF 2 ，即32 ? ?6 ? x?2 ? x2 ，解得 x ? 15 ，
4
则 AF ? 9 ，由?A ? 90? ，则有?AFE ? ?AEF ? 90? ，
4
同时?FEG ? ?D ? 90? ，则?AEF ? ?EBG ? 90? ，
得： ?AFE ? ?BEG ，由?A ? ?B ? 90? ，可证?AEF ∽ ?BGE ．
9 15
则 AE ? AF ? EF ， 即 3
BG BE GE BG
? 4 ? 4
3 GE
，解得 BG ? 4 ， EG ? 5 ，故C?EBG
? 12cm ．
【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型．
【例 16】如图， Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ，AC = 4 cm，BC = 2 cm，D 为 BC 的中点，若动点 E 以 1 cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 A ? B ? A 的方向运动，设点 E 的运动时间为
A
E
C
D
B
t 秒，联结 DE，当 t 为何值时， ?BDE 是直角三角形？
2481192370731【难度】★★★
【答案】t ? 9 5 或t ?
5
5 或t ? 3
或t ? 11 5 ．
5
5
AC2 ? BC2
413342566685【解析】根据勾股定理，可得 AB ? ? 2 5 ，点 E 沿
A ? B? A运动时， ?B 大小固定不变，可能存在?DEB ? 90? 和
?EDB ? 90? 两种情形：
（1）当?DEB ? 90? 时，由?B ? ?B ， ?DEB ? ?C ? 90? ，得?DEB ∽ ?ACB ，则有
2 5
D B? E ， 即 1 ? EB ， 得 EB ? 5 ，此时存在两种情形，即t ? 9 5 或t ? 11 5 ；
A B B 2 5 5 5
（2）当?EDB ? 90? 时，由?B ? ?B ， ?EDB ? ?C ? 90? ，得?EDB ∽ ?ACB ，则有
2 5
5
5
5
E B ? D ，即 EB ? 1 ，得 EB ? ，此时存在两种情形，即t ? 或t ? 3 ．
A B B 2
【总结】本题主要考查动点的分类讨论问题，注意运动过程中的不变量．
【例 17】如图， ?ABC 中，4AB = 5AC，AD 为?ABC 的角平分线，点 E 在 BC 的延长线上，
EF ? AD 于点 F，点 G 在 AF 上，FG = FD，联结 EG 交 AC 于点 H，若点 H 是 AC 的中点，求 AG 的值．
FD
【难度】★★★
G
H
N
F
C
D
K
【答案】 4 ． A
3
【解析】延长 AC 到 M ，使 AM ? AB ，连结 DM ，过点
M 作 MN / / AD 交GE 于点 N ，交 BE 于 K ．
∵AD 为?ABC 的角平分线，
∴点 D 到 AB、AC 的距离相等． B E
则 BD ? S?ABD ? AB ? 5 ． M
CD S?ACD AC 4
1413941112107AB ? AM，?BAD ? ?MAD，AD ? AD ，
??BAD ? ?MAD ，
? DM ? BD ? 5 DC ．
4
MN / / AD ，
? DC ?
AC ? 4 ．
CK CM
? DK ? 5 DC ? DM ，即?MDK 是等腰三角形．
4
1413940113377EF ? AD，FG ? FD ，??DEG 是等腰三角形．
∵ MN / / AD ，??GDE ? ?DKM ．
∵ DK ? DM ，DE ? GE ，??KDM ? ?DEG ．
?GE / /DM ．
?四边形 DMNG 是平行四边形．
? MN ? GD ? 2FD ，又 H 是 AC 中点，
? AG ? 2AG ? 2AH ．
FD MN HM
1 AC
∵ AH
HM
? 2
1 AC ? 1 AC
4 2
? 2 ,
3
∴ AG ? 4 ．
FD 3
【总结】考查角平分线，等腰三角形，全等，相似，平行四边形知识的综合应用，难度大， 主要在于添加正确的辅助线．
模块二：相似三角形的性质
知识精讲
1、相似三角形性质定理 1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
2、相似三角形性质定理 2
相似三角形周长的比等于相似比．
3、相似三角形性质定理 3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
例题解析
【例 18】如果两个相似三角形的面积之比是 9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是 12 cm， 那么大三角形对应边上的中线长是 cm．
【难度】★
【答案】20
【解析】根据相似三角形面积比等于相似比平方，可知两三角形相似比k ? 3 : 5 ，两三角形
对应中线长之比也等于k ? 3 : 5 ，即得大三角形对应边上中线长为12 ? 3 ? 20cm ．
5
【总结】考查相似三角形的面积比和对应中线比与相似比的关系．
【例 19】在?ABC 中，DE // BC，且 D 在 AB 边上，E 在 AC 边上，若 S?ADE : SBCED ? 1: 4 ， 则C?ADE : C?ABC ???， AD : DB ???．
【难度】★
17022601056575
5815827515757【答案】 5 : 5 ， ?
? 1?: 4
5
3729189448480479415544931252699004493125
【解析】 S?ADE : SBCED ? 1: 4 ，得 S?ADE : S? ABC ? 1 : 5，可得相应相似比 k ? 1:
? 5 : 5 ，则
2457223-715C?ADE : C?ABC ? k ?
5 : 5 ， AD : AB ? k ?
5 : 5 ， AD : DB ?
5 : ?5 ?
5 ?? ?
? 1?: 4 ．
【总结】考查相似三角形的面积比和对应边长比和周长比与相似比的关系．
【例 20】如图，梯形 ABCD 中，AD // BC， ?B ? ?ACD ? 90? ，AB = 2，DC = 3，则?ABC
与 ?DCA 的面积比为（ ）
48661321303123
A．2 : 3 B．2 : 5 C．4 : 9 D． 2 :
C
B
D
A
【难度】★
【答案】C
【解析】由 AD // BC，可得?BCA ? ?CAD ，结合
?B ? ?ACD ? 90? ，可证?ABC ∽ ?DCA ，则有
AB 2 S
? 2 ?2 4
k ? ? ， 则 ?ABC ? k 2 ? ? ? ?
，故选 C．
DC 3
S?DCA
? 3 ? 9
【总结】考查相似三角形的面积比与相似比的关系．
【例 21】如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x，那么 x 的值为（ ）
A．只有 1 个 B．可以有 2 个 C．可以有 3 个 D．有无数个
【难度】★
【答案】B
【解析】由 6 ? 8 ，可知这两条边分别为对应边，相似比 k ? 2 ，第一个直角三角形中第三
3 4
62 ? 82
边长有两种情况，即
7
x ? 5 或 x ? ，故选 B．
? 10 或
? 2 ，由此得10 ? 2 或
82 ? 62
7
2 7
x x
? 2 ，解得
【总结】考虑相似三角形的相似比，一定要确立好对应关系．
【例 22】如图，D、E 分别在 ?ABC 的边 AB、AC 上，AD ? AE ? DE ? 2 ，且
?ABC 与?ADE
AB AC BC 3
A
D E
B
C
的周长之差为 15 cm，求?ABC 与 ?ADE 的周长．
【难度】★★
【答案】C?ABC ? 45cm ， C?ADE ? 30cm ．
【解析】 AD ? AE ? DE? 2 ，可知 ?ADE ∽ ?ABC ，其相似比
AB AC BC 3
k ? 2 ，则 C?ADE ? k ? 2 ，又C ? C
? 15 ，可得： C
? 45cm ， C
? 30cm ．
3 C?ABC 3
?ABC
?ADE
?ABC
?ADE
【总结】考查相似三角形的判定和性质的结合应用．
【例 23】如图，在?ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 DE // AC，若
S?BDE
:CDES? ?1:4 ，
A
D
B
E
C
则 S?BDE : S?ACD ???．
【难度】★★
【答案】1: 20 ．
【解析】由 S?BDE : S?CDE ? 1: 4 ，即得 BE : CE ? 1: 4 ，由 DE // AC，
即得： BD ? BE ? 1 ，可得： S?BCD ? BD ? 1 ，则有 S?BDE ? 1 ．
AD CE 4
S?ACD
AD 4
S?ACD 20
【总结】等高三角形面积比等于底边长之比，结合三角形的相似性质即可．
【例 24】如图，在?ABC 中，?C ? 90? ，将?ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB
3
边上的点 D 处，已知 MN // AB，MC = 6，NC ? 2 ，那么四边形 MABN 的面积是 ．
【难度】★★
M
N
B
3
【答案】18 ． C
【解析】连结CD ，即得 MN 垂直平分CD ，由 MN // AB， 即得 M 是 AC 的中点， ?CMN ∽ ?CAB ，
S ? CM ?2 ? 1 ?2 1
则 ?CMN ? ? ?
? ? ? ? ， A D
3
3
S?CAB
? AC ? ? 2 ? 4
由此可得： S
MABN
? 3S
?CMN
? 3? 1 MC ? NC ? 3 ? 6 ? 2 2 2
? 18 ．
【总结】考查翻折与相似性质的结合应用．
【例 25】如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 6，AD = 9， ?BAD 的平分线交 BC 于 E，交
2
DC 的延长线与 F， BG ? AE 于 G， BG ? 4 ，则?EFC 的周长为 ．
【难度】★★
【答案】8．
【解析】由 AD / /BC ，得?DAE ??AEB
A D
G
B
E
C
F
，由 AE
2
平分?BAD ，得?BAE ? ?DAE ? ?AEB ，
可得 AB ? BE ? 6 ，由 BG
?AE
，BG ? 4 ，
BE2 ? BG2
根据勾股定理可得GE ? ? 2 ，
则有 AE ? 2GE ? 4 ， EC ? BC ? BE ? 3 ，由 AB / /CF ，得?EAB ∽ ?EFC ，
由此即得 C?ABE
? BE ? 6 ? 2 ，由C
? AB ? BE ? EC ? 16 ，得C
? 8 ．
C?EFC EC 3
?ABE
?EFC
【总结】考查相似三角形结合平行四边形特殊图形性质，构造“A”“8”字型等相关基本图形的应用，本题中注意运用“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型．
【例 26】如图，在?ABC 中，BE 平分?ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 ED // BC 交 AB 于点
A
D
E
B
C
D．
234728189875（1）求证： AE BC ? BD AC ；
（2）如果 S?ADE ? 3 ， S?BDE ? 2 ，DE = 6，求 BC 的长．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）10．
241025590428【解析】（1）证明：
??DEB ? ?EBC
ED / /BC
DE ? AE
，
BC AC
1413940113377?DBE ? ?EBC
? BD ? AE BC AC
??DEB ? ?DBE
2929576115275即 证 AE BC ? BD AC
?D E? B
（2）解：由 S
? 3 ， S
? 2 ，即得 AD ? S?ADE ? 3 ，则有 AD ? 3 ，由 ED // BC，
?ADE
?BDE
BD S
?BDE 2
AB 5
可得： DE ? AD ? 3 ，代入求得 BC ? 10 ．
BC AB 5
【总结】考查相似三角形面积比与等高三角形面积比的结合应用以及“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型的应用．
【例 27】如图，直角三角形 ABC 中，?ACB ? 90? ，AB = 10，BC = 6，在线段 AB 上取一点D，作 DF ? AB 交 AC 于点 F，现将?ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对应点记为 A1 ，AD 的中点 E 的对应点记为 E1 ，若?E1FA1 ∽ ?E1BF ，则 AD = ．
C
F
A
E D
E1 A1
B
【难度】★★★
【答案】16 ．
5
AB2 ? BC2
【解析】由?ACB ? 90? ，AB = 10，BC = 6，根据勾股定理得
AC ?
? 8 ，由
?C ? ?EDA ? 90? ，?A ? ?A ，
可证 ?ADE ∽ ?ACB ，则有 AF ? AD ? DF ，可设 DE ? 3a ，则 AD ? 4a，AE ? 5a ，
AB AC BC
29474481295776052089130079DE ? 1 AD ? 2a ，则 EF ? 13a ，根据翻折性质，得 A E ? AE ? 2a，E F ? EF ? 13a ，
2 1 1 1
13a
BE ? 10 ? 6a ， ?E FA ∽ ?E BF ，则有 E1F ? E1 A1 ，即 13a ? 2a ，解得 a ? 4 ，
1 1 1 1
E1B E1F
10 ? 6a 5
由此即得 AD ? 4a ? 16 ．
5
【总结】考查翻折的性质与相似结合，可以把对应边之比转化为同一个三角形的边长之比．
【例 28】如图，在 Rt?ABC 中， ?C ? 90? ，AB = 5，BC = 3，点 D、E 分别在 BC、AC 上， 且 BD = CE，设点 C 关于 DE 的对称点为 F，若 DF // AB，则 BD 的长为 ．
【难度】★★★
F
【答案】1． B
【解析】延长 DF 交 AC 于 M ，
由勾股定理，可得 AC ?
AB2 ? BC2 ? 4 ， D
141076670645?DFE ? ?C ? 90?，?DMC ? ?A ， A C
??EFM ∽ ?DCM ∽ ?BCA ． M E
，
? EF ? DC ? BC ? 3 EF ? BC ? 3 ．
EM MC AC 4 EM AB 5
设 BD ? x ，则有CE ? EF ? x ， EM ? 5 x ， DC ? 3 ? x ， MC ? 8 x ，
3 3
即有 3 ? x ? 3 ，解得： x ? 1 ，即 BD ? 1．
8 x 4
3
【总结】相似三角形的性质可将两个相似三角形对应边之比转化为一个三角形中对应边长之比，便于计算．
【例 29】如图，在 Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ，AC = 8，BC = 6， CD ? AB 于点 D．点 P 从点 D 出发，沿线段 CD 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒．
（1）求线段 CD 的长；
（2）设?CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻 t，使得 S?CPQ : S?ABC ? 9 :100 ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
A
Q
D
H
P
C B
（3）当 t 为何值时， ?CPQ 为等腰三角形？
【难度】★★★
【答案】（1） 24 ；（2） S ? ? 2 t2 ? 48 t ， t ? 1.8 或t ? 3 时，
5 5 25
S : S
? 9 :100 ；（3） t ? 12 或t ? 144 或t ? 24 ．
?CPQ
?ABC
5 55 11
AC 2 ? BC 2
【解析】（1）根据勾股定理，可得 AB ? ? 10 ，
由直角三角形面积法，则有CD ? AB ? AC ? BC ，
解得： CD ? 24 ；
5
（2）过点 P 作 PH ? AC 交 AC 于 H ，
141076588612?PHC ? ?ACB ? 90? ， ?CPH ? ?A ，
??PHC ∽ ?ACB ，
? PH ? PC ．
AC AB
依题意可得CQ ? PD ? t ，则CP ? 24 ? t ，
5
代入即为： PH ?
24 ? t
5 ，
8 10
解得： PH ? 4 ? 24 ? t ? ? ? 4 t ? 96 ．
5 ? 5 ?
5 25
? ?
? S ? 1 QC ? PH ? 1 t ? ? 4 t ? 96 ? ? ? 2 t2 ? 48 t ，其中0 ? t ? 24 ；
2 2 ? 5 25 ? 5 25 5
? ?
若存在某一时刻，使得 S?CPQ : S?ABC ? 9 :100 ，
则有 S ? ? 2 t2 ? 48 t ? 9 ? 1 ? 6 ? 8 ，
5 25 100 2
整理得： 5t2 ? 24t ? 27 ? 0 ，
解得： t1
? 9，t
5 2
? 3 ，均符合题意；
（3）分类讨论：
① CQ ? CP ，即t ? 24 ? t ，
5
解得： t ? 12 ；
5
② PQ ? CP ，根据等腰三角形的性质可得QC ? 2CH ? 6 CP ，
5
即得 t ? 6 ，解得： t ? 144 ；
24 ? t 5 55
5
③ CQ ? PQ ，同理②，可得
解得： t ? 24 ．
11
t
24 ? t
5
? 5 ，
6
综上：当?CPQ 为等腰三角形时，t 的值为12 或144 或 24 ．
5 55 11
【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，特别是由动点引起的等腰三角形的问题要注意分类讨论，解题方法比较多样，主要是抓住题目中的条件认真分析．
随堂检测
【习题 1】如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中?ABC
相似的是（ ）
A
B
C
【难度】★
【答案】B
A． B． C． D．
【解析】由已知 ?ABC ，可得一钝角?ABC ? 135? ，夹这个钝角两边之比 AB ?
BC
，三角
2
形与?ABC 相似，则必有一角135? ，且夹这个角两边长之比为 2 ，只有 B 选项满足．
2
【总结】相似三角形判定定理 2 可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．
【习题 2】如图，D 是?ABC 的边 AC 上一点， ?CBD 的平分线交 AC 于点 E，AE = AB，则长度为线段 AD、AC 长度比例中项的线段是 ．
A
D
E
B
C
【难度】★
【答案】 AE 和 AB ．
【解析】AE = AB，得?ABE ? ?AEB ， ?AEB ? ?C ? ?EBC ， 即得?ABD ? ?DBE ? ?C ? ?EBC ， BE 平分?CBD ，
即为?DBE ? ?EBC ，由此可得?ABD ? ?C ，又?A ? ?A ，
即证?ABD ∽ ?ACB ，则有 AD ? AB ，又 AE = AB，即得．
AB AC
【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，先判定相似再应用性质，注意题目中一个条件的多种用途．
【习题 3】如图，在?ABC 中，D、F 是 AB 的三等分点，DE // FG // BC，分别交 AC 于 E、
A
D
E
F
G
B
C
G．记?ADE 、四边形 DFGE、四边形 FBCG 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ， 则 S1 : S2 : S3 ???．
【难度】★★
【答案】1: 3 : 5 ．
?ADE ?AFG ?ABC
【解析】D、F 是 AB 的三等分点，即 AD : AF : AB ? 1: 2 : 3 ， 由 DE // FG // BC，即可得 S : S : S ? 12 : 22 : 32 ，
即 S1 : ?S1 ? S2 ?: ?S1 ? S2 ? S3 ? ? 1: 4 : 9 ，得 S1 :S2 :S3
?1:3:5 ．
【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．
【习题 4】如图，D 是?ABC 的边 BC 上一点，已知 AB = 4，AD = 2，?DAC ? ?B ，若?ABD
A
B
D
C
的面积为 a，则?ACD 的面积为 ．
【难度】★★
【答案】 1 a ．
3
【解析】由?DAC ? ?B ， ?C ? ?C ，可得：
?BAC ∽ ?ADC ，其相似比k ? AB ? 4 ? 2 ，
AD 2
由此可得： S?BAC
S?ADC
? k 2 ? 4 ，则有 S?ABD ? 3 ，即得： S
S?ACD
?ACD
? a ．
3
【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．
【习题 5】如图，矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点 P 从 A 点出发，按 A ? B ? C 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA = x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图像大致是（ ）
A
y
D
x
y
4
B P
C O
3 5 x
y
4
O
3 5 x
y
4
O
3 5 x
y
4
O
3 5 x
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】由运动轨迹可知，动点从 A ? B 的过程中，D 到直线 PA 的距离即为 AD，是一条
与 x 轴平行的直线，D 错误；动点从 B ? C 的过程中， S
?APD
? 1 S
2
矩形ABCD
? 6 ，即得
xy ? 6 ，由此可得 y ? 12 ，D 直线的距离 PA 函数是一段双曲线，可知正确答案是 B．
x
【总结】动点问题，进行准确分段分解，化作一段线段上的运动情况即可．
【习题 6】如图，已知点 D 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的一点，BC = 3BD，CE ? AD，
则 AE ? ．
CE
C
D
E
【难度】★★
【答案】 1 ．
2
【解析】过点 D 作 DM ? AC 交 AC 于点 M ，
M
则有 DM / / AB ，则?CMD 为等腰直角三角形，
由CE ? AC ，可得： ?ADM ∽ ?ACE ． A B
? AE ? AM ? AM ? BD ? 1 ．
CE DM CM CD 2
【总结】考查相似三角形性质的应用，构造平行线即可得到相似．
Q
A
H
N
B C
P M
【习题 7】在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB = 2 m，它的影子 BC = 1.6 m，木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m，MN = 0.8 m，则木竿 PQ 的长度为 m．
【难度】★★
【答案】2.3 ．
【解析】如图有 HN ? PM ? 1.2 ，
PH ? MN ? 0.8 ，同一时刻影子与木杆
AB QH
长度所成比例相同，则有
? ，
BC HN
得： QH ? 1.5 ，则 PQ ? QH ? HP ? 2.3m ．
【总结】影长问题转化为相似，同一时刻下相似比相同．
【习题 8】如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF ? AE，EF 分别交 AC、CD 于点 M、F，BG ? AC，垂足为点 G，BG 交 AE 于点 H．
（1）求证： ?ABE ∽ ?ECF ；
（2）找出与?ABH 相似的三角形，并证明；
（3）若 E 是 BC 的中点，BC = 2AB，AB = 2，求 EM 的长．
【难度】★★
A
【答案】（1）略；（2） ?ECM ；（3） 2 2 ．
G
H
M
D
2410255117318【解析】（1）证明： EF ? AE ， F
??AEB ? ?FEC ? 90? ．
141394090517?ABC ? 90?
??BAE ? ?FEC
??AEB ? ?BAE ? 90?
B E N C
141394197687?ABE ? ?ECF ? 90? ? ?ABE ∽ ?ECF
（2）由（1） ?BAE ? ?FEC ，又?ABG ? ?GBC ? ?GBC ? ?BCG ? 90?
??ABG ? ?ECM ? ?ABH ∽ ?ECM
（3）作 MN ? BC 交 BC 于点 N ，
则有 MN / / AB ，由 BC = 2AB，得CN ? 2MN ，
141076688125BC ? 2AB，BE ? CE
? AB ? BE，?AEB ? ?FEC ? 45?
? EN ? MN ? 1 CN ，得 EN ? 1 EC ? 2 ，则 EM ?
2EN ? 2 2 ．
4315391-1165442 3 3 3
【总结】考查“子母三角形”中相似的应用．
【习题 9】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EF // AC // HG，EH // BD // FG，求四边形 EFGH 的周长．
A
H
D
E
G
B
F
C
【难度】★★★
13
【答案】2 ．
【解析】由 EF // AC // HG，EH // BD // FG，可知四边
形 EFGH 是 平 行 四 边 形 ， 且 EH ? AH ，
BD AD
HG ? DH ，即得： EH ? HG ? 1 ，
AB2 ? BC2
4997152266286AC AD BD AC
由四边形是矩形，根据勾股定理可得 AC ? BD ?
? 13 ，即有 EH ? HG ? 1 ，
13
13
13
由此可得： EH ? HG ? ，故CEFGH ? 2?EH ? HG? ? 2 ．
【总结】考查图形中的“A”字型等基本图形的叠合应用，可进行比例转化得到一些特定的等量关系即可进行计算．
【习题 10】如图，在?ABC 中，AB = AC，AD ? BC 于点 D，BC = 10 cm，AD = 8 cm．点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、AC、
AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t
秒（t > 0）．
（1）当 t = 2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的?PEF 的面积存在最大值，当?PEF 的面积最大时， 求线段 BP 的长；
A
E
F
H
m
B
D
C
（3）是否存在某一时刻 t，使?PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）6；（3） t ? 280 或t ? 40 ．
183 17
【解析】（1）证明：当t ? 2 时， DH ? 2t ? 4 ? AH ．
141394188760AB ? AC，AD ? BC ，
? BD ? CD ．
141393989920EF / /BC ，
?EH ? FH ，?四边形 AEDF 是平行四边形，
∵ AD ? EF ，?四边形 AEDF 是菱形．
147807457415（2） EF / /BC ，
? EF ? AE ? AH ．
BC AB AD
由题意，可得： DH ? 2t ，则有 AH ? 8 ? 2t ， 即得： EF ? 8 ? 2t ．
10 8
? EF ? ? 5 t ? 10 ? 0 ? t ? 10 ? ．
2 ? 3 ?
? ?
? S ? 1 EF ? DH ? 1 ? ? 5 t ? 10? ? 2t ? ? 5 t2 ? 10t ? ? 5 ?t ? 2?2 ? 10 ．
?PEF
2 2 ? 2 ? 2 2
? ?
由此可知t ? 2 时， ?PEF 的面积有最大值，此时 BP ? 3t ? 6 ；
（3）① ?EPF ? 90? ，分别通过 E 、 F 向 BC 作高，
3t ? 5 t
易得两个三角形相似，即有
2t ?
10 ? 3t ? 5 t
4
4 ，解得： t ? 280 ；
2t 183
② ?EFP ? 90? ，过点 F 向 BC 作高，
则有 2t
? 8 ，解得： t ? 40 ；
10 ? 3t 5 17
③ ?PEF ? 90? ，过点 E 向 BC 作高， 则有 2t ? 8 ，此时不存在；
3t 5
综上所述， t ? 280 或t ? 40 时， ?PEF 是直角三角形．
183 17
【总结】本题是一道考查动点问题的综合题，难度较大，第（2）问中求面积最大值时，要运用配方的思想，第（3）问的直角三角形问题要注意分类讨论，求解时通过作高即可转化为“一线三直角”的基本模型进行求解．
课后作业
【作业 1】如图，在?ABC 中，DE // BC， AD ? 1 ，则下列结论正确的是（ ）
A． AE ? 1
DB 2
A
D
E
B C
B． DE ? 1
AC 2 BC 2
C． ?ADE 的周长 ? 1 D． ?ADE 的面积 ? 1
?ABC 的周长 3
【难度】★
【答案】C
?ABC 的面积 3
【解析】 AD ? 1 ，DE // BC，可得两三角形相似，相似比
DB 2
AD 1
1 ? 1 ?2 1
? ?
k ? AC ? 3 ，则其对应边、对应周长之比应为 3 ，对应面积比为? 3 ?
? ，故选 C．
9
【总结】考查相似图形的性质，各个量之比与相似比的关系．
【作业 2】如图，在?ABC 中，点 D 和点 E 分别在边 AB、AC 上，下列条件不能判定?ABC
A
D
E
B
C
∽ ?AED 的是（ ）
A． ?AED ? ?B
C． AD ? AC
AE AB
【难度】★
【答案】D
B． ?ADE ? ?C
D． AD ? AE
AB AC
【解析】根据相似三角形判定定理 1 和判定定理 2，可知 ABC 都正确，故选 D．
【总结】考查相似三角形判定定理的应用，可将相似比转化为一个图形中对应边之比．
D
A
O
B
C
【作业 3】一副三角尺按如图所示的方式叠放，则?AOB 与?DOC 的面积之比为 ．
【难度】★
1
【答案】 ．
3
【解析】由?ABC ? ?BCD ? 90? ，可得 AB / / DC ，则有?AOB ∽ ?COD ，
286011966781由?D ? 30? ，可得 DC ? 3BC ，由 AB ? BC ，
3
可得： k ? AB ? 1 ?
，则有 S?AOB
? k 2 ? 1 ．
BC 3
S?COD 3
【总结】考查特殊的直角三角形中的边角关系的转化．
【作业 4】如图，点 D、E 分别在?ABC 两边 AB、AC 上，且 AD = 31，DB = 29，AE = 30，
EC = 32．若?A ? 50? ，则关系式“1 ?ADE ? ?B ；2 ?AED ? ?C ；3 ?ADE ? ?C ；4
?AED ? ?B ”中正确的有（ ）
A
E
D
B
C
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【难度】★★
【答案】A
【解析】由 AD = 31，DB = 29，可得 AB ? AD ? DB ? 60 ，由 AE = 30，
EC = 32，可得 AC ? AE ? EC ? 62 ，则有 AE ? AD ，又?A ? ?A ，
AB AC
即得 ?ADE ∽ ?ACB ，则有?ADE ? ?C ， ?AED ? ?B ，可知②
③错误，④正确，同时根据“大边对大角”，可知?ADE ? ?AED ，可知①错误，即正确的只有④，故选 A．
【总结】考查相似三角形的判定定理 2 和相关相似性质的结合应用，先判定再应用性质，结合“大边对大角”性质即可解决问题．
【作业 5】在?ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B），过点 P 的一条直线截?ABC ， 使截得的三角形与?ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的相似线．
A
P
B
C
如图， ?A ? 36? ，AB = AC，当点 P 在 AC 的垂直平分线上时，过点 P 的?ABC 的相似线最多有 条．
【难度】★★
【答案】3．
【解析】过点C 可分别作出 BC 、 AC 的一条平行线，即有两条相似线，同时原图是一个黄金三角形，连结也可得到一个黄金三角形， 也相似，即一共可以得到 3 条相似线．
【总结】考查黄金三角形的性质．
【作业 6】如图，四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上，连接 BG、DE，
DE 和 FG 相交于点 O，设 AB = a，CG = b（a > b），下列结论：① ?BCG ≌ ?DCE ；
S ? b2 S
?EFO
?DGO
② BG ? DE ；③ DG ? GO ；④ ?a ? b?2
GC CE
，其中正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
A
D
F
B
C
E
O
G
【难度】★★
【答案】B
【解析】根据正方形的性质，则有
BC ? DC，?BCG ? ?DCE ? 90?，GC ? EC ，可证
?BCG ≌ ?DCE ，①正确；此时则有?GBC ? ?CDE ， 延长与 DE 相交即可证垂直，②正确；由GF / /CE ，
可得： GO ? DG ，③不正确；由 DG / / EF ，可得：
CE DC
S ? DG ?2
?DGO ∽ ?EFO ，根据相似三角形的性质，则有 ?DGO ? ? ?
，由 AB = a，CG = b，
S?EFO
? EF ?
2
S ? b2 S
?EFO
?DGO
S ? a ? b ?2
得 DG ? a ? b ， EF ? b ，则 ?DGO ? ? ? ，即得?a ? b?
，④正确；
S?EFO ? b ?
综上所述，故选 B．
【总结】考查相似三角形与正方形特殊性质的结合应用．
【作业 7】已知，在菱形 ABCD 中，CF ? AB，垂直为 E；CE 与 BD 相交于点 F．
381471282185（1）求证： AB ? CF ；（2）求证： DF DB ? 2BC2 ．
A
E
B
O
F
D
C
BE EF
【难度】★★
【答案】略．
【解析】证明 四边形 ABCD 是菱形，
? AB / /CD，AB ? CD ,
? BE ? EF , 即 AB ? CF ．
CD CF BE EF
（2）连结 AC 交 BD 于O ，
根据菱形的性质，则有 AC ? BD ， BD ? 2DO ， BC ? CD ， 由 AB / /CD ，CF ? AB，则有?FCD ? ?BEF ? 90? ，
即?FCO ? ?OCD ? 90? ．
141394089882?OFC ? ?FCO ? 90? ,
??ODC ? ?FCO ．
??ODC ∽ ?CDF ．
? OD ? CD ．
CD DF
? 1 BD ? DF ? CD2 ．
2
203305887610即得： DF DB ? 2BC2 ．
【总结】考查菱形的性质结合“子母三角形”进行边角转化的问题．
【作业 8】如图，四边形 ABCD 中，AC ? BD 交 BD 与点 E，点 F、M 分别是 AB，BC 的中点，BN 平分?ABE 交 AM 于点 N，AB = AC = BD，连接 MF，NF．
D
C
E
N
M
A
F
B
（1）判断?BMN 的形状，并证明你的结论；
（2）判断?MFN 与?BDC 之间的关系，并说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）等腰直角三角形；（2） ?MFN ∽ ?BDC ．
201147487873【解析】（1） AB ? AC ， M 是 BC 中点，
? AM ? BC ， AM 平分?BAC ．
141076688732AC ? BD ，??EAB ? ?ABE ? 90? ．
又 BN 平分?ABE ，??MNB ? ?NAB ? ?ABN ? 1 ??EAB ? ?ABE ? ? 45? ．
2
即可证?BMN 是等腰直角三角形
?CAM
（2） ? ?ACM ? 90?，?CBE ? ?ACM ? 90? ，
??CAM ? ?CBE ? ?MAB ．
?AMN
? 90? ，F 是 AB 的中点，
? FM ? 1 AB ? AF ? 1 BD ．
2 2
??NMF ? ?MAB ? ?CBE ．
?BMN 是等腰直角三角形，
? MB ? MN ? 1 BC ．
2
? MB ? FM ? 1 ．
BC BD 2
? ?MFN ∽ ?BDC ．
【总结】考查直角三角形斜边中线，等腰三角形的性质，相似三角形的判定综合题，这类题目难度较高，在猜想的基础上进行解题．
5
【作业 9】如图， ?AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标为（2， ）底边 OB 在 x 轴上，将
y
A
O
B
x
?AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度后得?A'O ' B ，点 A 的对应点 A' 在 x 轴上， 求点O ' 的坐标．
【难度】★★★
2228724100224【答案】O' ? 20 4 5 ? ．
? ， ?
? 3 3 ?
20929351223563034148121757【解析】由 A?2，5 ?，可得 yA ? 5 ，
OB ? 2xA ? 4 ，根据勾股定理可得：
OA ? AB ? 3 ，根据翻折性质，则有 A' B ? AB ? 3 ，由面积法则有 yA ? OB ? yO' ? AB ，
4 5
3
即得： y ? ，由勾股定理可得 x
OB ?
? 8 ，由此可得 x ? 20 ，
O' O'
42 ? ? 5 ?
? 4
?2
? 3
?
222872480050即得O' ? 20 4 5 ? ．
3 O' 3
? ， ?
? 3 3 ?
【总结】考查三角形中的面积转化，用面积法和勾股定理结合可求长度，数形结合即可将长度转化为点坐标．
【作业 10】已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为 BC 边的中点，点 P 为 AB 边上一动点， 沿 PE 翻折得到?FPE ，直线 PF 交 CD 边于点 Q，交直线 AD 于点 G．
（1）如图，当 BP = 1.5 时，求 CQ 的长；
（2）如图，当点 G 在射线 AD 上时，设 BP = x，DG = y，求 y 关于 x 的函数关系式， 并写出 x 的取值范围；
（3）延长 EF 交直线 AD 于点 H，若?CQE ∽ ?FHG ，求 BP 的长．
A
D
G
Q
P
B
E
C
F
【难度】★★★
【答案】（1） 8
3
；（2） y ?
16x ?16
4 ? x2
?1 ? x ? 2? ；
3
（3） 2 3 或2
3
【解析】（1）连结QE ，
141394186873BE ? EF ? CE ? 2，QE ? QE，?QFE ? ?C ? 90? ，
??QFE ? ?QCE ． ? ?F E Q ? ?
1? ? F．
??PEQ ? 1 ??BEF ? ?FEC ? ? 90? ．
2
C E Q
2
??BPE ? ?QEC ．
? BP ? BE ，即1.5 ?
??BPE ∽ ?CEQ
2 ，解得： CQ ? 8 ．
CE CQ 2 CQ 3
（2）由（1）可得： ?BPE ∽ ?CEQ ．
由 BP ? x ，可得： CQ ? 4 ，则 DQ ? 4 ? 4 ， AP ? 4 ? x ，
x x
由 AB / /CD ，则有 DQ ? GD ，
AP GA
4 ? 4
即 x ?
y ，整理，得： y ? 16x ?16 ?1 ? x ? 2? ．
4 ? x y ? 4
（3）由题意知， ?C ? 90? ? ?GFH
4 ? x2
① G 在线段 AD 的延长线上时，由?CQE ∽ ?FHG ，可知?G ? ?CQE ，
141394188483?CQE ? ?FQE ，??DQG ? ?FQC ? 2?G ．
14139411217513
?DQG ? ?G ? 90? ，??G ? 30? ? ?BEP ，? BP ? BE ? 2 3 ．
3
② G 在线段 AD 的反向延长线上时，同理可得： ?G ? 30? ? ?BPE ，
185084166393237889466393? BP ? 3BE ? 2 3 ．
【总结】考查翻折与全等结合的问题，本题中出现了“子母三角形”，利用直角三角形的相似综合解决问题．