初中数学沪教版九年级下册-第9讲：圆的基本性质学案-教师版

圆的基本性质
内容分析
知识结构
圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容．需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用．
模块一：圆的确定
知识精讲
1、 圆的概念
圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．
582222286113圆心：以上概念中的“定点”；以点 O 为圆心的圆称为“圆 O”，记作 O ． 半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．
2、 点与圆的位置关系
设一个圆的半径长为 R，点 P 到圆心的距离为 d，则有以下结论：
当点 P 在圆外时，d > R；当点 P 在圆上时，d = R；当点 P 在圆内时， 0 ? d ? R ． 反之亦然．
3、 相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．
例题解析
a2
a
【例1】 在平面直角坐标系内，A（ ?3 ， ? tan 30? ），B（

，0）， A 的半径为 4，
5455496-3299392620856137420试说明点 B 与 A 的位置关系．
【难度】★
233256686512【答案】点 B 在 A 外．
?
【解析】由题意得 A? ?3，?

? ， B ?1，0?，所以 AB ? ? ，
??3 ?1?2 ? ? ?
3 ?
2
? ?
?
3 ?
7 3
3 ?
? 3 ? 3
320632665638因为 AB ? 4 ，所以点 B 在 A 外．
【总结】本题考察了点与圆的位置关系，设一个圆的半径长为 R，点 P 到圆心的距离为
d，则有以下结论：当点 P 在圆外时，d > R；当点 P 在圆上时，d = R；当点 P 在圆内时， 0 ? d ? R ．反之亦然．
【例2】 过一个点可以画 个圆，过两个点可以画 个圆，过三个点可以画
个圆．
【难度】★
【答案】无数；无数；一或零．
【解析】不共线的三点才可以确定一个圆．
【总结】本题考察了圆的确定，不共线的三点可以确定一个圆．
289931754997【例3】 已知，如图，在 O 中，AB、BC 为弦，OC 交 AB 于点 D．
求证：（1） ?ODB ? ?OBD ；（2） ?ODB ? ?OBC ．
【难度】★ O
【答案】详见解析． B
A D
【解析】（1）∵ OA ? OB ，∴ ?OAB ? ?OBA ，
∵ ?ODB ? ?OAB ? ?AOD ，∴ ?ODB ? ?OBA ? ?AOD ， C
∴ ?ODB ? ?OBD ．
（2）∵ OC ? OB ，∴ ?OBC ? ?OCB ，∵ ?ODB ? ?OCB ? ?DBC ，
∴ ?ODB ? ?OBC ? ?DBC ，∴ ?ODB ? ?OBC ．
【总结】本题考查了圆的性质，利用外角是解决问题的关键．
2365917155005382167270135【例4】 如图， O 的半径为 15，O 到直线 l 的距离 OH = 9，A、B、C 为直线 l 上的三个点，AH = 9，BH = 12，CH = 15，请分别说明点 A、B、C 与 O 的位置关系．
O
l
H
P
【难度】★★
220012987782299260987782378641287782【答案】 A 在 O 内； B 在 O 上； C 在 O 外．
【解析】连接OP ，∵ OP ? 15 ， OH ? 9 ，
OP2 ? OH 2
∴ PH ? ? 12 ，
337048770718∵ AH ? 9 ? HP ，∴ A 在 O 内；
342192284688∵ BH ? 12 ? HP ，∴ B 在 O 上；
342192285178∵ CH ? 12 ? HP ，∴ C 在 O 外．
【总结】本题考查了点与圆的位置关系．
【例5】 若 A（a， ?27 ）在以点 B（ ?35 ， ?27 ）为圆心，37 为半径的圆上，求 a 的值．
【难度】★★
【答案】2 或 ?72 ．
2467186124794?a ? 35?2 ? ??27 ? 27?2
【解析】∵ A 点在 B 上，∴ BA ? 37 ，即 ? 37 ，
解得a1 ? 2 ， a2 ? ?72 ．
【总结】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题有两种解．
【例6】 如图，作出 AB 所在圆的圆心，并补全整个圆．
4548904-41591【难度】★★
【答案】如图所示．
【解析】在 AB 上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心．
【总结】本题考查了不共线三点定圆的作法．
【例7】 如图，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点，且?EOD ? 45? ，A 是
DC 延长线上一点，AE 与半圆交于 B，若 AB = OC，求?EAD 的度数．
E
B
D
O
C
A
【难度】★★★
【答案】?EAD ? 15? ．
【解析】∵ AB ? OC ， OC ? OB ，
∴ AB ? OB ，∴ ?EAD ? ?BOA ，
∴ ?OBE ? ?BOA ? ?EAD ? 2?EAD ，
∵ OB ? OE ，∴ ?E ? ?OBE ，∴ ?OEB ? 2?EAD ，
∵ ?EOD ? ?OEA ? ?EAD ? 3?EAD ? 45? ，
∴ ?EAD ? 15? ．
【总结】本题考查了同一个圆中半径处处相等及三角形外角的应用．
30333024279【例8】 已知，如图，AB 是 O 的直径，半径OC ? AB ，过 OC 的中点 D 作 EF // AB．
求证： ?ABE ? 1 ?CBE ．
2
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OE ，
∵ OC ? AB ， EF // AB ，
∴ OC ? EF ， ?OBE ? ?DEB ，
C
E D F
A O B
∵ OB ? OE ，∴ ?OBE ? ?OEB ，∴ ?OBE ? ?OEB ? ?DEB ，
∵ D 为OC 的中点，∴ OD ? 1 OC ? 1 OE ，
2 2
∴ ?OED ? 30? ，∴ ?ABE ? 1 ?OED ? 15? ，
2
∴ ?CBE ? ?CBO ? ?ABE ? 45? ?15? ? 30? ，
∴ ?ABE ? 1 ?CBE ．
2
【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形性质的综合运用．
2695429155005366927155004783524468840【例9】 已知：AB 是 O 的直径，点 P 是 OA 上任意一点，点 C 是 O 上任意一点． 求证： PA ? PC ? PB ．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】当 P 与O 重合时，可得 PA ? PC ? PB ，
当 P 与O 不重合时，连接OC ，则 OA = OC = OB，
∴ PA ? OA ? OP ? OC ? OP ? PC ， PB ? OP ? OB ? OP ? OC ? PC ， 综上可知 PA ? PC ? PB ．
【总结】本题考查了圆中半径处处相等，并利用三角形的三边关系解决问题．
模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
知识精讲
1、 圆心角、弧、弦、弦心距的概念
圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；
弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．
2、 半圆、优弧、劣弧
半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
优弧：大于半圆的弧叫做优弧． C
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
如图，以 A、C 为端点的劣弧记作 AC ，读作“弧 AC”； A O B
以 A、C 为端点的优弧记作 ABC ，读作“弧 ABC”．
3、 等弧和等圆
能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若 AB 与 A' B ' 是等弧，记作
AB ? A' B ' ．
半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．
4、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
5、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．
例题解析
【例10】 下列命题中真命题的个数是（ ）
① 相等的圆心角所对的弧也相等；
② 在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等；
265732987890467662987890③ A、B 是 O 上任意两点，则 AO + BO 等于 O 的直径长；
④ 三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【难度】★
【答案】A．
【解析】① 需说明是在同圆或等圆中，故①错误；
② 一条弦对两条弧，所以需要说明是优弧还是劣弧，故②错误；
③ 易知 AO 、 BO 均为圆的半径，所以 AO ? BO 为直径，故③正确；
④ 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故④错误．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．
【例11】 一条弦把圆分成 1 : 3 两部分，则弦所对的圆心角为 °．
【难度】★
【答案】90 ．
【解析】∵一条弦把圆分成 1 : 3 两部分，
∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360? ? 4 ? 90? ，
∴弦所对的圆心角为90? ．
【总结】本题考查了同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
A
O
B
C
249863270446【例12】 如图，在 O 中， AB ? AC ， ?B ? 70? ，则?BAC ? ．
【难度】★
【答案】40? ．
2193832131499【解析】∵在 O 中， AB ? AC ，∴ ?C ? ?B ，∵ ?B ? 70? ，
∴ ?BAC ? 180? ? ?B ? ?C ? 40? ．
【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用．
A
O
C
B
D
263261770422【例13】 如图，已知 O 的半径是 6， ?BOD ? 30? ， BD ? BC ，CD = ．
【难度】★★
【答案】6 ．
【解析】∵ BD ? BC ， ?BOD ? 30? ，∴ ?BOD ? ?BOC ? 30? ，
∴ ?COD ? 60? ，∵ OC ? OD ，∴ ?OCD 是等边三角形，
∴ CD ? 6 ．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．
230348444998270434744998F
D
C
B P
A
E
【例14】 如图， O1 和
O2 是等圆，P 是O1O2 的中点，过点 P 作直线 AD 交
O1 于点 A、
5654379-351286215253244953B，交
O2 于点 C、D．
求证：AB = CD．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】作O1E ? AB 于 E ， O2 F ? CD 于 F ，
∵P 是O1O2 的中点，∴ ?PEO1 ≌ ?PFO2 ，∴ O1E ? O2 F ，
205646961508245606261508∵ O1 和
O2 是等圆，∴ AB ? CD ．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．
34130324198A
D
E
O
C
B
【例15】 已知，如图，AB、CD 是 O 的直径，弦 AE // CD，联结 CE、BC． 求证：BC = CE．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】∵ OA ? OE ，∴ ?A ? ?OEA ，
∵ AE // CD ，∴ ?BOC ? ?A ， ?EOC ? ?OEA ，
∴ ?BOC ? ?EOC ，∴ BC ? CE ．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．
233988215581【例16】 如图， O 是?ABC 的外接圆，AO 平分?BAC ，?AOB ? ?BOC ，判断?ABC
A
O
B
C
的形状，并说明理由．
【难度】★★
【答案】等边三角形．
【解析】∵AO 平分?BAC ，∴ ?BAO ? ?CAO ，
∵ OA ? OC ? OB ，
∴ ?ABO ? ?BAO ? ?CAO ? ?ACO ，
∴ ?AOB ? ?AOC ，
∵ ?AOB ? ?BOC ，∴ ?AOB ? ?AOC ? ?BOC ，
∴ AB ? BC ? CA ，∴ ?ABC 是等边三角形．
【总结】本题考查同圆中相等的圆心角所对的弦相等．
29571025041C
D
A
M O
N
B
【例17】 已知，如图，AB 是 O 直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CM ? AB ，DN ? AB ．求证： AC ? BD ．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OC 、OD ，则OC ? OD ，
∵M、N 分别是 AO、BO 的中点，∴ OM ? ON ，
∵ CM ? AB ， DN ? AB ，∴ ?OCM ≌ ?ODN ，
∴ ?COM ? ?DON ，∴ AC ? BD ．
【总结】本题考查了同圆中相等的圆心角所对的弧相等．
【例18】 如图，以点 O 为圆心的圆弧上依次有四个点 A、B、C、D，且?AOB
求证：四边形 ABCD 是等腰梯形．
O
A
D
B
C
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】连接 AC 、 BD ，
∵ ?AOB ? ?COD ，∴ AB ? CD ，
∵ ?ACB ? 1 ?AOB ， ?CAD ? 1 ?COD ，

??COD ．
2 2
∴ ?ACB ? ?CAD ，∴ AD ∥ BC ，∴四边形 ABCD 是等腰梯形．
【总结】本题综合性较强，主要考查了同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系，老师可以选择性的讲解．
模块三：垂径定理
知识精讲
1、 垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
2、 相关结论
（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．
（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．
（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且平分这条弦．
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．
例题解析
19652323054【例19】 O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长为 ．
【难度】★
【答案】8．
206111786594【解析】∵ O 的直径为 10，∴ OB ? 5 ，∵ OM ? AB ，∴ OM 平分 AB ，
OB2 ? OM 2
∴ BM ? ? 4 ，∴ AB ? 2BM ? 8 ．
【总结】本题考查了垂径定理的运用．
274247261194400964160316【例20】 在半径为2 的 O 中，弦AB 的长为2 2 ，则弦AB 所对的圆心角?AOB = °．
【难度】★
【答案】90 ．
2
【解析】作OD ? AB 于 D ，则 AD ? BD ? ，
OB2 ? BD2
2
∵ OB ? 2 ，∴ OD ? ? ，∴ ?BOD ? 45? ，∴ ?AOB ? 90? ．
【总结】本题考查了垂径定理的运用．
23462324405【例21】 如图， O 是?ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 CD 上，点 E 和点 F
分别是边 AC 和 BC 的中点． 求证：四边形 CEDF 是菱形．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】∵ CD ? AB ，且CD 过圆心，∴ AD ? BD ，
C
E O F
A D B
∴ CA ? CB ，∵点 E 和点 F 分别是边 AC 和 BC 的中点，
∴ CE ? 1 AC ， DE ? 1 AC ， CF ? 1 BC ， DF ? 1 BC ，
2 2 2 2
∴ CE ? DE ? DF ? CF ，∴四边形 CEDF 是菱形．
【总结】本题考查了垂径定理的运用即菱形的判定．
【例22】 如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽 AB
O
A
D
B
C
为 0.6 米，污水深 CD 为 0.1 米，求圆形的下水管道的直径．
【难度】★★
【答案】1 米．
【解析】连接OB ，设圆半径为 R ，则OD ? R ? 0.1 ，
BD ? 1 AB ? 0.3 ，
2
由OD2 ? BD2 ? OB2 得?R ? 0.1?2 ? 0.32 ? R2 ，解得 R ? 0.5 ，
所以下水管道的直径为 1 米．
【总结】本题考查了垂径定理以及勾股定理的综合运用．
248656755275【例23】 如图，在 O 中，弦 CD、EF 的延长线相交于点 P，G、H 分别是CD 、EF 的
C G
Q
O D
E
R
F
P
H
中点，GH 与 PC、PE 分别相交于 Q、R 两点，试判断?PQR 的形状，并证明所得到的结论．
【难度】★★
【答案】等腰三角形．
【解析】连接OG 、OH ，
∵G、H 分别是CD 、 EF 的中点，
∴ OG ? CD ， OH ? EF ，
∵ OH ? OG ，∴ ?H ? ?G ，∴ ?GQC ? ?HRE ，∴ ?PQR ? ?PRQ ，
∴ ?PQR 是等腰三角形．
【总结】本题考查了垂径定理的运用．
2550649415254770594152【例24】 如图，P 是 O 的弦 AB 的中点，PC ? OA ，垂足为 C，求证：PA PB ? AC AO ．
B
P
A
C O
【难度】★★
【答案】详见解析．
294059287255【解析】连接OP ，∵P 是 O 的弦 AB 的中点，
∴ OP ? AB ，∵ PC ? OA ，
∴ ?ACP ∽ ?APO ，∴ PA ? AO ，∵ PA ? PB ，
AC PA
3096958130596∴ PA ? AO ， 即 PA PB ? AC AO ．
AC PB
【总结】本题考查了垂径定与相似三角形的综合运用．
O
B
D
A
C
【例25】 位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小智和小方沿湖边选取 A、B、C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．
【难度】★★
【答案】1442.5 米．
【解析】连接OA 交 BC 于 D 点，连接OC ，
∵A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，
∴ OA ? BC ， BD ? DC ，
设半径为 R ，则OD ? R ? 5 ， DC ? 120 ，
由OD2 ? DC2 ? OC2 ，∴ ?R ? 5?2 ?1202 ? R2 ，解得： R ? 1442.5 ，
所以滴水湖的半径为 1442．5 米．
【总结】本题考查了垂径定理的运用．
3146332676522
597829566774【例26】 如图，弦 CD 垂直于 O 的直径 AB，垂足为 H，且CD ? 2
C
B
H
O
D
A
AB 的长为 ．
【难度】★★
DB2 ? DH 2
【答案】3．
， BD ?
3 ，则
281728066666【解析】由题意得 DH ?

， BH ?
? 1，
设半径为 R ，则OH ? R ?1 ，由OD2 ? OH 2 ? HD2 ，
∴ R2 ? ?R ? 1?2 ? ?
2 2 ，解得 R ? 3 ，∴ AB ? 2R ? 3 ．
2935355-143714?
2
【总结】本题考查了垂径定理的运用．
2233202653494018187653493
3
【例27】 已知 O 的半径 r ? 4 ，AB、CD 为 O 的两条弦，AB、CD 的长分别是方程
x2 ? ?4
? 4?x ? 16
? 0 的两根，其中 AB > CD，且 AB // CD，求 AB 与 CD 间
4805945151474的距离．
【难度】★★★
3
【答案】2
? 2 或2
? 2 ．
3
3
【解析】∵ x2 ? ?4
? 4?x ? 16
3
? 0 ，
3
解得： x1 ? 4 ， x2 ? 4 ．
3
∵AB>CD，∴ AB ? 4 ， CD ? 4 ，
OB2 ? BE2
OD2 ? DF 2
3
当 AB、CD 圆心同侧时，作OE ? AB 于 E ，并延长交CD 于 F ，
∵AB // CD，∴OF⊥CD，∴ OE ?
? 2 ，OF ?

? 2 ，
3
∴ EF ? OF ? OE ? 2 ? 2 ，
3
当 AB、CD 圆心两侧时，同理可得 EF ? OF ? OE ? 2 ? 2 ，
3
∴AB 与 CD 间的距离是2
? 2 或2
? 2 ．
3
【总结】本题考查了垂径定理的运用，做题的关键是要分情况讨论．
271305943937【例28】 已知，如图，
O1 与
O2 交于 A、B，过 A 的直线分别交
O1 与
O2 于 M、N，
3114508-3522145150189-3522145551052-352214B
P
N
F
E
C H A
M
C 是 MN 的中点，P 是O1O2 的中点．
求证： PA ? PC ．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】作O1E ? AM ， O2 F ? AN ，作 PH ? MN 于 H ，
则O1E / /PH / /O2 F ，且 E 、 F 分别为 AM 、 AN 的中点，
∴ AE ? AF ? EF ? 1 MN ，∵C 是 MN 的中点，∴ NC ? 1 MN ，∴ EF ? NC ，
2 2
∴ EC ? FN ? AF ，∵P 是O1O2 的中点，∴ EH ? FH ，
∴ HC ? HA ，∴ PA ? PC ．
【总结】本题考查了垂径定理的运用．
3853669155003
【例29】 如图，已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为
294453766667E，AE = EC， AB ?
【难度】★★★
2AE ，且 BD ? 2
，求四边形 ABCD 的面积．
3
A
B
H
D
E
O
C
【答案】2 ．
305439269434【解析】∵ AE ? EC ， AB ?
2AE ，
∴ AB2 ? 2AE2 ? AE ? AC ，
∴ AB ? AE ，又?EAB ? ?BAC ，∴ ?ABE ∽ ?ACB ，
AC AB
∴ ?ABE ? ?ACB ，∵ ?ADB ? ?ACB ，∴ ?ABE ? ?ADB ，∴ AB ? AD ， 连接 AO 交 BD 于 H ，连接 BO ，
3
∵ AB ? AD ，∴ AO ? BD ，∴ BH ? DH ? ，
3239813277963∵ OB ? 2 ，∴ OH ? 1 ，∴ AH ? 1，
∴ S?ABD
? 1 ? BD ? AH ?
2

，∵ E 为 AC 中点，
∴ S?ABE ? S?CBE ， S?ADE ? S?CDE ，即 S?ABD ? S?CBD ，
3
∴ S四边形ABCD ? 2S?ABD ? 2 ，
3
∴四边形 ABCD 的面积是2 ．
【总结】本题考查了垂径定理的运用及图形的分割，综合性较强，解题时注意认真观察．
【例30】 如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，?AOB ? 90? ，点 C 是弧 AB 上的一个动点
（不与点 A、B 重合）， OD ? BC ， OE ? AC ，垂足分别为 D、E．
（1）在?DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度， 如果不存在，请说明理由．
（2）设 BD = x， ?DOE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域．
4 ? x2 ? x 4 ? x2
5735866403873【难度】★★★
【答案】（1） DE 长度不变， DE ?
OA2 ? OB2
【解析】（1）连接 AB ，∴ AB ?
2 ；（2） y ?
3497203-1409764
2
? 2 ，
?0 ? x ?
2 ?．
B
D
C
E
O
F
A
∵ OD ? BC ， OE ? AC ，
∴D、E 分别为 BC 、 AC 中点，
2
∴ DE ? 1 AB ? ．
2
（2）作 DF ? OE 于 F ，由（1）易得?DOE ? 1 ?AOB ? 45? ，
2
由题意得OD ?

，∴ DF ? OF ? OD ? ，
4 ? x2
2
8 ? 2x2
2
EF ?

? 2 x ，
DE2 ? EF 2
2
8 ? 2x2 ? 2x
∴ OE ? OF ? EF ? ，
2
4 ? x2 ? x 4 ? x2
∴ y ? 1 ? DF ? OE ?
2 4
?0 ? x ?
2 ?．
4433785-400411【总结】本题考查了垂径定理、勾股定理及中位线定理的综合运用，综合性较强．
随堂检测
【习题1】 已知
半径为 5，若点 P 不在
上，则线段 OP 的取值范围为
O
O
．
【难度】★
【答案】0 ? OP ? 5 或OP ? 5 ．
260848787464381054287464577205787464【解析】∵点 P 不在 O 上，∴当点 P 在 O 内时， 0 ? OP ? 5 ；当点 P 在 O 外时，
OP ? 5 ，综上可知0 ? OP ? 5 或OP ? 5 ．
【总结】本题考查了点与圆的位置关系．
【习题2】 如图，AB 是直径， BC ? CD ? DE ， ?BOC ? 40? ，则?AOE ???．
E
D
C
A
O
B
【难度】★
【答案】60? ．
【解析】∵ BC ? CD ? DE ，∴ ?BOC ? ?COD ? ?DOE ，
∵ ?BOC ? 40? ，∴ ?AOE ? 180? ? 3?BOC ? 60? ．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．
【习题3】 如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在 A、B、
3811237437570C 三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹）
【难度】★
【答案】如图所示．
【解析】作线段 AB 、 AC 的中垂线的交点 P 即为学校位置．
【总结】本题考查了不共线的三点可以确定一个圆．
【习题4】 如图， AB ? CD ， OE ? AB ， OF ? CD ， ?OEF ? 25? ，求?EOF 的度
A
C
E F
O
B D
数．
【难度】★★
【答案】130? ．
【解析】∵ AB ? CD ， OE ? AB ， OF ? CD ，
∴ OE ? OF ，∴ ?OEF ? ?OFE ，∵ ?OEF ? 25? ，
∴ ?EOF ? 180? ? ?OEF ? ?OFE ? 180? ? 2?OEF ? 130? ．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．
A
D
B
E
C
【习题5】 如图，在?ABC 中， ?B ? 90? ， ?A ? 60? ，以点 B 为圆心，AB 为半径画圆，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E．求证：（1）AD ? 2DE ；（2）D 是 AC 的中点．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】（1）连接 BD ，∵ BA ? BD ， ?A ? 60? ，
∴ ?ABD 是等边三角形，∴ ?ABD ? 60? ，
∵ ?B ? 90? ，∴ ?DBC ? 30? ，∴ ?ABD ? 2?DBC ，
∴ AD ? 2DE ；
（2）由（1）得?ADB ? 60? ， DB ? DA ，
∵ ?ADB ? ?DBC ? ?C ，∴ ?C ? 30? ，∴ DB ? DC ，∴ DA ? DC ，
∴D 是 AC 的中点．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．
A O B
D
C
E
2941862182085【习题6】 如图，AB 为 O 直径，E 为 BC 的中点，OE 交 BC 于点 D，BD = 3，AB = 10，则 AC = ．
【难度】★★
【答案】8．
23906293055【解析】∵AB 为 O 直径，E 为 BC 的中点，
OB2 ? BD2
∴ OD ? BC ， BD ? CD ，∴ OD ? ? 4 ，
∵ OA ? OB ，∴ AC ? 2OD ? 8 ．
【总结】本题考查了垂径定理及三角形中位线．
【习题7】 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD ），点 O 是CD 的圆心，其中 CD = 600 米，E 为CD 上一点，且OE ? CD ，垂足为 F，EF = 90 米，
求这段弯路的半径． C
【难度】★★ E
【答案】545 米．
F
【解析】∵点 O 是CD 的圆心， OE ? CD ， O D
3324767155115∴ DF ? 1 CD ? 300 ，设 O 的半径为 R ，则OF ? R ? 90 ，
2
由OD2 ? OF 2 ? FD2 得 R2 ? ?R ? 90?2 ? 3002 ，解得 R ? 545 ，
∴这段弯路的半径为 545 米．
【总结】本题考查了垂径定理的应用．
41096274660A
E
G
O
B
C
F
【习题8】 如图，在 ?ABC 中， ?A ? 70? ， O 截?ABC 的三边所得的弦长都相等， 求?BOC 的度数．
【难度】★★★
【答案】125? ．
【解析】作OE ? AB 、OF ? BC 、OG ? AC ，
205667286829∵ O 截?ABC 的三边所得的弦长都相等，
∴ OE ? OF ? OG ，
∴ OB 平分?ABC ， OC 平分?ACB ，
∵ ?A ? 70? ，∴ ?ABC ? ?ACB ? 110? ，
∴ ?OBC ? ?OCB ? 1 ?ABC ? 1 ?ACB ? 55? ，
2 2
∴ ?BOC ? 180? ? 55? ? 125? ．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理、角平分线的逆定理及三角形的内角和．
472684770302【习题9】 已知，如图， ?ABC 是等边三角形，AB 是 O 的直径， AE ? EF ? FB ，
C
A
M
N
O
B
E
F
CE、CF 交 AB 于点 M、N． 求证：AM = MN = NB．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OE 、OF ，
∵ AE ? EF ? FB ，
∴ ?AOE ? ?EOF ? ?FOB ? 60? ，
∵ ?ABC 是等边三角形，
∴ ?CAO ? ?AOE ，∴ OE // AC ，∴ OM ? OE ．
MA AC
5195110113126∵ AC ? BC ，O 是 AB 中点， ∴ ?ACO ? 1 ?ACB ? 30 ，
2
∴ OA ? 1 AC ，∴ OE ? 1 ．∴ AM ? 2OM ，∴ AM ? 2 OA ， OM ? 1 OA ，
2 AC 2 3 3
同理 BN ? 2 OB ， ON ? 1 OB ，
3 3
∵ OA ? OB ，∴ OM ? ON ? 2 OA ，∴ AM ? MN ? NB ．
3
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及平分线分线段成比例．
28828074152【习题10】 如图，AB 为 O 的直径，CD 为弦，过点C、D 分别作CN ? CD 、DM ? CD ，分别交 AB 于点 N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由．
M
B
N
O
A
C
H
D
【难度】★★★
【答案】AN 与 BM 相等．
【解析】作OH ? CD 交CD 于 H ，
则CH ? DH ，∵ CN ? CD 、 DM ? CD ，
∴ CN ∥ OH ∥ DM ，∴ ON ? OM ，
∵ OA ? OB ，∴ OA ? ON ? OB ? OM ，
∴ AB ? BM ．
【总结】本题考查了垂径定理及梯形的中位线．
课后作业
【作业1】 在下列命题中，正确的个数是（ ）
① 圆心角相等，则它们所对的弦必相等；
② 经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆；
③ 直径平分弦，则必垂直于弦；
④ 如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【难度】★
【答案】B．
【解析】① 需说明是在同圆或等圆中，故①错误；
② 不共线的三点可以确定一个圆，故②正确；
③ 直径平分非直径的弦，则必垂直于弦，故③错误；
④ 如果同圆中，直径垂直于弦，则必然平分弦，故④错误．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及垂径定理．
4675081258660【作业2】 在?ABC 中，?C ? 90? ，D、E 分别是 AB、AC 的中点，AC = 7，BC = 4．若以点 C 为圆心，BC 为半径作圆，判断点 D、E 与 C 的位置关系．
【难度】★
235733186494328379686494【答案】点 D 在 C 外；点 E 在 C 内．
AC2 ? BC2
65
【解析】∵AC = 7，BC = 4， ?C ? 90? ，∴ AB ? ? ，
4559511138390∵ R ? 4 ， DC ? 1 AB ? 65 ? R ，∴点 D 在 C 外；
C 2 2
3710516120191EC ? 1 AC ? 7 ? R ，∴点 E 在 C 内．
2 2
【总结】本题考查了点与圆的位置关系．
【作业3】 已知直线 a 和直线外两点 A、B，经过 A、B 作一圆，使它的圆心在直线 a
2982873194850上．
【难度】★
【答案】如图所示．
【解析】作线段 AB 的中垂线于直线a 的交点 P 即为圆心．
【总结】本题考查了线段的垂直平分线的作法．
249863241971939197258197【作业4】 已知 O 外一点 A 和圆上的点最大距离为 23 厘米，最小距离为 10 厘米， 则 O 的半径为 厘米．
【难度】★★
【答案】13 ．
2
【解析】点 A 与圆心的连心线所在的直线与圆的交点即为点 A 到圆上的最大距离和最小距离，所以半径 R ? ?23 ?10? ? 2 ? 13 厘米．
2
【总结】本题考查了点与圆的位置关系．
27653324533E
B
A
O
C
【作业5】 如图，在 O 中， 2AB ? BC ，试确定 AB 与 2BC 的大小关系．
【难度】★★
【答案】 AB ? 2BC ．
【解析】取 AB 中点 E ，∵ 2AB ? BC ，
∴ AE ? EB ? BC ，∵ AE ? EB ? AB ，
∴ AB ? 2BC ．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．
433822715500D
E
H
F C
A G
O
B
【作业6】 如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的 O 交于点 G、B、F、E，GB = 8 厘米，AG = 1 厘米，DE = 2 厘米，则 EF = 厘米．
【难度】★★
【答案】6 ．
【解析】连接OE ，作OH ? DC 于 H 点，
∵GB = 8 厘米，AG = 1 厘米，DE = 2 厘米，
∴ OE ? 4 厘米， EH ? 3 厘米，
∴ EF ? 2EH ? 6 厘米．
【总结】本题考查了垂径定理的应用．
39969013690P
【作业7】 已知点 A（1，0），B（4，0）， P 是经过 A、B 两点的一个动圆，当与 y 轴相交，且在 y 轴上两交点的距离为 3 时，求圆心 P 的坐标．
【难度】★★
【答案】? 5 5 ? 或? 5 ，? 5 ? ．
? ， ? ? ?
? 2 2 ? ? 2 2 ?
【解析】设 P ?x ，y ?
209952154762∵ P 是经过 A、B 两点的一个动圆，∴ P 在线段 AB 的中垂线上，
4027381105199∵A（1，0），B（4，0），∴ x ? 5 且 P 在 x 轴上两交点的距离为 3，
2
2056976110243∵ P 与 y 轴相交，且在 y 轴上两交点的距离为 3，
205697685858∴ P 在 x 轴上与 y 轴上截得的两条弦相等．
∴ x ?
y ，∴ y ?? 5 ，
2
∴ P 点坐标为? 5 5 ? 或? 5 ，? 5 ? ．
? ， ? ? ?
? 2 2 ? ? 2 2 ?
【总结】本题考查了垂径定理的应用．
C
B
A
P
O
309166955275498558154397【作业8】 已知，如图，在 O 中，弦 AB 的长是半径 OA 的 3 倍，C 为 AB 的中点，
AB、OC 相交于 P．
求证：四边形 OACB 为菱形．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】∵C 为 AB 的中点，∴ OC ? AB ， AP ? PB ，
3467296137443∵弦 AB 的长是半径 OA 的 3 倍，∴ AP ?
AO
3 ，∴ ?PAO ? 30? ，
2
∴ PO ? 1 OA ? 1 OC ，即OP ? PC ，∵ AP ? BP ， OC ? AB ，
2 2
∴四边形 OACB 为菱形．
【总结】本题考查了垂径定理的应用及菱形的判定．
C
A
M P
O
N
B
D
E
H
F
【作业9】 已知：过圆 O 内一点 P 作弦 AB、CD，且 AB = CD，在 BD 上取两点 E、F，且 BE ? DF ．
求证：直线 PO 是 EF 的垂直平分线．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】作OM ? AB ， ON ? CD ，
∵AB = CD，∴ OM ? ON ， BM ? DN ，
∴ ?POM ≌ ?PON ，∴ PM ? PN ，
∴ PB ? PD ，∵ OB ? OD ， PO ? PO ，∴ ?OPB ≌ ?OPD ，
∴ ?POB ? ?POD ，∵ BE ? DF ，∴ ?BOE ? ?DOF ，
∴ ?POE ? ?POF ，∴ ?EOH ? ?FOH ，∵ OE ? OF ，
∴直线 PO 是 EF 的垂直平分线．
【总结】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的综合应用．
263241426156【作业10】 如图，
O1 与
O2 交于 A、B，M 为O1O2 的中点，过点 A 作 EF ? AM 分
3032007-335366207170960873247257260873别 交 O1 与
O2 于点 E、F．若?O1 AO2 ? 90? ， AO1 AO2 ? O1O2 ? m （ m ? 2 ），
4805502-331220求 EF 的长．
【难度】★★★
B
M
F
D
E
C
A
G
【答案】4．
【解析】作O1C ? AE 于C 点，并延长与O2 A 的延长线交于G 点，作O2 D ? AF 于 D 点，
∵ EF ? AM ，M 为O1O2 的中点，
∴ AC ? AD ，∴ ?O2 AD ≌ ?GAC ，∴ AG ? AO2 ，
∵ ?O1 AO2 ? 90? ，∴ ?O1 AC ∽ ?O1GA ，∴ O1 A ? AG ? O1G ? AC ，
3511873-5423∴ O1 A ? AO2 ? O1G ? AC ，∵ AO1 AO2 ? O1O2 ? m ，
∴ O1O2 ? O1G ? AC ，∵ ?O1 AO2 ? 90? ， AG ? AO2 ，∴ O1O2 ? O1G ，
∴ AC ? 1 ，∴ EF ? 4AC ? 4 ．
【总结】本题考查了垂径定理及相似三角形性质的综合应用．