初中数学沪教版九年级下册-第10讲：直线与圆、圆与圆的位置关系学案-教师版
文档属性
| 名称 | 初中数学沪教版九年级下册-第10讲：直线与圆、圆与圆的位置关系学案-教师版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 336.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-22 08:06:11 | ||
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文档简介
直线与圆、圆与圆的位置关系
内容分析
直线与圆、圆与圆的位置关系是九年级下学期第一章第二节的内容．重点是 理解直线与圆的三种位置关系和圆与圆之间的五种位置关系，掌握它们数量表达， 并学会判断直线与圆、圆与圆的位置关系．难点是直线与圆、圆与圆位置关系在 实际中的应用，及分类讨论的思想．
知识结构
1167385788054
模块一：直线与圆的位置关系
知识精讲
1、 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交
当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；
当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的割线．
2、 数量关系描述直线与圆的位置关系
192570292881如果 O 的半径长为 R，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么： 直线 l 与相交? 0 ? d ? R ；
直线 l 与相切? d ? R ； 直线 l 与相离? d ? R ．
3、 切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
例题解析
【例1】 在 ?ABC 中， ?C ? 90? ，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？
（1）r = 2 cm；（2）r = 2.4 cm；（3）r = 3 cm．
【难度】★
【答案】（1）相离；（2）相切；（3）相交．
【解析】由题意得圆心C 到直线 AB 的距离为d ? 2.4cm ，
（1）∵ r ? d ，∴直线 AB 于圆相离；
（2）∵ r ? d ，∴直线 AB 于圆相切；
（3）∵ r ? d ，∴直线 AB 于圆相交．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
22317721132003165910113200【例2】 经过 O 上一点 P 作 O 的切线．
3720288235022【难度】★
【答案】如图所示．
43183828574【解析】连接OP ，过点 P 作OP 的垂线l ，则l 为 O 的切线．
【总结】本题考查了切线的作法．
23613121125665514722112566【例3】 已知， O 的圆心 O 的坐标是（4，6），半径为 5，则 x 轴与 O 的位置关系是 ．
【难度】★
【答案】相离．
206101092880【解析】∵ O 的圆心 O 的坐标是（4，6），∴圆心 O 到 x 轴的距离d ? 6 ，
291757291124∵ d ? r ，∴则 x 轴与 O 相离．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
312463521760【例4】 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 5，则 r 的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】r ? 5 ．
321607592880【解析】∵直线 l 与半径为 r 的 O 相交，∴ r ? d ，即r ? 5 ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【例5】 如图，在射线 OA 上取一点 A，使 OA = 4 cm，以 A 为圆心，作一个直径为 4 cm
508038294266的圆．问射线 OB 与 OA 所夹锐角? 取怎样的值时，OB 与 O 相离、相切、相交？
【难度】★★
3185595918412990650346471H
O
A
【答案】当0 ? ? ? 30? ，OB 与 O 相交； 当? ? 30? ，OB 与 O 相切；
329412711682当30? ? ? ? 90? ，OB 与 O 相交．
【解析】作OH ? AB 于点 H ，
220891291692当 OB 与 O 相切时， OA ? 4cm ， AH ? 2cm ，此时? ? 30? ，
3091562929622766495345696∴当0 ? ? ? 30? ，OB 与 O 相交； 当? ? 30? ，OB 与 O 相切；
306997210412当30? ? ? ? 90? ，OB 与 O 相交．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【例6】 等腰?ABC ，AB = AC = 5，CB = 6，以 BC 中点为圆心作圆，两腰所在直线与圆相离，则半径 r 的取值范围为 ．
463055027249【难度】★★
【答案】0 ? r ? 12 ．
5
【解析】如图，作 AD ? BC ， DE ? AC ，
由题意易得 DC ? 3 ， AD ? 4 ∴ DE ? 12 ，
5
∵两腰所在直线与圆相离，
∴ 0 ? r ? DE ，∴ 0 ? r ? 12 ．
5
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【例7】 在 ?ABC 中， ?C ? 90? ，AC = 5，BC = 12，若以 C 为圆心，R 为半径，所作的圆与斜边 AB 没有公共点，则 R 的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】0 ? R ? 60 或 R ? 12 ．
13
【解析】圆心C 到斜边 AB 的距离 d ? 60 ，
13
∴当圆与 AB 相离时， 0 ? R ? 60 ，当边 AB 所有点都在圆内部时， R ? 12 ，
13
综上， 0 ? R ? 60 或 R ? 12 ．
13
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
O
【例8】 如图，已知 是以平面直角坐标系的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，
?AOB ? 45? ，点 P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与有公共点， 设 P 的横坐标为 x，则 x 的取值范围是（ ）
2
2
2
y
2
A． 0 ? x ? B． ? ? x ?
C． ?1 ? x ? 1
【难度】★★
【答案】B．
D． x ?
H A
C O P B x
2769670935152
【解析】作l ∥ OA 且与 O 相切，过O 点作OH ? 直线l ， 则?HCO ? ?AOB ? 45? ，∵ OH ? 1 ，∴ OC ? ，
2
330499098085∴x 的取值范围是? ? x ? 2 ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
2
【例9】 在 ?ABC 中， AB ? 4 ， AC ? 2
，若以 A 为圆心，2 为半径的圆与直线 BC
相切，则?BAC 的度数为 ．
【难度】★★
442955196133【答案】105? 或15? ．
【解析】当?BAC 为钝角时，
作 AD ? BC 于 D ，则 AD ? 2 ，
2
∵ AB ? 4 ， AC ? 2 ，
∴ ?BAD ? 60? ， ?CAD ? 45? ，
∴ ?BAC ? 60? ? 45? ? 105? ；
当?BAC 为锐角时，作 AD ? BC 于 D ，则 AD ? 2 ， 同理可得?BAC ? 60? ? 45? ? 15? ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
2695322969636033729696【例10】 如图，AB 是 O 的弦，C 是 O 外一点，OC 交 AB 于点 D，若OA ? OC ，
A
O
D
C
B
CD = CB．
254292292880求证：CB 是 O 的切线．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OB ，
∵ OA ? OB ，∴ ?OAB ? ?OBA ，
∵ CD ? CB ，∴ ?CDB ? ?CBD ，
∵ OA ? OC ，∴ ?OAD ? ?ADO ? 90? ，
∵ ?CDB ? ?ADO ，∴ ?OBA ? ?CBD ? 90? ，
217716291124∴CB 是 O 的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
276517270655【例11】 已知：如图， O 的半径为 6 cm， OD ? AB ，垂足为点 D， ?AOD ? ?B ，
O
A
D
B
2535302345192AD = 12 cm，BD = 3 cm． 求证：AB 是 O 的切线．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】∵ ?AOD ? ?B ， ?A ? ?A ，
∴ ?AOD ∽ ?ABO ，∴ AO ? AD ，即 AO ? 12
，解得： AO ? 6 5 ．
5465281-118805AB AO 15 AO
OA2 ? AD2
∵ OD ? AB ，∴ OD ? ? 6 ，
336403070021∵ OD ? R ? 6 厘米，∴AB 是 O 的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
4936872113201【例12】 如图，在?ABC 中， ?C ? 90? ，AC = 5，BC = 12， O 的半径为 3．
368407091124（1）当圆心 O 与 C 重合时， O 与 AB 的位置关系怎样？
468414292245（2）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 相切；
468414292881（3）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 有公共点．
【难度】★★
【答案】（1）相离；（2） 7 ；（3） 7 ? OC ? 5 ．
4 4
B
D
C
O
A
【解析】（1）作CH ? AB 于点 H ， B
∵AC = 5，BC = 12，∴ AB ? 13 ， CH ? 60 ? 3 ，
13
1794310115106∴ O 与 AB 相离；
192697291124（2）∵ O 与 AB 相切，
∴ OD ? AB ， OD ? R ? 3 ， 设OC ? x ，则 AO ? 5 ? x ，
H
A
C (O)
则 OD ? BC ， 即 3
? 12 ，解得 x ? 7 ，
OA AB
5 ? x 13 4
2605152136133∴当OC ? 7 时， O 与 AB 相切；
4
17943101158893210307115889（3） O 与 AB 有公共点，则 O 与 AB 相切或相交，
∴点O 到直线 AB 的距离d ? R ，可得OC ? 7 ，又∵点O 在 AC 边上，
4
∴ 7 ? OC ? 5 ．
4
【总结】本题考查了切线的性质及点与圆的位置关系与相似三角形结合的综合题．
2695322217603819907217602716330276395C
D
A
O
B
【例13】 如图，AB 是 O 的直径，BC 是 O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD． 求证：DC 是 O 的切线．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OD ，
∵ OA ? OD ，∴ ?OAD ? ?ODA ，
∵ OC ∥ AD ，∴ ?OAD ? ?BOC ， ?ODA ? ?DOC ，
∴ ?BOC ? ?DOC ，
∵ OB ? OD ， OC ? OC ，
∴ ?CBO ≌ ?CDO ，
217716292880∵BC 是 O 的切线，切点为 B，∴ OB ? BC ，
∴ ?ODC ? ?OBC ? 90? ，
219055092880∴DC 是 O 的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
【例14】 已知，如图，在梯形 ABCD 中，AD // CB， ?D ? 90? ，且 AD + BC = AB，AB
193909092880 A D
O
H
B
C
为 O 的直径．
220579090489求证： O 与 CD 相切．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】作OH ? DC 于点 H ，
∵AD // CB， ?D ? 90? ， AO ? BO ，
∴ OH 是梯形 ABCD 的中位线，∴ OH ? 1 ? AD ? BC ?，
2
∵ AD ? BC ? AB ，∴ OH ? 1 AB ? OA ，
2
1840030115106∴ O 与 CD 相切．
【总结】本题考查了切线的证明．
模块二：圆与圆的位置关系
知识精讲
1、 圆与圆的位置关系
图 1
图 2
图 3
图 4
图 5
外离：图 1 中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．
外切：图 2 中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．
相交：图 3 中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．
内切：图 4 中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．
内含：图 5 中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时，称它们为同心圆．
综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切．
2、 相关概念
圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线．
3、 两圆位置关系的数量表达
如果两圆的半径长分别为 R1 和 R2 ，圆心距为 d，那么两圆的位置关系可用 R1 、R2 和
d 之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离? d ? R1 ? R2 ；
两圆外切? d ? R1 ? R2 ；
两圆相交? R1 ? R2 ? d ? R1 ? R2 ；
两圆内切? 0 ? d ? R1 ? R2 ；
两圆内含? 0 ? d ? R1 ? R2 ．
4、 相关定理
（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．
例题解析
【例15】 （1）一个圆的半径为 9 厘米，另一圆的半径为 4 厘米，圆心距为 3 厘米，判断两个圆的位置关系
（2）相切两圆的圆心距为 5，其中一个圆的半径为 3，那么另一个圆的半径是多少？
【难度】★
【答案】（1）内含；（2）2 或 8．
【解析】（1）∵ 0 ? d ? R ? r ，∴两个圆内含；
（2）∵两圆相切，∴ d ? R ? r ，即5 ? R ? 3 ，解得： R1 ? 2 ， R2 ? 8 ．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例16】 两圆的半径比为 2 : 3，圆心距等于小圆半径的 2 倍，则这两个圆的位置关系是（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切或内含
【难度】★
【答案】C．
【解析】设两圆半径分别为2k 、3k ，则圆心距d ? 4k ，
∵ R ? r ? d ? R ? r ， ∴两圆相交．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
3431261179317【例17】 两圆的圆心坐标分别为（ 3 ，0）和（0，1）它们的半径分别是 3 和 5，则这两个圆的位置关系是 ．
【难度】★
【答案】内切．
3 ? 1
【解析】圆心距d ? ? 2 ，∵ d ? R ? r ，∴两圆内切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例18】 设 R、r 是两圆的半径，d 为圆心距，如果它们满足 R2 ? r2 ? 2Rd ? d 2 ? 0 ，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【难度】★★
【答案】B．
【解析】∵ R2 ? r2 ? 2Rd ? d 2 ? 0 ，∴ ?R ? d ?2 ? r2 ，∴ R ? r ? d 或 R ? r ? d ，
∴两个圆相切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例19】 若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交于一点
C．平行或交于一点 D．有两条弦平行，第三条与它们相交
【难度】★★
【答案】C．
【解析】∵三圆两两相交得到三条公共弦，
∴三条公共弦垂直于三条连心线，如图：
14868312738543519657119970
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
A
C
B
262935190603000134906033735149060【例20】 如图，已知 A 、 B 和 C 两两外切，AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，求这三个圆的半径．
【难度】★★
【答案】 RA ? 3cm ， RB ? 2cm ， RC ? 4cm ．
206102690612433136906128065169061【解析】∵ A 、 B 和 C 两两外切，
AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，
?RA ? RB ? 5 ? RA ? 3
∴ ?R ? R ? 6 ，解得?R ? 2 ，
? B C ? B
?R ? R ? 7 ?R ? 4
? A C ? C
∴这三个圆的半径分别是 RA ? 3cm ， RB ? 2cm ， RC ? 4cm ．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
223172942924【例21】 已知
O1 与
O2 相交于 A、B 两点，
O1 与
O2 的半径分别为 2 和
，公共
2632934-3267734071324-3267734472528-3267732
弦长为 2，则?O1 AO2 ???．
4551421-77263【难度】★★
20609143519552460849351955【答案】105? 或15? ．
【解析】∵
O1 和
O2 相交于 A、B 两点，
∴ AB ? O O ， AH ? 1 AB ? 1 ，
1 2 2
∵ O1 A ? 2 ，∴ ?O1 AH ? 60? ，
2
32679677990607
∴ O2 A ? ，∴ ?O2 AH ? 45? ，∴ ?O1 AO2 ? 60? ? 45? ? 105? ； 当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得?O1 AO2 ? 60? ? 45? ? 15? ；
综上可知， O1O2 的长为4 ?
7 或4 ? ．
【总结】本题考查了相交圆的性质．
【例22】 如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为 4 和 1，则它们与墙的切点 A、
A
B
B 间的距离为 ．
【难度】★★
【答案】4．
?4 ? 1?2 ? ?4 ?1?2
【解析】 AB ? ? 4 ．
【总结】本题考查了切线的相关性质及勾股定理．
400845926541【例23】 如图，以O2 为圆心的两个同心圆和
求证：四边形 ABCD 为等腰梯形．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接O1O2 ，
O1 分别交于 A、B、C、D 四点．
A
D
C
B
348267943050∵以O2 为圆心的两个同心圆和 O1 分别交于 A、B、C、D 四点，
∴ O1O2 ? AB ， O1O2 ? CD ，
∴ AB ∥ CD ，∴ AD ? BC ，又∵ AB ? DC ，
∴四边形 ABCD 为等腰梯形．
【总结】本题考查了相交圆的有关性质及梯形的证明．
237015942416【例24】 如图，
O1 、
O2 外切与点 A，过点 A 的直线分别交
O1 和
O2 于点 P、C．
2771999-3382035072719-3382035473924-338203P
A
C
求证： PA : PC ? O1 A : O1O2 ．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接O1O2 、O1P 、O2C ，
183993442416223986942416∵ O1 、 O2 外切与点 A，∴ O1O2 经过点 A，
∵ ?O1PA ? ?O1 AP ， ?O2 AC ? ?O2CA ， ?O1 AP ? ?O2 AC
∴ ?O AP ∽ ?O AC ，∴ PA ? O1 A
1 2 ，
AC O2 A
∴ PA ?
O1 A
，即 PA ?
O1 A ，
PA ? AC O1 A ? O2 A
∴ PA : PC ? O1 A : O1O2 ．
PC O1O2
【总结】本题考查了垂径定理及三角形的相似．
【例25】 已知相交两圆的半径分别为 5 和 4，公共弦长为 6，求两圆的圆心距长．
【难度】★★
2126237664087
4604037-13775【答案】4 ? 7 或4 ? ．
206091442924【解析】∵
O1 和
O2 相交于 A、B 两点，
2460849-267731∴ AB ? O O ， AH ? 1 AB ? 3 ，
1 2 2
O A2 ? AH 2
1
∵ O A ? 5 ，∴ O H ?
? 4 ，
1 1
O A2 ? AH 2
2
7
7
∴ O A ? 4 ，∴ O H ? ? ，即OO 的长为4 ? ；
2 2 1 2
7
当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得O1O2 的长为4 ? ；
326796766708综上可知， O1O2 的长为4 ?
7 或4 ? ．
7
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
【例26】 如图，矩形 ABCD，AB = 5，BC = 12．分别以 A、C 为圆心的两圆相切，点 D
A
D
B
C
在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，求圆 A 的半径 r 的取值范围．
【难度】★★★
【答案】两圆外切时，1 ? RA ? 8 ；内切时，18 ? RA ? 25 ．
【解析】连接 AC ，
∵AB = 5，BC = 12，∴ AC ? 13 ，
∵点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，∴ 5 ? RC ? 12 ，
当两圆外切时， RA ? RC ? 13 ， RA ? 13 ? RC ，∴1 ? RA ? 8 ； 当两圆内切时， RA ? RC ? 13 ， RA ? 13 ? RC ，∴18 ? RA ? 25 ．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及点与圆的位置关系．
【例27】 如图，PQ = 10，以 PQ 为直径的圆与一个半径为 20 的圆 O 内切于点 P．正方形 ABCD 的顶点 A、B 在大圆上，小圆在正方形外部，且与 CD 相切与点 Q，求
C
A
P
Q
O
E
D
B
AB 的长．
【难度】★★★
19
【答案】8 ? 4 ．
【解析】连接OA 、OB ，连接 PO 并延长交 AB 于点 E ， 由对称性可知 PO 经过点Q ，
∵以 PQ 为直径的圆与 CD 相切与点 Q，
∴ PQ ? CD ，∵ CD ∥ AB ，∴ PE ? AB ，∴ AE ? BE ，
设正方形的边长为a ，则 AE ? a ， OE ? a ? OQ ? a ?10 ， OA ? 20 ，
2
? a ?2 2
由 AE2 ? OE2 ? OA2 ，即? ?
19
? 2 ?
? ?a ? 10?
? 202 ，
19
解得： a1 ? 8 ? 4
， a2 ? 8 ? 4
（舍），
19
∴AB 的长为8 ? 4 ．
【总结】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系．
4272619352423【例28】 （1）计算：如图 1，直径为 a 的三等圆
O1 、
O2 、
O3 两两外切，切点分
4671919-4039885088478-403988别为 A、B、C，求O1 A 的长（用含 a 的代数式表示）；
（2）探索：若干个直径为 a 的圆圈分别按如图 2 所示的方案一和如图 3 所示的方案 2 的方式排放，探索并求出这两种方案中 n 层圆圈的高度hn 和 h’n（用含
n 和 a 的代数式表示）；
3
）
B
C
A
图 1
（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为 5 米，宽为 3．1 米，高为 3．1 米．用这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径（横截面的外圆直径）为 0．1 米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管最多？并
求出这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（
【难度】★★★
? 1.73
n 层
n 层
…
…
…
…
3 层
3 层
h’n
2 层
1 层
2 层
1 层
图 2
图 3
h’1
h’2
h’3
…
…
2275576111087380618398163【答案】（1） 3 a ；（2） h ? na ， h? ? 3 ?n ?1? a ? a ；
2 n n 2
404846435534444483993553444864324355344（3）方案二装运更多，可以装运 1068 根钢管．
【解析】（1）连接O1 A ，∵直径为 a 的三等圆
O1 、
O2 、
O3 两两外切，
∴ O1O3 ? O3O2 ? O1O2 ，∴ ?O1O2O3 是等边三角形，∴ ?O1O2O3 ? 60? ，
∵ O O ? O O ，∴ O A ? O O ，∴ O A ? O O
? sin 60? ? 3 a ．
1 3 1 2
1 3 2
1 1 2 2
282320387630（2） h ? na ； h? ? 3 ?n ?1? a ? a ；
n n 2
（3）方案二这种集装箱中装运钢管数多．
理由：方案一： 0.1n ? 3.1，解得n ? 31 ， 31? 31 ? 961 （根）．方案二：根据题意，第一层排放 31 根，第二层排放 30 根，
设钢管的放置层数为n ，可得
∵ n 为正整数，∴ n ? 35 ，
3 ?n ?1?? 0.1 ? 0.1 ? 3.1 ，解得n ? 35.6 ，
2
钢管放置的最多根数为： 31?18 ? 31?17 ? 1068 （根）
【总结】本题考查了相切两圆的性质，综合运用了等边三角形的性质和勾股定理．
【例29】 如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，以 E 为圆心、EC 为半径的半圆
与以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，求sin ?EAB 的值．
D C
【难度】★★★
3 E
F
【答案】 ．
5
【解析】设正方形的边长为 1， EC ? r ，则 BE ? 1? r ，
∵以 E 为圆心、EC 为半径的半圆与
A B
以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，
∴ AE ? 1? r ，
由 AB2 ? BE2 ? AE2 ，得：1 ? ?1 ? r ?2 ? ?1 ? r ?2 ，解得： r ? 1 ，
4
∴ BE ? 3 ， AE ? 5 ，∴ sin ?EAB ? EB ? 3 ．
4 4 EA 5
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
236623459860291445059860【例30】 如图， O ' 经过 O 的圆心，E、F 是两圆的交点，直线OO ' 交于点 Q、D，
19395131126004132220104319交 O ' 于点 P，交 EF 于点 C，且 EF = 2 15 ， sin ?P ? 1 ．
4
30287501152892818988369920（1）求证：PE 是 O 的切线； E
243121592245（2） 求 O 和
【难度】★★★
O ' 的半径的长．
Q O C D P
326047291759428075891759【答案】（1）详见解析；（2） O 的半径为 4，
【解析】（1）连接O?E 、OE ，
O ' 的半径为 8． F
∵ O?O ? O?E ? O?P ，∴ ?O?OE ? ?O?EO ， ?O?EP ? ?P ，
372979091171∴ ?O?EP ? ?O?EO ? 90? ，∴PE 是 O 的切线；
251678013123215
（2）∵EF = 2 15 ，∴ EC ? ，
3116750199718∵ sin ?P ? 1 ，∴ EP ? 4 15 ， PC ? 15 ，∵ ?PEC ∽ ?POE ，
4
4 15
∴ PE ? PC ， 即 4 15 ? 15
，解得 PO ? 16 ，∴
46566789060O ' 的半径为 8，
PO PE PO
OC 2 ? CE2
468858775817∵ OC ? PO ? PC ? 1 ，∴ OE ? ? 4 ，∴ O 的半径为 4，
237343059311339366459311综上可知， O 的半径为 4， O ' 的半径为 8．
【总结】本题考查了切线的证明、相交圆的性质及勾股定理的综合应用．
随堂检测
249847260495【习题1】 已知 O 的直径为 10 厘米，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10 厘米， 则这条直线和这个圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离
【难度】★
【答案】A．
【解析】由题意得半径r ? 5cm ，圆心距d ? 10cm ，
∵ r ? d ，∴直线和这个圆相离．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【习题2】 已知在?ABC 中，?ABC ? 90? ，AB = 4，BC = 3，以 A 为圆心，以 r 为半径的圆与 BC 有公共点，则 r 的取值范围是 ．
【难度】★
【答案】4 ? r ? 5 ．
【解析】当圆 A 与 BC 相切时，可知r ? 4 ，当点 B 在圆内，点C 在圆外或圆上时，
4 ? r ? 5 ，综上4 ? r ? 5 ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
249842942035【习题3】 已知
O1 和
O2 的半径分别是 5 厘米和 7 厘米，圆心距O1O2 是 2 厘米，
2899634-336678则这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【难度】★
【答案】D．
【解析】∵圆心距d ? R ? r ? 2cm ，∴两个圆内切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【习题4】 已知两圆的半径之比为 3 : 5，两圆内切时，圆心距为 6，则两圆的半径分别是 ，这两圆外切时，圆心距为 ．
【难度】★★
【答案】半径分别是 9 和 15；圆心距为 24．
【解析】设两圆的半径分别为3k ， 5k ，则由题意得5k ? 3k ? 6 ，解得 k ? 3 ，
∴两圆的半径分别为 9 和 15，当两圆外切时，圆心距d ? 15 ? 9 ? 6 ．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【习题5】 已知点 A 和点 B 都在 x 轴上，分别以点 A 和点 B 为圆心的两圆相交于点
M（ 3a ? b ，5）、N（9， 2a ? 3b ），则ab 的值为 ．
【难度】★★
1
【答案】 ．
8
?
【解析】由题意知： MN 的垂直平分线为 x 轴，
?
? 3a ? b ? 9
∴
，解得： ? a ? 2 ，∴ ab ? 2?3 ? 1 ．
?2a ? 3b ? ?5
?b ? ?3 8
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
25657829060405930290605119752906042022302636954816275516429【习题6】 如图， O 的半径为 3 厘米，B 为 O 外一点，OB 交 O 于点 A，AB = OA，动点 P 从点 A 出发，以? 厘米/秒的速度在 O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止．当点 P 运动的时间为 秒时，BP 与 O 相切．
P
O
A
B
【难度】★★
【答案】1 或 5 秒．
305605591759【解析】连接OP ，当 BP 与 O 相切时， OP ? PB ， 由题意得OP ? 3 ， OB ? 6 ，
∴ ?B ? 30? ， ?AOP ? 60? ，
当 P 在OA 上方时，
∴ P 点走过的路程l ?
当 P 在OA 下方时，
60 ? ? ? 6 ? ? 厘米，此时时间t ? 1 秒；
360
∴ P 点走过的路程l ? 270 ? ? ? 6 ? 5? 厘米，此时时间t ? 5 秒；
360
4316530115105综上，点 P 运动的时间为 1 或 5 秒时，BP 与 O 相切．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
327133660495364471660495492297160495529635160495【习题7】 在直角坐标系中， A 与 B 只有一个公共点， A 和 B 的半径分别为 2
和 6，点 A 的坐标为（2，1），点 B 为 x 轴上一点，求点 B 的坐标．
2176333360145306106836014540086023601454901508360145【难度】★★
【答案】?2 ?
15 ，0?、?2 ?
15 ，0?、?2 ? 3 7 ，0?、?2 ? 3 7 ，0?．
?x ? 2?2 ? 1
【解析】设 B ?x,0?，则圆心距d ? AB ? ，
184004656051221215656051365233656051402571656051∵ A 与 B 只有一个公共点，∴ A 和 B 相切，
18400461348722212156134872?x ? 2?2 ? 1
当 A 与 B 内切时， r ? r ? d ，即4 ? ，
B A
15
15
解得： x1 ? 2 ? ， x2 ? 2 ? ；
18400461094712212156109471当 A 与 B 外切时， r ? r
? d ，即8 ?
?x ? 2?2 ? 1 ，
B A
7
7
407008345223750188874522375913425452237解得： x1 ? 2 ? 3 ， x2 ? 2 ? 3 ．
3183443194520综上，点 B 的坐标为?2 ?
15 ，0?、?2 ?
15 ，0?、?2 ? 3 7 ，0?、?2 ? 3 7 ，0?．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
497619952871【习题8】 如图，等边?ABC 的边长为 10，以 AB 为直径作 O1 ，点O2 在 BC 边上，
416328357737且CO2 ? 2 ，以O2 为圆心，O2C 为半径作
O2 ，请判断
O1 与
O2 的位置关系，
4953339-3364245353274-336424A
B
H
C
并证明你的结论．
【难度】★★★
【答案】外切．
【解析】连接O1O2 ，作O1H ? BC 于点 H ，
由题意得O1B ? 5 ， ?ABC ? 60? ，
O H 2 ? O H 2
1
2
∴ BH ? 5 ， OH ? 5 3 ，∵ O B ? 8 ，∴ O O ?
? 7 ，
2
∵ O1O2 ? RO
1 2
RO ，∴
3035004-7313O1 与
2 1 2
3434939-7014O2 外切．
1 2
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
1106424-8704872570184128365O2
4703061135021【习题9】 如图， O 和 相交于 A、B 两点，O A ? 3 5 ，O A ? 5 ，cos ?AO B ? 3 ．
1 1 2 1 5
A
C
H
B
求： sin ?BAO2 的值．
【难度】★★★
【答案】 4 ．
5
【解析】作 AH ? O1B 于点 H ，
2250691212120∵ O A ? 3 5 ， cos ?AO B ? 3 ，
1 1 5
5
∴ AH ? 12 5 ， OH ? 9 5 ，∴ BH ? 3
? 9 5 ? 6 5 ，
5
AH 2 ? BH 2
∴ AB ?
1 5
O1
? 6 ，∵ 和
5 5
O2
相交于 A、B 两点，
O A2 ? AC 2
2
∴ AC ? 1 AB ? 3 ， O C ?
? 4 ，
2
2
∴ sin ?BAO
2
? O2C ? 4 ．
O2 A 5
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及三角比的综合运用．
【习题10】 如图，三个半圆的半径均为 R，它们的圆心C1 、C2 、C3 在同一条直线上，
391309442542且每一圆心都在另一半圆的圆周上．
C4 与这三个半圆均相切，用 r 表示
C4 的
6020658-331725半径，求 R : r．
【难度】★★★
【答案】 R : r ? 4 :1．
【解析】连接C1C4 、C3C4 、C2C4 ，
184045358118∵ C4 与这三个半圆均相切，∴ C1C4 ? R ? r ， C2C4 ? R ? r ， C1C2 ? R ，
1 2 2 4 1 4
∵ C C 2 ? C C 2 ? C C 2 ，∴ ?R ? r ?2 ? R2 ? ?R ? r ?2 ，解得 R ? 4r ，
∴ R : r ? 4 :1．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
课后作业
223177260495374185560495【作业1】 O 的半径为 R，直线l 和 O 有公共点，若圆心到直线 l 的距离是 d，则
d 与 R 大小关系是（ ）
A． d ? R
【难度】★
【答案】D．
B． d ? R
C． d ? R
D． 0 ? d ? R
255181292394436410292394【解析】∵直线l 和 O 有公共点，∴直线直线l 和 O 相交或相切，∴ 0 ? d ? R ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【作业2】 已知圆的直径是 13 厘米，圆心到直线 l 的距离为 6 厘米，则直线和这个圆的公共点的个数是 个．
【难度】★
【答案】两个．
【解析】由题意得r ? 13 ， d ? 6 ，∵ r ? d ，∴直线和这个圆相交，∴有两个交点．
2
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【作业3】 （1）有两个圆，一个圆的半径 R = 4，两圆的圆心距是 5，另一个圆的半径 r 满足什么条件时这两个圆外离？
（2）两个圆的圆心距为 2 厘米，一个圆的半径为 10 厘米，要使这两个圆内含， 另一个圆的半径应满足什么条件？
（3）已知两个圆内切，圆心距是 2 厘米，如果一个圆的半径是 3 厘米，那么另一圆的半径是多少？
【难度】★★
【答案】（1） r ? 1；（2） 0cm ? r ? 8cm 或 r ? 12cm ；（3）半径是 1 或 5 厘米．
【解析】（1）∵两个圆外离，∴ d ? R ? r ，即5 ? 4 ? r ，解得r ? 1；
（2）∵两个圆内含，∴ 0 ? d ? R ? r ，即2 ? 10 ? r ，
解得0cm ? r ? 8cm 或 r ? 12cm ；
（3）∵两个圆内切，∴ d ? R ? r ，即2 ? 3 ? r ，解得r1 ? 1 ， r2 ? 5 ，
∴圆的半径是 1 或 5 厘米．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
2231772688993256027688993
【作业4】 O 的半径为 6， O 的一条弦 AB 长6 ，以 3 为半径的同心圆与直线
4381584187063AB 的关系是 ．
【难度】★★
【答案】相切．
【解析】如图，作OH ? AB 于点 H ，
2240655130842∴ BH ? 3 3 ，
OB2 ? BH 2
∴ OH ? ? 3 ，
∵ d ? OH ，∴直线 AB 与圆相切．
【总结】本题考查了垂径定理及直线与圆的位置关系．
3009012112714【作业5】 若线段 PQ 与 O 只有一个公共点，那么这条线段的两个端点 P、Q 只能是（ ）
A．至少有一点在圆外
B．至多有一点在圆内
357162293516C．P、Q 两点中一定有一点在 O 外
243121592880374815292880504228292880D．一点在 O 的内部，另一点在 O 的外部；或 PQ 是 O 的切线，P、Q 之一为切点
【难度】★★
【答案】B．
270421291759【解析】∵线段 PQ 与 O 只有一个公共点，
∴线段与圆相交或相切，如图所示：
1491730162161
综上可知选 B．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
533176868422【作业6】 在直角梯形 ABCD 中，AD // BC， AB ? AD ， AB ? 10 3 ，AD、BC 的长
是方程 x2 ? 20x ? 75 ? 0 的两根，那么以点 D 为圆心、AD 为半径的圆与以点 C
为圆心、BC 为半径的圆的位置关系是 ．
【难度】★★
【答案】外切．
【解析】∵AD、BC 的长是方程 x2 ? 20x ? 75 ? 0 的两根，∴ AD ? 5 ， BC ? 15 ，
∴ RD ? 5 ， RC ? 15 ，
由题意易得 DC ? 20 ，∴ DC ? RD ? RC ，∴两个圆外切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
249842958037【作业7】 已知
O1 和
O2 相交于 A、B 两点，AB = 24， O1O2 ? 25 ，
O1 的半径为
2899634-3530615634694-35306122062134317820，求
【难度】★★
O2 的半径．
6
4368802-335516【答案】15 或15 ．
206091442923【解析】∵
O1 和
O2 相交于 A、B 两点，
2460849-268365∴ AB ? O O ， AH ? 1 AB ? 12 ，
1 2 2
O A2 ? AH 2
1
∵ O A ? 20 ，∴ O H ? ? 16 ，
1 1
O H 2 ? AH 2
2
∴ O H ? 9 ，∴ O A ?
? 15 ，即
的半径为 15；
6
2 2
O2
397405343047当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得
O2 的半径为15 ；
237385343047综上可知，
O2 的半径为15 或15 ．
6
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
2916302276481【作业8】 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，P 是边 AD 上一点（除端点外），过三点 A、B、P 作 O ．
（1）指出圆心 O 的位置；
362940794150（2）当 AP = 3 时，判断 CD 与 O 的位置关系；
265722292880394759592880（3）当 CD 与 O 相切时，求 BC 被 O 截得的弦长．
【难度】★★★
【答案】（1）线段 BP 的中点；（2）相离；（3） 55 ．
16
【解析】（1）由题意得O 为 Rt?BAP 的外心，∴圆心 O 为线段 BP 的中点；
B
C
E
F
A
P
D
O
（2）过圆心O 作 EF ∥ AD 交 AB 、CD 于点 E 、 F ，
2
∵ AB ? AP ? 3，∴ BP ? 3
，∴ OP ? ，
3 2
2
1 3 3 5
∵ OE ? BP ? ，∴ OF ? 4 ? ? ，
2 2 2 2
5 3 2
29785329557∵ ? ，∴CD 与 O 相离．
2 2
2509267808732210235361539（3）设 CD 与 O 相切于点Q ，连接OQ ，则OQ ? CD ， 设 BC 被 O 截得的弦长为 x ，
∵ ABCD 为矩形，∴ AP ? x ， PD ? 4 ? x ，
9 ? x2
5080634135528∴ OQ ? 1 ?BC ? PD? ? 8 ? x ， BP ? ，
2 2
2190550137365∵CD 与 O 相切，∴ OQ ? 1 BP ，
2
即 8 ? x
? ，解得： x ? 55 ，
9 ? x2
2 2 16
2177162145620∴BC 被 O 截得的弦长为 55 ．
16
【总结】本题考查了切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合应用．
2
【作业9】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC，AB ? BC ，AB = AD = 2，DC ? 2 ，
488485559860233852131449528445473144953231331314495A
D
B
H P
C
点 P 在边 BC 上运动，若以点 D 为圆心、1 为半径作 D ，以 P 为圆心、PC 长为半径作 P ，当 D 与 P 相切时，求 CP 的长．
【难度】★★★
【答案】 7 或 7 ．
6 2
【解析】如图，作 DH ? BC 于点 H ，
由题意易得 DH ? AB ? 2 ，∵ DC ? 2
设 PC ? x ，则 PH ? 2 ? x ，∴ DP ?
，∴ CH ? 2 ，
2
DH 2 ? PH 2
4 ? ?2 ? x?2
? ，
4 ? ?2 ? x?2
综上可知 R ? 1 ， R ? x ，圆心距 DP ? ，
D P
1840030857422254918574当 D 与 P 外切时， R
R ? DP ，即1 ? x ?
，解得 x ? 7 ，
4 ? ?2 ? x?2
D P 6
18400301813752225491181375当 D 与 P 内切时， R ? R
? DP ，即 x ?1 ?
，解得 x ? 7 ．
4 ? ?2 ? x?2
P D 2
22393921819642626754181964综上，当 D 与 P 相切时，CP 的长为 7 或 7 ．
6 2
【总结】本题考查了圆与圆的相切，要注意分类讨论．
46594467646【作业10】 如图，扇形 OAB 的弦 AB = 18，半径为 6 的 C 恰与 OA、OB 和 AB 相切，
180505259861232455159861375265059861D 又与 C 、OA、OB 相切，求 D 的半径． A B
【难度】★★★
C
【答案】2．
M
【解析】连接CM 、 DN 、OC ，
1840046-18623667507-18624187006-1862∵ C 恰与 OA、OB 和 AB 相切， D 又与 C 、OA、OB 相切， D
N
∴ CM ? OB ， DN ? OB ， OC ? AB ，
184003092140设 D 的半径为r ，则由题意得OC ? OB ? 6 ， OD ? OB ?12 ? r ，
1 AB O
由 CM ? 2
OC OB
1 AB
，即 6
OB ? 6
? 9 ，解得OB ? 18 ，
OB
由 DN ? 2
OD OB
，即 r
18 ?12 ? r
? 9 ，解得r ? 2 ，∴ D 的半径为 2．
4671495-13422618
【总结】本题考查了切线的性质及相似三角形的综合．
内容分析
直线与圆、圆与圆的位置关系是九年级下学期第一章第二节的内容．重点是 理解直线与圆的三种位置关系和圆与圆之间的五种位置关系，掌握它们数量表达， 并学会判断直线与圆、圆与圆的位置关系．难点是直线与圆、圆与圆位置关系在 实际中的应用，及分类讨论的思想．
知识结构
1167385788054
模块一：直线与圆的位置关系
知识精讲
1、 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交
当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；
当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的割线．
2、 数量关系描述直线与圆的位置关系
192570292881如果 O 的半径长为 R，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么： 直线 l 与相交? 0 ? d ? R ；
直线 l 与相切? d ? R ； 直线 l 与相离? d ? R ．
3、 切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
例题解析
【例1】 在 ?ABC 中， ?C ? 90? ，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？
（1）r = 2 cm；（2）r = 2.4 cm；（3）r = 3 cm．
【难度】★
【答案】（1）相离；（2）相切；（3）相交．
【解析】由题意得圆心C 到直线 AB 的距离为d ? 2.4cm ，
（1）∵ r ? d ，∴直线 AB 于圆相离；
（2）∵ r ? d ，∴直线 AB 于圆相切；
（3）∵ r ? d ，∴直线 AB 于圆相交．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
22317721132003165910113200【例2】 经过 O 上一点 P 作 O 的切线．
3720288235022【难度】★
【答案】如图所示．
43183828574【解析】连接OP ，过点 P 作OP 的垂线l ，则l 为 O 的切线．
【总结】本题考查了切线的作法．
23613121125665514722112566【例3】 已知， O 的圆心 O 的坐标是（4，6），半径为 5，则 x 轴与 O 的位置关系是 ．
【难度】★
【答案】相离．
206101092880【解析】∵ O 的圆心 O 的坐标是（4，6），∴圆心 O 到 x 轴的距离d ? 6 ，
291757291124∵ d ? r ，∴则 x 轴与 O 相离．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
312463521760【例4】 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 5，则 r 的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】r ? 5 ．
321607592880【解析】∵直线 l 与半径为 r 的 O 相交，∴ r ? d ，即r ? 5 ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【例5】 如图，在射线 OA 上取一点 A，使 OA = 4 cm，以 A 为圆心，作一个直径为 4 cm
508038294266的圆．问射线 OB 与 OA 所夹锐角? 取怎样的值时，OB 与 O 相离、相切、相交？
【难度】★★
3185595918412990650346471H
O
A
【答案】当0 ? ? ? 30? ，OB 与 O 相交； 当? ? 30? ，OB 与 O 相切；
329412711682当30? ? ? ? 90? ，OB 与 O 相交．
【解析】作OH ? AB 于点 H ，
220891291692当 OB 与 O 相切时， OA ? 4cm ， AH ? 2cm ，此时? ? 30? ，
3091562929622766495345696∴当0 ? ? ? 30? ，OB 与 O 相交； 当? ? 30? ，OB 与 O 相切；
306997210412当30? ? ? ? 90? ，OB 与 O 相交．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【例6】 等腰?ABC ，AB = AC = 5，CB = 6，以 BC 中点为圆心作圆，两腰所在直线与圆相离，则半径 r 的取值范围为 ．
463055027249【难度】★★
【答案】0 ? r ? 12 ．
5
【解析】如图，作 AD ? BC ， DE ? AC ，
由题意易得 DC ? 3 ， AD ? 4 ∴ DE ? 12 ，
5
∵两腰所在直线与圆相离，
∴ 0 ? r ? DE ，∴ 0 ? r ? 12 ．
5
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【例7】 在 ?ABC 中， ?C ? 90? ，AC = 5，BC = 12，若以 C 为圆心，R 为半径，所作的圆与斜边 AB 没有公共点，则 R 的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】0 ? R ? 60 或 R ? 12 ．
13
【解析】圆心C 到斜边 AB 的距离 d ? 60 ，
13
∴当圆与 AB 相离时， 0 ? R ? 60 ，当边 AB 所有点都在圆内部时， R ? 12 ，
13
综上， 0 ? R ? 60 或 R ? 12 ．
13
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
O
【例8】 如图，已知 是以平面直角坐标系的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，
?AOB ? 45? ，点 P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与有公共点， 设 P 的横坐标为 x，则 x 的取值范围是（ ）
2
2
2
y
2
A． 0 ? x ? B． ? ? x ?
C． ?1 ? x ? 1
【难度】★★
【答案】B．
D． x ?
H A
C O P B x
2769670935152
【解析】作l ∥ OA 且与 O 相切，过O 点作OH ? 直线l ， 则?HCO ? ?AOB ? 45? ，∵ OH ? 1 ，∴ OC ? ，
2
330499098085∴x 的取值范围是? ? x ? 2 ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
2
【例9】 在 ?ABC 中， AB ? 4 ， AC ? 2
，若以 A 为圆心，2 为半径的圆与直线 BC
相切，则?BAC 的度数为 ．
【难度】★★
442955196133【答案】105? 或15? ．
【解析】当?BAC 为钝角时，
作 AD ? BC 于 D ，则 AD ? 2 ，
2
∵ AB ? 4 ， AC ? 2 ，
∴ ?BAD ? 60? ， ?CAD ? 45? ，
∴ ?BAC ? 60? ? 45? ? 105? ；
当?BAC 为锐角时，作 AD ? BC 于 D ，则 AD ? 2 ， 同理可得?BAC ? 60? ? 45? ? 15? ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
2695322969636033729696【例10】 如图，AB 是 O 的弦，C 是 O 外一点，OC 交 AB 于点 D，若OA ? OC ，
A
O
D
C
B
CD = CB．
254292292880求证：CB 是 O 的切线．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OB ，
∵ OA ? OB ，∴ ?OAB ? ?OBA ，
∵ CD ? CB ，∴ ?CDB ? ?CBD ，
∵ OA ? OC ，∴ ?OAD ? ?ADO ? 90? ，
∵ ?CDB ? ?ADO ，∴ ?OBA ? ?CBD ? 90? ，
217716291124∴CB 是 O 的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
276517270655【例11】 已知：如图， O 的半径为 6 cm， OD ? AB ，垂足为点 D， ?AOD ? ?B ，
O
A
D
B
2535302345192AD = 12 cm，BD = 3 cm． 求证：AB 是 O 的切线．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】∵ ?AOD ? ?B ， ?A ? ?A ，
∴ ?AOD ∽ ?ABO ，∴ AO ? AD ，即 AO ? 12
，解得： AO ? 6 5 ．
5465281-118805AB AO 15 AO
OA2 ? AD2
∵ OD ? AB ，∴ OD ? ? 6 ，
336403070021∵ OD ? R ? 6 厘米，∴AB 是 O 的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
4936872113201【例12】 如图，在?ABC 中， ?C ? 90? ，AC = 5，BC = 12， O 的半径为 3．
368407091124（1）当圆心 O 与 C 重合时， O 与 AB 的位置关系怎样？
468414292245（2）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 相切；
468414292881（3）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 有公共点．
【难度】★★
【答案】（1）相离；（2） 7 ；（3） 7 ? OC ? 5 ．
4 4
B
D
C
O
A
【解析】（1）作CH ? AB 于点 H ， B
∵AC = 5，BC = 12，∴ AB ? 13 ， CH ? 60 ? 3 ，
13
1794310115106∴ O 与 AB 相离；
192697291124（2）∵ O 与 AB 相切，
∴ OD ? AB ， OD ? R ? 3 ， 设OC ? x ，则 AO ? 5 ? x ，
H
A
C (O)
则 OD ? BC ， 即 3
? 12 ，解得 x ? 7 ，
OA AB
5 ? x 13 4
2605152136133∴当OC ? 7 时， O 与 AB 相切；
4
17943101158893210307115889（3） O 与 AB 有公共点，则 O 与 AB 相切或相交，
∴点O 到直线 AB 的距离d ? R ，可得OC ? 7 ，又∵点O 在 AC 边上，
4
∴ 7 ? OC ? 5 ．
4
【总结】本题考查了切线的性质及点与圆的位置关系与相似三角形结合的综合题．
2695322217603819907217602716330276395C
D
A
O
B
【例13】 如图，AB 是 O 的直径，BC 是 O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD． 求证：DC 是 O 的切线．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OD ，
∵ OA ? OD ，∴ ?OAD ? ?ODA ，
∵ OC ∥ AD ，∴ ?OAD ? ?BOC ， ?ODA ? ?DOC ，
∴ ?BOC ? ?DOC ，
∵ OB ? OD ， OC ? OC ，
∴ ?CBO ≌ ?CDO ，
217716292880∵BC 是 O 的切线，切点为 B，∴ OB ? BC ，
∴ ?ODC ? ?OBC ? 90? ，
219055092880∴DC 是 O 的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
【例14】 已知，如图，在梯形 ABCD 中，AD // CB， ?D ? 90? ，且 AD + BC = AB，AB
193909092880 A D
O
H
B
C
为 O 的直径．
220579090489求证： O 与 CD 相切．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】作OH ? DC 于点 H ，
∵AD // CB， ?D ? 90? ， AO ? BO ，
∴ OH 是梯形 ABCD 的中位线，∴ OH ? 1 ? AD ? BC ?，
2
∵ AD ? BC ? AB ，∴ OH ? 1 AB ? OA ，
2
1840030115106∴ O 与 CD 相切．
【总结】本题考查了切线的证明．
模块二：圆与圆的位置关系
知识精讲
1、 圆与圆的位置关系
图 1
图 2
图 3
图 4
图 5
外离：图 1 中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．
外切：图 2 中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．
相交：图 3 中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．
内切：图 4 中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．
内含：图 5 中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时，称它们为同心圆．
综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切．
2、 相关概念
圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线．
3、 两圆位置关系的数量表达
如果两圆的半径长分别为 R1 和 R2 ，圆心距为 d，那么两圆的位置关系可用 R1 、R2 和
d 之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离? d ? R1 ? R2 ；
两圆外切? d ? R1 ? R2 ；
两圆相交? R1 ? R2 ? d ? R1 ? R2 ；
两圆内切? 0 ? d ? R1 ? R2 ；
两圆内含? 0 ? d ? R1 ? R2 ．
4、 相关定理
（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．
例题解析
【例15】 （1）一个圆的半径为 9 厘米，另一圆的半径为 4 厘米，圆心距为 3 厘米，判断两个圆的位置关系
（2）相切两圆的圆心距为 5，其中一个圆的半径为 3，那么另一个圆的半径是多少？
【难度】★
【答案】（1）内含；（2）2 或 8．
【解析】（1）∵ 0 ? d ? R ? r ，∴两个圆内含；
（2）∵两圆相切，∴ d ? R ? r ，即5 ? R ? 3 ，解得： R1 ? 2 ， R2 ? 8 ．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例16】 两圆的半径比为 2 : 3，圆心距等于小圆半径的 2 倍，则这两个圆的位置关系是（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切或内含
【难度】★
【答案】C．
【解析】设两圆半径分别为2k 、3k ，则圆心距d ? 4k ，
∵ R ? r ? d ? R ? r ， ∴两圆相交．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
3431261179317【例17】 两圆的圆心坐标分别为（ 3 ，0）和（0，1）它们的半径分别是 3 和 5，则这两个圆的位置关系是 ．
【难度】★
【答案】内切．
3 ? 1
【解析】圆心距d ? ? 2 ，∵ d ? R ? r ，∴两圆内切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例18】 设 R、r 是两圆的半径，d 为圆心距，如果它们满足 R2 ? r2 ? 2Rd ? d 2 ? 0 ，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【难度】★★
【答案】B．
【解析】∵ R2 ? r2 ? 2Rd ? d 2 ? 0 ，∴ ?R ? d ?2 ? r2 ，∴ R ? r ? d 或 R ? r ? d ，
∴两个圆相切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例19】 若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交于一点
C．平行或交于一点 D．有两条弦平行，第三条与它们相交
【难度】★★
【答案】C．
【解析】∵三圆两两相交得到三条公共弦，
∴三条公共弦垂直于三条连心线，如图：
14868312738543519657119970
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
A
C
B
262935190603000134906033735149060【例20】 如图，已知 A 、 B 和 C 两两外切，AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，求这三个圆的半径．
【难度】★★
【答案】 RA ? 3cm ， RB ? 2cm ， RC ? 4cm ．
206102690612433136906128065169061【解析】∵ A 、 B 和 C 两两外切，
AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，
?RA ? RB ? 5 ? RA ? 3
∴ ?R ? R ? 6 ，解得?R ? 2 ，
? B C ? B
?R ? R ? 7 ?R ? 4
? A C ? C
∴这三个圆的半径分别是 RA ? 3cm ， RB ? 2cm ， RC ? 4cm ．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
223172942924【例21】 已知
O1 与
O2 相交于 A、B 两点，
O1 与
O2 的半径分别为 2 和
，公共
2632934-3267734071324-3267734472528-3267732
弦长为 2，则?O1 AO2 ???．
4551421-77263【难度】★★
20609143519552460849351955【答案】105? 或15? ．
【解析】∵
O1 和
O2 相交于 A、B 两点，
∴ AB ? O O ， AH ? 1 AB ? 1 ，
1 2 2
∵ O1 A ? 2 ，∴ ?O1 AH ? 60? ，
2
32679677990607
∴ O2 A ? ，∴ ?O2 AH ? 45? ，∴ ?O1 AO2 ? 60? ? 45? ? 105? ； 当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得?O1 AO2 ? 60? ? 45? ? 15? ；
综上可知， O1O2 的长为4 ?
7 或4 ? ．
【总结】本题考查了相交圆的性质．
【例22】 如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为 4 和 1，则它们与墙的切点 A、
A
B
B 间的距离为 ．
【难度】★★
【答案】4．
?4 ? 1?2 ? ?4 ?1?2
【解析】 AB ? ? 4 ．
【总结】本题考查了切线的相关性质及勾股定理．
400845926541【例23】 如图，以O2 为圆心的两个同心圆和
求证：四边形 ABCD 为等腰梯形．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接O1O2 ，
O1 分别交于 A、B、C、D 四点．
A
D
C
B
348267943050∵以O2 为圆心的两个同心圆和 O1 分别交于 A、B、C、D 四点，
∴ O1O2 ? AB ， O1O2 ? CD ，
∴ AB ∥ CD ，∴ AD ? BC ，又∵ AB ? DC ，
∴四边形 ABCD 为等腰梯形．
【总结】本题考查了相交圆的有关性质及梯形的证明．
237015942416【例24】 如图，
O1 、
O2 外切与点 A，过点 A 的直线分别交
O1 和
O2 于点 P、C．
2771999-3382035072719-3382035473924-338203P
A
C
求证： PA : PC ? O1 A : O1O2 ．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接O1O2 、O1P 、O2C ，
183993442416223986942416∵ O1 、 O2 外切与点 A，∴ O1O2 经过点 A，
∵ ?O1PA ? ?O1 AP ， ?O2 AC ? ?O2CA ， ?O1 AP ? ?O2 AC
∴ ?O AP ∽ ?O AC ，∴ PA ? O1 A
1 2 ，
AC O2 A
∴ PA ?
O1 A
，即 PA ?
O1 A ，
PA ? AC O1 A ? O2 A
∴ PA : PC ? O1 A : O1O2 ．
PC O1O2
【总结】本题考查了垂径定理及三角形的相似．
【例25】 已知相交两圆的半径分别为 5 和 4，公共弦长为 6，求两圆的圆心距长．
【难度】★★
2126237664087
4604037-13775【答案】4 ? 7 或4 ? ．
206091442924【解析】∵
O1 和
O2 相交于 A、B 两点，
2460849-267731∴ AB ? O O ， AH ? 1 AB ? 3 ，
1 2 2
O A2 ? AH 2
1
∵ O A ? 5 ，∴ O H ?
? 4 ，
1 1
O A2 ? AH 2
2
7
7
∴ O A ? 4 ，∴ O H ? ? ，即OO 的长为4 ? ；
2 2 1 2
7
当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得O1O2 的长为4 ? ；
326796766708综上可知， O1O2 的长为4 ?
7 或4 ? ．
7
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
【例26】 如图，矩形 ABCD，AB = 5，BC = 12．分别以 A、C 为圆心的两圆相切，点 D
A
D
B
C
在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，求圆 A 的半径 r 的取值范围．
【难度】★★★
【答案】两圆外切时，1 ? RA ? 8 ；内切时，18 ? RA ? 25 ．
【解析】连接 AC ，
∵AB = 5，BC = 12，∴ AC ? 13 ，
∵点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，∴ 5 ? RC ? 12 ，
当两圆外切时， RA ? RC ? 13 ， RA ? 13 ? RC ，∴1 ? RA ? 8 ； 当两圆内切时， RA ? RC ? 13 ， RA ? 13 ? RC ，∴18 ? RA ? 25 ．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及点与圆的位置关系．
【例27】 如图，PQ = 10，以 PQ 为直径的圆与一个半径为 20 的圆 O 内切于点 P．正方形 ABCD 的顶点 A、B 在大圆上，小圆在正方形外部，且与 CD 相切与点 Q，求
C
A
P
Q
O
E
D
B
AB 的长．
【难度】★★★
19
【答案】8 ? 4 ．
【解析】连接OA 、OB ，连接 PO 并延长交 AB 于点 E ， 由对称性可知 PO 经过点Q ，
∵以 PQ 为直径的圆与 CD 相切与点 Q，
∴ PQ ? CD ，∵ CD ∥ AB ，∴ PE ? AB ，∴ AE ? BE ，
设正方形的边长为a ，则 AE ? a ， OE ? a ? OQ ? a ?10 ， OA ? 20 ，
2
? a ?2 2
由 AE2 ? OE2 ? OA2 ，即? ?
19
? 2 ?
? ?a ? 10?
? 202 ，
19
解得： a1 ? 8 ? 4
， a2 ? 8 ? 4
（舍），
19
∴AB 的长为8 ? 4 ．
【总结】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系．
4272619352423【例28】 （1）计算：如图 1，直径为 a 的三等圆
O1 、
O2 、
O3 两两外切，切点分
4671919-4039885088478-403988别为 A、B、C，求O1 A 的长（用含 a 的代数式表示）；
（2）探索：若干个直径为 a 的圆圈分别按如图 2 所示的方案一和如图 3 所示的方案 2 的方式排放，探索并求出这两种方案中 n 层圆圈的高度hn 和 h’n（用含
n 和 a 的代数式表示）；
3
）
B
C
A
图 1
（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为 5 米，宽为 3．1 米，高为 3．1 米．用这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径（横截面的外圆直径）为 0．1 米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管最多？并
求出这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（
【难度】★★★
? 1.73
n 层
n 层
…
…
…
…
3 层
3 层
h’n
2 层
1 层
2 层
1 层
图 2
图 3
h’1
h’2
h’3
…
…
2275576111087380618398163【答案】（1） 3 a ；（2） h ? na ， h? ? 3 ?n ?1? a ? a ；
2 n n 2
404846435534444483993553444864324355344（3）方案二装运更多，可以装运 1068 根钢管．
【解析】（1）连接O1 A ，∵直径为 a 的三等圆
O1 、
O2 、
O3 两两外切，
∴ O1O3 ? O3O2 ? O1O2 ，∴ ?O1O2O3 是等边三角形，∴ ?O1O2O3 ? 60? ，
∵ O O ? O O ，∴ O A ? O O ，∴ O A ? O O
? sin 60? ? 3 a ．
1 3 1 2
1 3 2
1 1 2 2
282320387630（2） h ? na ； h? ? 3 ?n ?1? a ? a ；
n n 2
（3）方案二这种集装箱中装运钢管数多．
理由：方案一： 0.1n ? 3.1，解得n ? 31 ， 31? 31 ? 961 （根）．方案二：根据题意，第一层排放 31 根，第二层排放 30 根，
设钢管的放置层数为n ，可得
∵ n 为正整数，∴ n ? 35 ，
3 ?n ?1?? 0.1 ? 0.1 ? 3.1 ，解得n ? 35.6 ，
2
钢管放置的最多根数为： 31?18 ? 31?17 ? 1068 （根）
【总结】本题考查了相切两圆的性质，综合运用了等边三角形的性质和勾股定理．
【例29】 如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，以 E 为圆心、EC 为半径的半圆
与以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，求sin ?EAB 的值．
D C
【难度】★★★
3 E
F
【答案】 ．
5
【解析】设正方形的边长为 1， EC ? r ，则 BE ? 1? r ，
∵以 E 为圆心、EC 为半径的半圆与
A B
以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，
∴ AE ? 1? r ，
由 AB2 ? BE2 ? AE2 ，得：1 ? ?1 ? r ?2 ? ?1 ? r ?2 ，解得： r ? 1 ，
4
∴ BE ? 3 ， AE ? 5 ，∴ sin ?EAB ? EB ? 3 ．
4 4 EA 5
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
236623459860291445059860【例30】 如图， O ' 经过 O 的圆心，E、F 是两圆的交点，直线OO ' 交于点 Q、D，
19395131126004132220104319交 O ' 于点 P，交 EF 于点 C，且 EF = 2 15 ， sin ?P ? 1 ．
4
30287501152892818988369920（1）求证：PE 是 O 的切线； E
243121592245（2） 求 O 和
【难度】★★★
O ' 的半径的长．
Q O C D P
326047291759428075891759【答案】（1）详见解析；（2） O 的半径为 4，
【解析】（1）连接O?E 、OE ，
O ' 的半径为 8． F
∵ O?O ? O?E ? O?P ，∴ ?O?OE ? ?O?EO ， ?O?EP ? ?P ，
372979091171∴ ?O?EP ? ?O?EO ? 90? ，∴PE 是 O 的切线；
251678013123215
（2）∵EF = 2 15 ，∴ EC ? ，
3116750199718∵ sin ?P ? 1 ，∴ EP ? 4 15 ， PC ? 15 ，∵ ?PEC ∽ ?POE ，
4
4 15
∴ PE ? PC ， 即 4 15 ? 15
，解得 PO ? 16 ，∴
46566789060O ' 的半径为 8，
PO PE PO
OC 2 ? CE2
468858775817∵ OC ? PO ? PC ? 1 ，∴ OE ? ? 4 ，∴ O 的半径为 4，
237343059311339366459311综上可知， O 的半径为 4， O ' 的半径为 8．
【总结】本题考查了切线的证明、相交圆的性质及勾股定理的综合应用．
随堂检测
249847260495【习题1】 已知 O 的直径为 10 厘米，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10 厘米， 则这条直线和这个圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离
【难度】★
【答案】A．
【解析】由题意得半径r ? 5cm ，圆心距d ? 10cm ，
∵ r ? d ，∴直线和这个圆相离．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【习题2】 已知在?ABC 中，?ABC ? 90? ，AB = 4，BC = 3，以 A 为圆心，以 r 为半径的圆与 BC 有公共点，则 r 的取值范围是 ．
【难度】★
【答案】4 ? r ? 5 ．
【解析】当圆 A 与 BC 相切时，可知r ? 4 ，当点 B 在圆内，点C 在圆外或圆上时，
4 ? r ? 5 ，综上4 ? r ? 5 ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
249842942035【习题3】 已知
O1 和
O2 的半径分别是 5 厘米和 7 厘米，圆心距O1O2 是 2 厘米，
2899634-336678则这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【难度】★
【答案】D．
【解析】∵圆心距d ? R ? r ? 2cm ，∴两个圆内切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【习题4】 已知两圆的半径之比为 3 : 5，两圆内切时，圆心距为 6，则两圆的半径分别是 ，这两圆外切时，圆心距为 ．
【难度】★★
【答案】半径分别是 9 和 15；圆心距为 24．
【解析】设两圆的半径分别为3k ， 5k ，则由题意得5k ? 3k ? 6 ，解得 k ? 3 ，
∴两圆的半径分别为 9 和 15，当两圆外切时，圆心距d ? 15 ? 9 ? 6 ．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【习题5】 已知点 A 和点 B 都在 x 轴上，分别以点 A 和点 B 为圆心的两圆相交于点
M（ 3a ? b ，5）、N（9， 2a ? 3b ），则ab 的值为 ．
【难度】★★
1
【答案】 ．
8
?
【解析】由题意知： MN 的垂直平分线为 x 轴，
?
? 3a ? b ? 9
∴
，解得： ? a ? 2 ，∴ ab ? 2?3 ? 1 ．
?2a ? 3b ? ?5
?b ? ?3 8
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
25657829060405930290605119752906042022302636954816275516429【习题6】 如图， O 的半径为 3 厘米，B 为 O 外一点，OB 交 O 于点 A，AB = OA，动点 P 从点 A 出发，以? 厘米/秒的速度在 O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止．当点 P 运动的时间为 秒时，BP 与 O 相切．
P
O
A
B
【难度】★★
【答案】1 或 5 秒．
305605591759【解析】连接OP ，当 BP 与 O 相切时， OP ? PB ， 由题意得OP ? 3 ， OB ? 6 ，
∴ ?B ? 30? ， ?AOP ? 60? ，
当 P 在OA 上方时，
∴ P 点走过的路程l ?
当 P 在OA 下方时，
60 ? ? ? 6 ? ? 厘米，此时时间t ? 1 秒；
360
∴ P 点走过的路程l ? 270 ? ? ? 6 ? 5? 厘米，此时时间t ? 5 秒；
360
4316530115105综上，点 P 运动的时间为 1 或 5 秒时，BP 与 O 相切．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
327133660495364471660495492297160495529635160495【习题7】 在直角坐标系中， A 与 B 只有一个公共点， A 和 B 的半径分别为 2
和 6，点 A 的坐标为（2，1），点 B 为 x 轴上一点，求点 B 的坐标．
2176333360145306106836014540086023601454901508360145【难度】★★
【答案】?2 ?
15 ，0?、?2 ?
15 ，0?、?2 ? 3 7 ，0?、?2 ? 3 7 ，0?．
?x ? 2?2 ? 1
【解析】设 B ?x,0?，则圆心距d ? AB ? ，
184004656051221215656051365233656051402571656051∵ A 与 B 只有一个公共点，∴ A 和 B 相切，
18400461348722212156134872?x ? 2?2 ? 1
当 A 与 B 内切时， r ? r ? d ，即4 ? ，
B A
15
15
解得： x1 ? 2 ? ， x2 ? 2 ? ；
18400461094712212156109471当 A 与 B 外切时， r ? r
? d ，即8 ?
?x ? 2?2 ? 1 ，
B A
7
7
407008345223750188874522375913425452237解得： x1 ? 2 ? 3 ， x2 ? 2 ? 3 ．
3183443194520综上，点 B 的坐标为?2 ?
15 ，0?、?2 ?
15 ，0?、?2 ? 3 7 ，0?、?2 ? 3 7 ，0?．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
497619952871【习题8】 如图，等边?ABC 的边长为 10，以 AB 为直径作 O1 ，点O2 在 BC 边上，
416328357737且CO2 ? 2 ，以O2 为圆心，O2C 为半径作
O2 ，请判断
O1 与
O2 的位置关系，
4953339-3364245353274-336424A
B
H
C
并证明你的结论．
【难度】★★★
【答案】外切．
【解析】连接O1O2 ，作O1H ? BC 于点 H ，
由题意得O1B ? 5 ， ?ABC ? 60? ，
O H 2 ? O H 2
1
2
∴ BH ? 5 ， OH ? 5 3 ，∵ O B ? 8 ，∴ O O ?
? 7 ，
2
∵ O1O2 ? RO
1 2
RO ，∴
3035004-7313O1 与
2 1 2
3434939-7014O2 外切．
1 2
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
1106424-8704872570184128365O2
4703061135021【习题9】 如图， O 和 相交于 A、B 两点，O A ? 3 5 ，O A ? 5 ，cos ?AO B ? 3 ．
1 1 2 1 5
A
C
H
B
求： sin ?BAO2 的值．
【难度】★★★
【答案】 4 ．
5
【解析】作 AH ? O1B 于点 H ，
2250691212120∵ O A ? 3 5 ， cos ?AO B ? 3 ，
1 1 5
5
∴ AH ? 12 5 ， OH ? 9 5 ，∴ BH ? 3
? 9 5 ? 6 5 ，
5
AH 2 ? BH 2
∴ AB ?
1 5
O1
? 6 ，∵ 和
5 5
O2
相交于 A、B 两点，
O A2 ? AC 2
2
∴ AC ? 1 AB ? 3 ， O C ?
? 4 ，
2
2
∴ sin ?BAO
2
? O2C ? 4 ．
O2 A 5
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及三角比的综合运用．
【习题10】 如图，三个半圆的半径均为 R，它们的圆心C1 、C2 、C3 在同一条直线上，
391309442542且每一圆心都在另一半圆的圆周上．
C4 与这三个半圆均相切，用 r 表示
C4 的
6020658-331725半径，求 R : r．
【难度】★★★
【答案】 R : r ? 4 :1．
【解析】连接C1C4 、C3C4 、C2C4 ，
184045358118∵ C4 与这三个半圆均相切，∴ C1C4 ? R ? r ， C2C4 ? R ? r ， C1C2 ? R ，
1 2 2 4 1 4
∵ C C 2 ? C C 2 ? C C 2 ，∴ ?R ? r ?2 ? R2 ? ?R ? r ?2 ，解得 R ? 4r ，
∴ R : r ? 4 :1．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
课后作业
223177260495374185560495【作业1】 O 的半径为 R，直线l 和 O 有公共点，若圆心到直线 l 的距离是 d，则
d 与 R 大小关系是（ ）
A． d ? R
【难度】★
【答案】D．
B． d ? R
C． d ? R
D． 0 ? d ? R
255181292394436410292394【解析】∵直线l 和 O 有公共点，∴直线直线l 和 O 相交或相切，∴ 0 ? d ? R ．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【作业2】 已知圆的直径是 13 厘米，圆心到直线 l 的距离为 6 厘米，则直线和这个圆的公共点的个数是 个．
【难度】★
【答案】两个．
【解析】由题意得r ? 13 ， d ? 6 ，∵ r ? d ，∴直线和这个圆相交，∴有两个交点．
2
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【作业3】 （1）有两个圆，一个圆的半径 R = 4，两圆的圆心距是 5，另一个圆的半径 r 满足什么条件时这两个圆外离？
（2）两个圆的圆心距为 2 厘米，一个圆的半径为 10 厘米，要使这两个圆内含， 另一个圆的半径应满足什么条件？
（3）已知两个圆内切，圆心距是 2 厘米，如果一个圆的半径是 3 厘米，那么另一圆的半径是多少？
【难度】★★
【答案】（1） r ? 1；（2） 0cm ? r ? 8cm 或 r ? 12cm ；（3）半径是 1 或 5 厘米．
【解析】（1）∵两个圆外离，∴ d ? R ? r ，即5 ? 4 ? r ，解得r ? 1；
（2）∵两个圆内含，∴ 0 ? d ? R ? r ，即2 ? 10 ? r ，
解得0cm ? r ? 8cm 或 r ? 12cm ；
（3）∵两个圆内切，∴ d ? R ? r ，即2 ? 3 ? r ，解得r1 ? 1 ， r2 ? 5 ，
∴圆的半径是 1 或 5 厘米．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
2231772688993256027688993
【作业4】 O 的半径为 6， O 的一条弦 AB 长6 ，以 3 为半径的同心圆与直线
4381584187063AB 的关系是 ．
【难度】★★
【答案】相切．
【解析】如图，作OH ? AB 于点 H ，
2240655130842∴ BH ? 3 3 ，
OB2 ? BH 2
∴ OH ? ? 3 ，
∵ d ? OH ，∴直线 AB 与圆相切．
【总结】本题考查了垂径定理及直线与圆的位置关系．
3009012112714【作业5】 若线段 PQ 与 O 只有一个公共点，那么这条线段的两个端点 P、Q 只能是（ ）
A．至少有一点在圆外
B．至多有一点在圆内
357162293516C．P、Q 两点中一定有一点在 O 外
243121592880374815292880504228292880D．一点在 O 的内部，另一点在 O 的外部；或 PQ 是 O 的切线，P、Q 之一为切点
【难度】★★
【答案】B．
270421291759【解析】∵线段 PQ 与 O 只有一个公共点，
∴线段与圆相交或相切，如图所示：
1491730162161
综上可知选 B．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
533176868422【作业6】 在直角梯形 ABCD 中，AD // BC， AB ? AD ， AB ? 10 3 ，AD、BC 的长
是方程 x2 ? 20x ? 75 ? 0 的两根，那么以点 D 为圆心、AD 为半径的圆与以点 C
为圆心、BC 为半径的圆的位置关系是 ．
【难度】★★
【答案】外切．
【解析】∵AD、BC 的长是方程 x2 ? 20x ? 75 ? 0 的两根，∴ AD ? 5 ， BC ? 15 ，
∴ RD ? 5 ， RC ? 15 ，
由题意易得 DC ? 20 ，∴ DC ? RD ? RC ，∴两个圆外切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
249842958037【作业7】 已知
O1 和
O2 相交于 A、B 两点，AB = 24， O1O2 ? 25 ，
O1 的半径为
2899634-3530615634694-35306122062134317820，求
【难度】★★
O2 的半径．
6
4368802-335516【答案】15 或15 ．
206091442923【解析】∵
O1 和
O2 相交于 A、B 两点，
2460849-268365∴ AB ? O O ， AH ? 1 AB ? 12 ，
1 2 2
O A2 ? AH 2
1
∵ O A ? 20 ，∴ O H ? ? 16 ，
1 1
O H 2 ? AH 2
2
∴ O H ? 9 ，∴ O A ?
? 15 ，即
的半径为 15；
6
2 2
O2
397405343047当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得
O2 的半径为15 ；
237385343047综上可知，
O2 的半径为15 或15 ．
6
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
2916302276481【作业8】 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，P 是边 AD 上一点（除端点外），过三点 A、B、P 作 O ．
（1）指出圆心 O 的位置；
362940794150（2）当 AP = 3 时，判断 CD 与 O 的位置关系；
265722292880394759592880（3）当 CD 与 O 相切时，求 BC 被 O 截得的弦长．
【难度】★★★
【答案】（1）线段 BP 的中点；（2）相离；（3） 55 ．
16
【解析】（1）由题意得O 为 Rt?BAP 的外心，∴圆心 O 为线段 BP 的中点；
B
C
E
F
A
P
D
O
（2）过圆心O 作 EF ∥ AD 交 AB 、CD 于点 E 、 F ，
2
∵ AB ? AP ? 3，∴ BP ? 3
，∴ OP ? ，
3 2
2
1 3 3 5
∵ OE ? BP ? ，∴ OF ? 4 ? ? ，
2 2 2 2
5 3 2
29785329557∵ ? ，∴CD 与 O 相离．
2 2
2509267808732210235361539（3）设 CD 与 O 相切于点Q ，连接OQ ，则OQ ? CD ， 设 BC 被 O 截得的弦长为 x ，
∵ ABCD 为矩形，∴ AP ? x ， PD ? 4 ? x ，
9 ? x2
5080634135528∴ OQ ? 1 ?BC ? PD? ? 8 ? x ， BP ? ，
2 2
2190550137365∵CD 与 O 相切，∴ OQ ? 1 BP ，
2
即 8 ? x
? ，解得： x ? 55 ，
9 ? x2
2 2 16
2177162145620∴BC 被 O 截得的弦长为 55 ．
16
【总结】本题考查了切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合应用．
2
【作业9】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC，AB ? BC ，AB = AD = 2，DC ? 2 ，
488485559860233852131449528445473144953231331314495A
D
B
H P
C
点 P 在边 BC 上运动，若以点 D 为圆心、1 为半径作 D ，以 P 为圆心、PC 长为半径作 P ，当 D 与 P 相切时，求 CP 的长．
【难度】★★★
【答案】 7 或 7 ．
6 2
【解析】如图，作 DH ? BC 于点 H ，
由题意易得 DH ? AB ? 2 ，∵ DC ? 2
设 PC ? x ，则 PH ? 2 ? x ，∴ DP ?
，∴ CH ? 2 ，
2
DH 2 ? PH 2
4 ? ?2 ? x?2
? ，
4 ? ?2 ? x?2
综上可知 R ? 1 ， R ? x ，圆心距 DP ? ，
D P
1840030857422254918574当 D 与 P 外切时， R
R ? DP ，即1 ? x ?
，解得 x ? 7 ，
4 ? ?2 ? x?2
D P 6
18400301813752225491181375当 D 与 P 内切时， R ? R
? DP ，即 x ?1 ?
，解得 x ? 7 ．
4 ? ?2 ? x?2
P D 2
22393921819642626754181964综上，当 D 与 P 相切时，CP 的长为 7 或 7 ．
6 2
【总结】本题考查了圆与圆的相切，要注意分类讨论．
46594467646【作业10】 如图，扇形 OAB 的弦 AB = 18，半径为 6 的 C 恰与 OA、OB 和 AB 相切，
180505259861232455159861375265059861D 又与 C 、OA、OB 相切，求 D 的半径． A B
【难度】★★★
C
【答案】2．
M
【解析】连接CM 、 DN 、OC ，
1840046-18623667507-18624187006-1862∵ C 恰与 OA、OB 和 AB 相切， D 又与 C 、OA、OB 相切， D
N
∴ CM ? OB ， DN ? OB ， OC ? AB ，
184003092140设 D 的半径为r ，则由题意得OC ? OB ? 6 ， OD ? OB ?12 ? r ，
1 AB O
由 CM ? 2
OC OB
1 AB
，即 6
OB ? 6
? 9 ，解得OB ? 18 ，
OB
由 DN ? 2
OD OB
，即 r
18 ?12 ? r
? 9 ，解得r ? 2 ，∴ D 的半径为 2．
4671495-13422618
【总结】本题考查了切线的性质及相似三角形的综合．