初中数学沪教版九年级上册-第3讲：锐角的三角比学案-教师版

锐角的三角比
内容分析
锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．本讲主要讲解锐角的三角比的意义和特殊的锐角的三角比的值，以及各锐角的三角比的关系．重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角比的关系在代数中的灵活运用．
知识结构
1399539737141
模块一：锐角的三角比的意义
知识精讲
1、正切
直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比
B
a
c
C
b
A
叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角 A 的正切记作 tan A．
tan A ? 锐角A的对边 ? BC ? a ．
锐角A的邻边 AC b
2、余切
直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比
叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角 A 的余切记作 cot A．
cot A ? 锐角A的邻边 ? AC ? b ．
锐角A的对边 BC a
3、正弦
直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比
B
a
c
C
b
A
叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角 A 的正弦记作 sin A．
sin A ? 锐角A的对边 ? BC ? a ．
斜边
4、余弦

AB c
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比
叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角 A 的余弦记作 cos A．
cos A ? 锐角A的邻边 ? AC ? b ．
斜边 AB c
例题解析
【例 1】如图，在 Rt?ABC 中，?C ? 90? ，AB = 13，BC = 12，则下列三角比表示正确的是（ ）
A． sin A ? 12
13
B． cos A ? 12
13
C． tan A ? 5
12
D． tan B ? 12
B
A
C
5
【难度】★
【答案】A
【解析】根据勾股定理，可得 AC ?
AB2 ? BC2
? 5 ，根据三角比的定义，
则有sin A ? BC ? 12 ， cos A ? AC ? 5 ， tan A ? BC ? 12 ，
AB 13

AB 13

AC 5
tan B ? AC ?
BC
5 ，可知 A 正确．
12
【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．
【例 2】在?ABC 中， ?B ? 90? ，BC = 2AB，则 cos A 的值为 ．
【难度】★
【答案】 5 ．
5
AB2 ? BC 2
406602066112【解析】根据勾股定理，可得 AC ? ? 5AB ，根据三角比的定义，
则有cos A ? AB ?
AC

AB ? 5 ．
5AB 5
【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．
【例 3】如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1），则tan? 的值是 ．
y
B
（2，1）
A
O
C
x
【难度】★★
【答案】 1 ．
2
【解析】设这个点是 B ?2，1? ，作 BC ? x 轴交 x 轴于点C ，
则有OC ? 2，BC ? 1，故 tan? ? BC ? 1 ．
OC 2
【总结】考查“数形结合”，平面直角坐标系中点坐标转化为长度， 同时可简单认识斜率与 x 轴夹角的关系．
【例 4】如图，Rt?ABC 中，?ACB ? 90? ，AC = 8，BC = 6，CD ? AB ，垂足为 D，则 tan
C
A
D
B
的值是 ．
【难度】★★
【答案】 3
4
【解析】“子母三角形”中，易得?BCD ? ?A ， 则有 tan ?BCD ? tan A ? BC ? 6 ? 3 ．
?BCD
AC 8 4
【总结】考查“子母三角形”，通过等角的转化进行求解．
5
【例 5】?ABC 中，已知?C ? 90? ， tan A ? 1 ， c ? 2
2
，求 a、b 的值．
【难度】★★
【答案】a ? 2 ， b ? 4 ．
【解析】根据锐角三角比的定义，则有 tan A ? a ? 1 ，即得b ? 2a ，根据直角三角形勾股定理，
b 2
则有a2 ? b2 ? c2 ? 20 ，代入解得： a ? 2 ， b ? 2a ? 4 ．
【总结】考查锐角三角比的定义，同时结合勾股定理进行计算．
【例 6】?ABC 中，已知?C ? 90? ， sin A ? 2 ，求cos A 、 tan A 的值．
3
【难度】★★
【答案】cos A ?
5 ， tan A ? 2 5 ．
3 5
【解析】根据锐角三角比的概念， sin A ? BC ? 2 ，设 BC ? 2a ，则 AB ? 3a ，勾股定理得：
AC ?

AB 3
AB2 ? BC2
2599750755025402874170239? 5a ，则cos A ? AC ? 5a ? 5 ， tan A ? BC ? 2a
? 2 5 ．
AB 3a 3

AC 5a 5
【总结】考查锐角三角比的概念，初步建立锐角三角比相互关联的概念．
【例 7】如图， ?ABC 的三个顶点均在格点上，则 cos A 的值为 ．
A
B
D
C
【难度】★★★
【答案】 2 5 ．
5
228482938814332879383881432
【解析】连结 BD ，易得?BDA ? 90? ，
由图可知 AB ?
10 ，BD ? CD ?

2 ，AD ? 2 ，
2 2
10
则有cos A ? AD ? ? 2 5 ．
AB 5
【总结】格点可类似于在平面直角坐标系中，作高进行转化计算即可．
【例 8】在平面直角坐标系中，过点 P（0，2）作直线 l： y ? 1 x ? b （b 为常数，且 b < 2）的
2
垂线，垂足为 Q，则tan ?OPQ ???．
【难度】★★★
【答案】 1 ．
2
【解析】设直线 l 与 x 轴、 y 轴交点分别为 M 、 N ，
y
P
N Q
M O x
则有 M ??2b ，0?，N ?0 ，b? ，由等角的余角相等，可得?OPQ ? ?NMO ．
则有 tan ?OPQ ? tan ?NMO ? ON
OM

? ? 1 ．
b
?2b
2
【总结】考查直线的斜率等于其与 x 轴夹角的正切值．
模块二：特殊锐角的三角比的值
知识精讲
1、特殊锐角的三角比的值
?
tan?
cot?
sin?
cos?
30°
3
3
3
1
2
3
2
45°
1
1
2
2
2
2
60°
3
3
3
3
2
1
2
2、补充（仅作了解，若填空、选择中出现，可直接使用）
?
tan?
cot?
sin?
cos?
15°
2 ? 3
2 ? 3
6 ? 2
4
6 ? 2
4
75°
2 ? 3
2 ? 3
6 ? 2
4
6 ? 2
4
3、通过观察上面的表格，可以总结出：
当0? ? ? ? 90? ，? 的正弦值随着角度的增大而增大，? 的余弦值随着角度的增大而减小；? 的正切值随着角度的增大而增大，? 的余切值随着角度的增大而减小．
例题解析
【例 9】?A 是等腰直角三角形的底角， ?B 是等边三角形的一个内角，则tan A ???，
sin B ???．
【难度】★
【答案】1， 3 ．
2
【解析】根据等腰直角三角形和等边三角形的性质，可得?A ? 45? ， ?B ? 60? ，则有
tan A ? tan 45? ? 1 ， sin B ? sin 60? ? 3 ．
2
【总结】考查特殊三角形中特殊角的锐角三角比的值．
【例 10】已知，在?ABC 中， sin A ?
【难度】★★
【答案】75?

2 ， tan B ? ，则?C ? ．
3
2
【解析】由sin A ?

，可得?A ? 45? ，由ant
2
B ?3
，可得?B ? 60? ，根据三角形内角和为180? ，
可得： ?C ? 180? ? ?A ? ?B ? 75? ．
【总结】考查一些特殊的锐角三角比值的应用，通过值求对应的角．
3
【例 11】在?ABC 中， ?C ? 90? ，已知a ? 2 ，c = 4，求?B ．
【难度】★★
【答案】30? ．
【解析】根据锐角三角比的概念，可得sin A ? a ? 2 3 ?
，即得?A ? 60? ，根据直角三角
c 4 2
形两锐角互余，可得： ?B ? 90? ? ?A ? 30? ．
【总结】考查一些特殊的锐角三角比值的应用，通过值求对应的角．
366746160431【例 12】在?ABC 中，三边之比a : b : c ? 1: 3 : 2 ，则sin A ? tan A ???．
【难度】★★
【答案】 1 ? 3 ．
2 3
24419113166【解析】由a : b : c ? 1: 3 : 2 ，可设a ? k ，则b ?
398371322883k ， c ? 2k ，则有a2 ? b2 ? 4k2 ? c2 ，
即得?C ? 90? ，则有sin A ? a ? 1 ， tan A ? a ? 3 ．
c 2 b 3
【总结】考查锐角三角比的基本概念，部分图形中可以先通过勾股定理的逆定理证明图形是直角三角形再来进行应用．
【例 13】当45? ? ? ? 90? 时， sin? 、cos? 、 tan? 的大小关系是（ ）
A． sin? ? cos? ? tan?
C． tan? ? cos? ? sin?
【难度】★★
【答案】B
B． cos? ? sin? ? tan?
D． tan? ? sin? ? cos?
【解析】0? ? ? ? 90? 时，正弦值随着? 增大而增大，余弦值随着? 增大而减小，正切值随着?
增大而增大， 4 5? ??
? 9 0 时，即可得 si n? ?
si n 4? 5? 2
4863657-2195612

， cos? ? cos 45? ? 2 ，
2
tan? ? tan 45? ? 1，由此可得cos? ? sin? ? tan? ，故选 B．
【总结】考查角度的大小与相应的值的变化关系．
3 2
3
【例 14】在?ABC 中，若 sin A ? ? ? ? tan B?2 ? 0 ，则?ABC 属于哪种三角形？
【难度】★★
【答案】等边三角形．
3 2
【解析】由 sin A ? ? ?
3
4336954-9073?
tan B 2 ? 0 ，可得sin A ? 3 ? 0 ，
2
tan B ? 0 ，由此可得
3
?A ? ?B ? 60? ，即得?ABC 是等边三角形．
【总结】考查特殊锐角三角比结合非负数相加和为 0 的知识，求对应角度大小的知识．
【例 15】求值： cos2 45? ?
【难度】★★
【答案】 5+2 2 ．
4

1 ?
cos 60?
1
sin 30?
? cos2 30? ? sin 45? ．
2
? 2 ?2 1 1 ? 3 ?2
【解析】原式? ? 2 ? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 2
? ? ? ?
2 2
? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2
2 4 2
= 5+2 2 ．
4
【总结】考查一些特殊角的锐角三角比，可直接用来计算，注意运算顺序．
【例 16】?? ? 3?0
? 1 ??1
18
8
? ? 2sin 45? ? ? ?
? ?

? tan 45? ．
sin 60? ? cos 45?
【难度】★★
2
【答案】4 ? 2
3
? 7 ．
2
【解析】原式? 1 ? 3
? 2 ?

2 ? 8 ? 1
2 3 ? 2
2
? 2 ? 7 ? 2?

2 2
3
2979826116306? 2 ?
2
3
? 4 ? 2 ? 7 ．
【总结】考查一些特殊角的锐角三角比以及有理数的有关计算，可直接用来计算，注意运算顺序．
【例 17】已知公式：
sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? ；
cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ? ． 求：sin 75°、cos 75°的值．
【难度】★★★
【答案】sin 75?? 6 ?
4

2 ， cos 75?? 6 ? 2
4
【解析】令? ? 45? ， ? =30? ，根据上述公式，即可得
sin 75? ? sin ?45? ? 30?? ? sin 45?cos 30? ? cos 45?sin 30? ?
2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 6 ? 2 ；
2 2 2 2 4
cos 75? ? cos ?45? ? 30?? ? cos 45?cos 30? ? sin 45?sin 30? ?
2 ? 3 ?
2 ? 1 ?
6 ? 2 ．
2 2 2 2 4
【总结】考查特殊角的锐角三角比的值结合公式的理解应用．
【例 18】如图，在?ABC 中， ?ACB ? 90? ， ?A ? 30? ，BC = 1．过点 C 作CC1 ? AB 于C1 ， 过点C1 作C1C2 ? AB 于C2 ，过点C2 作C2C3 ? AB 于C3 ，?，按这样的规律继续，则 ACn
的长为（ ）
1741937150717? 3 ?n
A． ? ?
? 3 ?n?1
2801167-99505B． ? ?
? 3 ?n
3853203-165325C． n?1
? 3 ?n?1
4927748-165241D． n
? 2 ?

? 2 ? 2 2
【难度】★★★
【答案】D
3
【解析】由图可得 AC ? ，则有 AC1 ?
3 AC ，
B
A
C
2
3
? 3 ?n
AC2 ?
2 AC1 ?由此可得 ACn ? ? 2 ?

AC ，
????n

? ?
2870819183947? 3 ?n?1
3
3
即得 ACn ? ? ? ? ?

n ，故选 D．
? 2 ? 2
【总结】考查特殊角30? 角在直角三角形中的边角关系，通过找规律解决问题．
模块三：锐角的三角比的关系及运用


知识精讲

1、锐角的三角比
一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．
定义
表达式
取值范围
相互关系
正切
tan A ? ?A 的对边
?A 的邻边
tan A ? a
b
tan B ? b
a
tan A ? 0
（ ?A 为锐角）
tan A ? 1 cot A
tan A ? sin A
cos A
cot A ? cos A
sin A
余切
cot A ? ?A 的邻边
?A 的对边
cot A ? b
a
cot B ? a
b
cot A ? 0
（ ?A 为锐角）
正弦
sin A ? ?A 的对边
斜边
sin A ? a
c
sin B ? b
c
0 ? sin A ? 1
（ ?A 为锐角）
sin A ? cos ?90? ? ?A?
cos A ? sin ?90? ? ?A?
sin2 A ? cos2 A ? 1
余弦
cos A ? ?A 的邻边
斜边
cos A ? b
c
cos B ? a
c
0 ? cos A ? 1
（ ?A 为锐角）
例题解析

【例 19】在?ABC 中， ?C ? 90? ，下列四个等式：① sin A ? cos B ；② cos A ? cos B ；
③ 1 tan A
【难度】★
? tan B ；④ tan A ? tan B ．其中一定成立的是
．（填序号）
【答案】①③．
【解析】根据锐角三角比的概念，则有sin A ? a ，cos B ? a ，①一定成立；cos A ? b ，cos B ? a ，
c c c c
②不一定成立； tan A ? a ， tan B ? b ，③一定成立，④不一定成立．
b a
【总结】考查直角三角形中锐角三角比的相互关系．
cos2 ? ? 2 cos? ? 1
【例 20】已知? 是锐角，化简： ．
【难度】★
【答案】1 ? cos? ．
?cos? ?1?2
【解析】? 是锐角，则有0 ? cos? ? 1，原式?
? cos? ?1 ? 1 ? cos? ．
【总结】考查锐角三角比的取值范围．
2
355908013601【例 21】已知sin? ? cos? ? ，求sin? cos? 的值．
【难度】★
【答案】 1 ．
2
2
【解析】根据锐角三角比的定义，可得sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ，由sin? ? cos? ? ，
则有?sin? ? cos? ?2 ? sin2 ? ? cos2 ? ? 2sin? cos? ? 2 ，由此可得sin? cos? ? 1 ．
2
【总结】考查锐角三角比之间的相互转化关系．
【例 22】求值： cos 48? ? cos 40? ? sin 42? ．
sin 50?
【难度】★
【答案】1．
【解析】原式? cos 48? ? cos50? ? cos 48? ?1 ．
cos50?
【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．
【例 23】化简： sin2 1? ? sin2 2? ? ? ? ? ? sin2 88? ? sin2 89? ．
【难度】★★
【答案】 89 ．
2
【解析】根据锐角三角比之间的相互关系， sin2 ? ? cos2 ? ? sin2 ? ? sin2 ?90? ? ? ? ? 1， 原式? ?sin2 1? ? sin2 89??? ?sin2 2? ? sin2 88??? … ? sin2 45?
? 2 ?2 89
? 1 ? 1 ? … ? ? 2 ? ? 2 ．
? ?
【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化，注意进行准确的分组．
tan2 ? sin2 ?
【例 24】化简： tan2 ? ? sin2 ? ．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】根据锐角三角比之间的相互关系，则有sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ， tan? ? sin? ，
cos?
? sin ? ?2
? ?
sin2 ?
原式?

? cos? ? ?
? sin ? ?2
sin4 ?
sin2 ? ? sin2 ? cos2 ?

? sin2 ?
1 ? cos2 ?
? 1 ．
? ?
? cos? ?

sin2 ?
【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．
【例 25】已知： sin? ? cos? ? m ， sin? ? cos? ? n ，则 m，n 之间的关系是（ ）
A．m = n B．m = 2n + 1 C． m2 ? 2 ? n2
【难度】★★
【答案】C
D． m2 ? 1? 2n
?
?sin? ? cos? ? m
【解析】由
?sin? ? cos? ? n
?
? ? ?
sin
?
，可得?
?
?cos? ?
?
m ? n
2
m ? n
2
，由sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ，
? m ? n ?2
即为? ?
? m ? n ?2
? ? ?
? 1 ，整理得： m2 ? n2 ? 2 ，故选 C．
? 2 ? ? 2 ?
【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．
【例 26】已知方程4x2 ? 2?m ?1?x ? m ? 0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，
试求 m 的值．
【难度】★★
3
【答案】m ? ．
【解析】根据一元二次方程的韦达定理，可得方程两根满足 x1 ? x2 ?
2?m ? 1? ?
4
m ? 1
2
，x ? x ? m ，
1 2 4
1 2 1 2 1 2
方程两根恰是直角三角形两锐角的余弦，则 x2 ? x2 ? ?x ? x ?2 ? 2x x
? 1，
? m ? 1 ?2
即? ?

? 2 ? m ? 1，整理得m2 ? 3 ，所以m ? ．
? 3
3
? 2 ? 4
3
3
当 m ? 时，原方程为： 4x2 ? 2(

?1)x ? ? 0 ，解得： x ? 3 ，x
? 1 ，满足题意；
? 3
当 m ? 时，原方程为： 4x2 ? 2(

1 2 2 2
3
3
?1)x ? ? 0 ，解得： x ? ? 3 ，x ? 1 ，不满足
1 2 2 2
266592652545题意，所以 m 的值为 3 ．
【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用，本题也可直接通过因式分解法解方程得出答案．
【例 27】若? 为锐角，且2cos2 ? ? 7sin? ? 5 ? 0 ，求? 的度数．
【难度】★★
【答案】? ? 30? ．
2
【解析】根据锐角三角比的相互关系，则有sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ，故cos2 ? ? 1? sin2 ? ，原方程即为2?1 ? sin2 ? ?? 7 sin ? ? 5 ? 0 ，整理得2sin2 ? ? 7sin? ? 3 ? 0 ，解得sin? ? 1 或sin? ? 3 ，
? 为锐角，则0 ? sin? ? 1 ，可得sin? ? 1 ， ? ? 30? ．
2
【总结】考查一元二次方程与锐角三角比知识的结合应用，把相关量当作整体未知量即可．
【例 28】 Rt?ABC 中， ?C ? 90? ，BC = a，AC = b，AB = c．利用锐角三角比的定义证明：
364323690452（1） sin2 A ? cos2 A ? 1 ； （2） tan A tan B ? 1 ；
（3） sin A ? tan A ； （4） sin A ? cos A ? 1 ．
cos A
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】根据锐角三角比的定义，则有sin A ? BC ? a ， cos A ? AC ? b ， sin B ? AC ? b ，
AB c

AB c

AB c
tan A ? BC ? a ， tan B ? AC ? b ，直角三角形满足勾股定理，即有a2 ? b2 ? c2
AC b

BC a
? a ?2
? b ?2
a2 ? b2
由此可证得：（1） sin2 A ? cos2 A ? ? ?
? ? ?

? ? 1 ；
（2） tan A tan B ? a ? b ? 1 ；
b a

? c ? ? c ? c2
a
sin A ? c ? a ? tan A ；

cos A b b c
sin A ? cos A ? a ? b ? a ? b ? 1 ．
c c c
【总结】考查利用锐角三角比的定义证明锐角三角比之间的相互关系和转化．
【例 29】如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边上的高为 h，求证： 1 ? 1
a2 b2
? 1 ．
h2
【难度】★★★
【答案】略．
1
【解析】证明：设直角三角形斜边为c ，根据勾股定理则有 a2 ? b2 ? c2 ，由面积法，即可得ab ? ch ，
平方得： a2b2 ? c2 h2 ? ?a2 ? b2 ?h2 ，求倒得
1
a2b2
? ?a2 ? b2 ?h2
，两边同乘?a2 ? b2 ? ，
整理即得： 1 ? 1
a2 b2
? 1 ．
h2
【总结】考查“子母三角形”中相关量之间的关系和转化．
1106424-871606【例 30】已知? 为锐角，且2sin? cos? ? 1 ?sin? ? cos? ? ? 1 ，求以 tan? 、cot? 为两个根的
3
一元二次方程．
【难度】★★★
【答案】 x2 ? 2x ?1 ? 0 或4x2 ? 9x ? 4 ? 0 ．
【解析】2sin? cos? ? ?sin2 ? ? cos2 ? ?? ?sin? ? cos? ?2 ? 1 ? ?sin? ? cos? ?2 ，
又2sin? cos? ? 1 ?sin? ? cos? ? ? 1 ，则1 ? ?sin? ? cos? ?2 ? 1 ?sin? ? cos? ? ? 1，
3 3
整理，得：?sin? ? cos? ???sin? ? cos? ? ? 1? ? 0 ，得：sin? ? cos? ? 0 或sin? ? cos? ? 1 ，
??
由此进行以下分类讨论：

3?? 3
sin? ? cos? ? 0 ，此时可得sin? ? cos? ，则有 tan? ? cot? ? 1，根据一元二次方程的韦达定理， tan? ? cot? ? 2 ， tan? ? cot? ? 1 ，则以 tan? 、 cot? 为两根的一元二次方程是x2 ? 2x ?1 ? 0 ；
sin? ? cos? ? 1 ，由已知等式可得2sin? cos? ? 8 ，则
3 9
?sin? ? cos? ?2 ? sin2 ? ? cos2 ? ? 2sin? cos? ? 1 ? 8 ? 17 ， ? 为锐角，则有
9 9
?
17
?s i ?n ?
1 7?
6
s i ?n
1 7? 1
? ?9
8
6
sin ? ? cos? ? 0 ?
3
，得 ?
?
?c o?s ?
?
1 7?
3651883-1599406

，则 t a ?n ? ? ，
c o?s 1 7? 1
6
17 ?1
cot? ? cos? ? 6 ? 9 ? 17 ，根据一元二次方程的韦达定理， tan? ? co?t ? 9 ，
sin? 17 ? 1 8 4
6
tan? ? cot? ? 1 ，则以tan? 、cot? 为两根的一元二次方程是4x2 ? 9x ? 4 ? 0 ．
【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用．
随堂检测
【习题 1】?ABC 中，?C ? 90? ，a、b、c 分别是?A 、?B 、?C 的对边，已知 b = 5，c = 13， 则 sin A = ，cos A = ，tan A = ．
【难度】★
【答案】12 ， 5 ， 12
c2 ? b2
13 13 5
【解析】根据勾股定理，可得 a ?
? 12 ，根据三角比的定义，则有 sin A ? a ? 12 ，
cos A ? b ? 5 ， tan A ? a ? 12 ．

c 13
c 13 b 5
【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．
A
D
B
C
【习题 2】如图，点 A 为?? 边上的任意一点，作 AC ? BC 于点 C，CD ? AB 于点 D，下列用线段比表示cos? 的值，错误的是（ ）
BD BC
A． B．
BC AB
C． AD
AC
【难度】★
【答案】C
D． CD
AC
【解析】?B ? ?BAC ? ?ACD ? ?BAC ? 90? ，可得?B ? ?ACD ? ? ，则cos
可知 C 错误．

?cos? ?ACD ? CD ，
AC
【总结】本题考查“子母三角形”，进行等角转化，把握相应的锐角三角比定义即可．
B
C
A
【习题 3】如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、C 都在格点上，则?ABC 的正切值是 ．
【难度】★
【答案】 1 ．
2
3467555665202
【解析】连结 AC ，在格点中可得 AC ? 2 ， AB ? 2 ，
10
2
2 2
BC ? ，根据勾股定理逆定理，则有?BAC ? 90? ， tan ?BAC ? AC ? ? 1 ．
【总结】考查格点三角形，主要要找准直角．

AB 2
1106424-8733862456997146970【习题 4】若?2sin ? ?
2 ?2 ? 1 ? 2cos ?
? 0 ，求? 、 ? 的值（ ? 、 ? 都是锐角）．
【难度】★★
【答案】? ? 45? ， ? ? 60?
? 2
2
sin ? ?
2361112105695【解析】由?2sin ? ?
2 ?2 ? 1 ? 2 cos ?

? 0 ，可得??2sin? ? ? 0 ，得?
2 ， ? 、 ? 都
是锐角，由此可得? ? 45? ， ? ? 60? ．
?
??1 ? 2 cos ? ? 0
?
?
?cos ? ? 1
? 2
【总结】考查非负数相加和为 0，则每个式子都为 0，结合特殊角的锐角三角比求角的大小．
tan 45?
cot 30? sin 60?
?
?cos 45? ?1?2
【习题 5】
? sin 45? ? cot 60? tan 30? ．
【难度】★★
【答案】0．
【解析】原式?
1 ? ?1? cos 45???
2 ? 3 ? 3
2084488818233 ? 3
2

2 3 3
? 2 ? 1 ?

2 ? 2 ? 1
3 2 2 3
? 0 ．
【总结】考查一些特殊角的锐角三角比，可直接用来计算，注意运算顺序．
248989158277【习题 6】化简： tan1? tan 2? tan 88? tan 89? ．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】根据锐角三角比之间的相互关系， tan? ? cot ? ? tan? ? tan ?90? ? ? ? ? 1， 原式? ?tan1? ? tan 89??? ?tan 2? ? tan 88???… ? tan 45?
? 1?1?…?1 ? 1
【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化，注意进行准确的分组．
【习题 7】求值：
【难度】★★
tan2 60? ? 2 cos 45? ?
sin2 27? ? sin2 63?
tan 45? ? cot2 30
．
cos2 27? ? cos2 63?
【答案】
?1 ．
2
?
2
3 ?2 ? 2 ? 2
【解析】原式???2 ?
1 ? ? 3 ?
? ?3 ?

1 1
23112631407322 ?? 4
2
? ?1．
【总结】考查一些特殊角的锐角三角比，可直接用来计算，注意运算顺序，同时注意好锐角三角比之间的一些相互关系的应用．
5
【习题 8】等腰三角形底边长为 8 cm，面积为8
cm2，求底角的正切值．
【难度】★★
【答案】 5 ．
2
4269861132878【解析】作底边上的高，可得高长h ? 2S ? 2 ? 8 5 ? 2 5cm ，根据等腰三角形的性质，底边上
a
的高平分底边，即可得底角正切值为 h
1 a
8
? 2 5 ? 5 ．
1 ? 8 2
2 2
【总结】考查利用等腰三角形的性质求解等腰三角形中相关锐角三角比，通过作高将角放到直角三角形中．
1106424-871534【习题 9】在 Rt?ABC 中， ?C ? 90? ， S
?ABC
? m ，且两直角边长满足条件 3a + 2b = m．当 m
2
取最小值时，求?ABC 中最小内角的正切值．
【难度】★★★
【答案】 2 ．
3
【解析】 S
? m ，即得ab ? m ，由 3a + 2b = m 得b ? m ? 3a ，则有a ? m ? 3a ? m ，即关于

?ABC 2 2 2
实数 a 的方程3a2 ? ma ? 2m ? 0 有实数根，则有 ? ? m2 ? 24m ? 0 ，由m ? 0 可得m ? 24 ， 即 mmin ? 24 ，此时方程解为 a ? 4 ，代入得b ? 6 ，由此可得 ?ABC 最小内角正切值即为
a ? 4 ? 2 ．
b 6 3
【总结】通过转化把问题变作一元二次方程根的问题，关键在于对 m 取最小值这一关键条件的把握．
【习题 10】已知 a、b、c 分别是?ABC 中?A 、?B 、?C 的对边，关于 x 的一元二次方程
a ?1 ? x2 ?? 2bx ? c ?1 ? x2 ?? 0 有两个相等的实数根，且 3c = a + 3b．
（1）判断?ABC 的形状；
（2）求 sin A、sin B．
【难度】★★★
【答案】（1）直角三角形；（2） sin A ? 3 ， sin B ? 4 ．
5 5
【解析】（1）将一元二次方程整理成一般形式，即为?c ? a? x2 ? 2bx ? ?c ? a? ? 0 ，方程有两个
相等的实数根，则有? ? ?2b?2 ? 4?c ? a??c ? a? ? 0 ，由此得c2 ? a2 ? b2 ，即?ABC 为直角三角形；
（2）由已知 3c = a + 3b，可得c ? b ? 1 a ，根据勾股定理， c2 ? b2 ? ?c ? b??c ? b? ? a2 ，由此
3
可得c ? b ? 3a ，由此则有c ? 5 a ， b ? 4 a ，由此可得sin A ? a ? 3 ， sin B ? b ? 4 ．
3 3 c 5 c 5
【总结】考查一元二次方程知识与锐角三角比知识的结合应用，根据题目条件得出等量关系解决问题．
课后作业
【作业 1】 Rt?ABC 中，已知?A ? 90? ，AB = 2，AC = 4，则 tan B = ，cos C = ， sin B = ．
【难度】★
2 5
5
【答案】2， 2 5 ， ．
5
AB2 ? AC2
5
【解析】根据勾股定理，可得 BC ? ? 2 ，根据锐角三角比的定义，则有
2 5
tan B ? AC ? 4 ? 2 ， cos C ? AC ? 4 ? 2 5 ， sin B ? AC ? 2 5 ．
AB 2

BC 5

BC 5
【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．
2
【作业 2】在?ABC 中， ?C ? 90? ，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tan B 的值是（ ）
A． 1
3
【难度】★
5142106379587【答案】D

B．3 C． 2
4
D． 2
AB2 ? BC2
?3BC ?2 ? BC2
【解析】根据勾股定理，可得 AC ? ?
2
的定义，则有 tan B ? AC ? 2 2BC ? 2 ．
BC BC
? 2 2BC ，根据锐角三角比
【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．
【作业 3】在 Rt ?ABC 中， ?C ? 90? ，如果各边的长都延长到原来的两倍，那么锐角 A 的各三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的 2 倍 B．都缩小为原来的一半
C．没有变化 D．不能确定
【难度】★
【答案】C
【解析】锐角三角比的大小只与角本身的大小有关，与夹这个角的边的大小无关．
【总结】考查一个固定角的锐角三角比只与这个角本身大小有关．
1 ? 1 ??2
3 ? 2 cos 45?
【作业 4】20160 ? cot 30? ? ? ? ? ．
? 2 ?
【难度】★★
2
41383104424114424058442411【答案】
?1 ．
3
3801746207450【解析】原式? 1 ? ???1 ? 2 ? ?1?
3 ? ? 3 ?
2 ??
477590630262 ? 1 ．
2536807695273 ? 2 ? 2
2
【总结】考查一些特殊角的锐角三角比结合相关有理数的计算，可直接用来计算，注意运算顺序．
【作业 5】若a sin? ? cos? ?1 ， bsin? ? cos? ? 1 ，求证 ab = 1．
【难度】★★
【答案】略．
? ? ?
?
sin
?
【解析】证明： a sin? ? cos? ? 1 ， bsin? ? cos? ? 1 ，得?
?
?cos? ?
?
2
a ? b ， sin2 ? ? cos2 ? ? 1，
b ? a
a ? b
2 2
? 2 ?2 ? b ? a ?2
所以? a ? b ? ? ? a ? b ?
? 1 ，由此即得： 4 ? ?b ? a?
? ?a ? b?
，即可得 ab ? 1．
? ? ? ?
【总结】根据sin2 ? ? cos2 ? ? 1变形即可得到求证的结果．
【作业 6】在 Rt?ABC 中， ?C ? 90? ， a ? b ? 28 ， sin A ? sin B ? 7 ，求斜边 c 的长．
5
【难度】★★
【答案】20．
【解析】根据锐角三角比的定义，可得sin A ? sin B ? a ? b ? a ? b ? 7 ，由a ? b ? 28 ，代入即
c c c 5
可得c ? 20 ．
【总结】考查对锐角三角比定义的充分利用．
【作业 7】已知关于 x 的一元二次方程?m ? 2? x2 ? ?2m ?11? x ?12 ? 0 的两个根是一个直角三角
形的两个锐角的正弦，求实数 m 的值．
【难度】★★
【答案】m ? 23 ．
【解析】根据一元二次方程的韦达定理，则方程两根满足 x ? x
? 2m ?11 ， x ? x ? 12 ，

1 2 m ? 2 1 2 m ? 2
1 2 1 2 1 2
方程两根恰是一个直角三角形两锐角的正弦，则 x2 ? x2 ? ?x ? x ?2 ? 2x x
? 1，
? 2m ?11 ?2
即? ?
? 2 ? 12 ? 1 ，整理得： m2 ? 24m ? 23 ? 0 ，解得： m ? 1， m ? 23 ．
? m ? 2 ? m ? 2 1 2
当 m ? 1时，原方程为： x2 ? 3x ? 4 ? 0 ，此时方程无解，舍去；
当 m ? 23 时，原方程为： 25x2 ? 35x ?12 ? 0 ，解得： x
? 4 ，x
? 3 ，满足题意．
所以，实数 m 的值为 23．

1 5 2 5
【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用．
【作业 8】已知锐角 ?ABC 中，AB = c，AC = b，BC = a，利用锐角三角比的意义证明：
c ? a cos B ? b cos A ．
【难度】★★
【答案】略．
C
【解析】证明：如图，作CD ? AB 交 AB 于点 D ， 根据锐角三角比的定义，则有
cos B ? BD ? BD ， cos A ? AD ? AD ．
BC a

AC b

A D B
由此可得： BD ? a cos B ， AD ? b cos A ， 因为 AB ? AD ? BD ，
所以c ? a cos B ? b cos A ．
【总结】考查锐角三角比定义的应用，只需要通过作高把角和线段放到直角三角形中即可进行求解．
【作业 9】我们知道，在直角三角形中，一个锐角的三角比由三角形中相应两条边边长的比值确定，由此建立了直角三角形中边角之间的联系．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比值叫做顶角的“正对”（sad）．如图
（a），在?ABC 中，AB = AC，顶角 A 的正对记作 sad A，这时 sad A = BC ．容易知道，
AB
一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据定义，求解下列问题：
（1）sad 60°= ；
（2）对于 0°< A < 180°，sad A 的取值范围是 ；
（3）如图（b），已知sin A ? 3 ，则 sad A 的值是（ ）
5
A． 6
5
【难度】★★★
B． 2
3
C． 5
4
D． 10
5
B C
A
【答案】（1）1；（2） 0 ? sadA ? 2 ；
（3）D
【解析】（1）顶角为60? ，即这个等腰三角形是等边三角形，三边长都相等，
由此可知 sad 60?? 1；
（2）根据三角形三边关系，
(a)
B
E
D
F
C A
(b)
可知0 ? BC ? AB ? AC ? 2AB ，由此可得0 ? sadA ? 2 ；
（3）取?BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点\ D ，作 DE ? AB 交 AB 于点 E ，连结CE 交 AD
于点 F ，由?BCA ? 90? ，则有CD ? DE ， AD 垂直平分CE ，
sin ?BAC ? 3 ，可设 BC ? 3a ，则有 AB ? 5a ， AC ? 4a ， sin B ? AC ? 4 ，
5 AB 5
则有 BD ? 5 DE ? 5 CD ，由 BD ? CD ? BC ? 3a ，即得CD ? 4 a ，根据勾股定理，
4 4
CD2 ? AC2
则有 AD ?
3
? 4 10a ，由三角形的面积法，则有CF ? AD ? CD ? AC ，
3
可得CF ? AC ? CD ? 2 10a ，则CE ? 2CF ? 4
10a ，
AD 5
5
4 10a
由此可得： sad ?BAC ? CE ? 5
AC 4a
? 10 ，故选 D．
5
【总结】新定义题型，抓准题目所提供的基本条件，利用等腰三角形的特殊性质，过程中注意利用面积法等相关几何解题方法．
【作业 10】在锐角?ABC 中， ?A 、?B 、?C 所对的边分别为 a、b、c．
求证：（1）

a ?
sin A
b
sin B

? c ；
sin C
（2） S
【难度】★★★
【答案】略．
?ABC
? 1 ab sin C ? 1 ac sin B ? 1 bc sin A ．
2 2 2
391150791044【解析】证明：（1）如图，构造?ABC 的外接圆 O ，连结 AO 并延长交 BC 于 D ，连结OB 、
OC ，过点O 作OE ? BC 交 BC 于点 E ，则有 BE ? CE ? 1 BC ，?BOE ? ?COE ? 1 ?BOC ．
2 2
O
B
E D
C
1413939113377OA ? OB ? OC ， A
??BAO ? ?ABO，?CAO ? ?ACO ．
??BOD ? 2?BAO，?COD ? 2?CAO ．
??BOD ? ?COD ? 2?BAO ? 2?CAO ． 即得?BOC ? 2?BAC ．
??BOE ? ?BAC ．
根据锐角三角比定义，可得： sin ?BOE ? BE ，
BO
1 BC 1 b

由此可得： BO ? 2 ???2 ，则 b
? 2r ．
同理 b
sin ?ABC
sin ?BOE
c
? sin ?ACB
sin ?BAC
? 2r ，
sin ?BAC
即证 a ?
sin A
b
sin B

? c ．
sin C
（2）过点 A 作 AF ? BC 交 BC 于点 F ，
A
根据锐角三角比定义，则有sin B ? AF ? AF ．
AB c
? AF ? c sin B ．
? S?ABC
? 1 AF ? BC ? 1 ac sin B ．
2 2 B C
1 1 F
同理 S?ABC ? 2 ab sin C ? 2 bc sin ?ACB ，
即证 S
?ABC
? 1 ab sin C ? 1 ac sin B ? 1 bc sin A ．
2 2 2
【总结】考查利用锐角三角比进行三角形三边关系的关联，通过作高把相应的边角放到直角三角形中表示出来即可．