初中数学沪教版九年级下册-第11讲：圆的补充练习及正多边形与圆学案-教师版

center123825圆的补充练习及正多边形与圆
圆的补充练习及正多边形与圆
left57785内容分析
内容分析
本讲一方面对前两讲的内容补充了一些练习，另一方面讲解了正多边形与圆的相关知识，重点是正多边形与圆的相关概念的理解，中心角和边心距的计算．
left121920知识结构
知识结构
right19050模块一：圆的基本性质补充练习
模块一：圆的基本性质补充练习
left171450知识精讲
知识精讲
圆的相关概念
圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．
圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作．
半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．
圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；
弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．
等弧：能够重合的两条弧称为等弧．
等圆：半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．
点与圆的位置关系
设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：
点P在圆外d > R；点P在圆上d = R；点P在圆内．
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆
三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多 边形叫做这个圆的内接多边形．
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心 距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．
垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
垂径定理的相关结论
（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．
（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．
（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的 弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．
left33020例题解析
例题解析
在平面直角坐标系内，的半径为5，圆心P的坐标为（1，2），分别判断点A（2，），B（，6），C（1，）与的位置关系．
【难度】★
【答案】点在外；点在上；点在内．
【解析】∵，∴点在外；
∵，∴点在上；
∵，∴点在内．
【总结】本题考查了点与圆的位置关系．
下列判断中，正确的是（ ）
A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦
B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分
C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径
D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等
【难度】★
【答案】C．
【解析】同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；
任意两条直径互相平分，故B错误；
同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误．
【总结】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．
如图，C是以AB为直径的半圆弧上一点，已知所对的圆心角为120°，BC的弦心距与直径AB的比为（ ）
A． B． C． D．
372427520320A
B
C
O
H
A
B
C
O
H
【难度】★★
【答案】D．
【解析】∵所对的圆心角为120°，
∴，∴是等边三角形，
设，则，，∴．
【总结】本题考查了垂径定理的运用．


4019550339090如图，AB是直径，AB经过弦CD的中点E，若，
则______，______．
【难度】★★
【答案】；．
【解析】∵AB是直径，AB经过弦CD的中点E，
∴，∵，
∴，．
【总结】本题考查了垂径定理及圆的基本性质．


4153535415290A
B
C
D
O
P
A
B
C
D
O
P
如图，OA、OB是的两条半径，P是的中点，点C是OA的中点，点D是OB的中点．
求证：PC = PD．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OP．
∵点C是OA的中点，点D是OB的中点，∴，
∵P是的中点，∴，∴≌，
∴．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及三角形全等的综合运用．
如图，AB是的直径，CB是弦，于E，交于D，联结AC．
387667570485A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
（1）请写出两个正确结论；
（2）若CB = 8，ED = 2，求的半径．
【难度】★★
【答案】（1），，等；
（2）5．
【解析】（1）略；
（2）设的半径为，由，得，解得：，
∴的半径为5．
【总结】本题考查了垂径定理及勾股定理、三角形中位线等性质的综合运用．


如图，的直径AB和弦CD相交于点E，若AE = 2厘米，BE = 6厘米，，求：
（1）CD的长；
381635049530O
A
B
C
D
E
H
0O
A
B
C
D
E
H
（2）点C到AB的距离与点D到AB的距离之比．
【难度】★★
【答案】（1）厘米；（2）．
【解析】（1）作于点，连接，
∵AE = 2厘米，BE = 6厘米，∴的半径厘米，
∴，∵，∴，
∴，∴厘米．
（2）由（1）得，∴，，
∴设点C到AB的距离为，点D到AB的距离为，
则．
即点C到AB的距离与点D到AB的距离之比为．
【总结】本题考查了垂径定理及锐角三角比的综合应用．
3363595490220O
N
M
A
B
C
D
H
O
N
M
A
B
C
D
H
如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA = 3，
AC = 2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若，求弦MN的长．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵∥，
∴，∵，∴．
（2）作于点，连接，
∵，∴，
∴，∴．
【总结】本题考查了垂径定理及平行线分线段成比例的综合运用．
3886200320675A
B
C
D
E
O
M
N
A
B
C
D
E
O
M
N
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，求的值．
【难度】★★★
【答案】28．
【解析】作于点，于点，
设，，
∴，，
∴，，
∵E到圆心O的距离等于1，∴，
∴．
【总结】本题考查了垂径定理及勾股定理的综合应用．




4067890824865A
B
C
O
H
A
B
C
O
H
如图，某休闲公园有一圆形人工湖，湖中心O处有一喷泉．小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个观测点，在A处测得，在AB延长线上C处测得．若，，BC = 50米，求人工湖的半径．
【难度】★★★
【答案】500米．
【解析】作于点，则，
∵，∴设，则，，
∵，∴，即，解得：，
∴，
∴人工湖的半径为500米．
【总结】本题考查了垂径定理及锐角三角比的综合应用．
center14605模块二：直线与圆、圆与圆的位置关系补充练习
模块二：直线与圆、圆与圆的位置关系补充练习
22860137795知识精讲
知识精讲
直线与圆的位置关系：相离、相切、相交
如果的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，那么：
直线l与相交；
直线l与相切；
直线l与相离．
切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
相关概念
圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．
连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线．
圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含
如果两圆的半径长分别为和，圆心距为d，那么：
两圆外离；
两圆外切；
两圆相交；
两圆内切；
两圆内含．
相关定理
（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．




5397510795例题解析
例题解析

下列直线中，必为切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆的半径外端的直线
【难度】★
【答案】B．
【解析】与圆有公共点的直线可以相切，可以相交，故A错误；
垂直于圆的半径并且经过半径的外端的直线是圆的切线，故C、D错误；
【总结】本题考查了圆的切线的判定方法．
正方形ABCD中，AB = 1，分别以A、C为圆心作两个半径为R、r（R > r）的圆，当与有两个交点，R、r满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】B．
【解析】∵正方形ABCD中，AB = 1，∴，
∵与有两个交点，∴两圆相交，∴．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
已知两圆的半径分别为2和5，当两圆相切时，圆心距为______．
【难度】★★
【答案】3或7．
【解析】当两圆外切时，圆心距，
当两圆内切时，圆心距．
【总结】本题考查了圆与圆相切的位置关系，注意分外切和内切两种情况．
402590038735000的半径为6，的一条弦AB长为，以3为半径的同心圆与AB的关系是______．
【难度】★★
【答案】相离．
【解析】如图，则，
∴以3为半径的同心圆与AB的关系是相离．
【总结】本题考查了垂径定理及直线与圆的位置关系的综合运用．
4149725142875两圆有多种位置关系，如图中不存在的位置关系是______．
【难度】★★
【答案】内切．
【解析】观察图形可知不存在的位置关系是内切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
设圆心O到直线l的距离为d，半径为R，当d、R是方程的两个根，则直线与圆的位置关系是______；当d、R是方程的两个根，且直线与圆相切，则m =______．
【难度】★★
【答案】相交或相离；．
【解析】，解得，，
∵d、R是方程的两个根，
∴当，时，直线与圆的位置关系是相离，
当，时，直线与圆的位置关系是相交；
∵当d、R是方程的两个根，且直线与圆相切，
∴，∴，解得：．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系的判定．
已知A点为（0，3），的半径为1，点B在x轴上．
（1）若B点为（4，0），半径为3，试判断与的位置关系；
（2）若过点M（2，0），且与相切，求B点的坐标．
【难度】★★
【答案】（1）外离；（2）两圆外切时，；两圆内切时，．
【解析】（1）由题意得，，，
∵，∴与外离；
（2）设，则，，，
当两圆外切时，，即，解得：，∴；
当两圆内切时，，即，解得：，∴．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系的判定及两点距离公式的综合运用．
已知与相切，两圆的圆心距为9厘米，的半径为4厘米，求的半径．
【难度】★★
【答案】5厘米或13厘米．
【解析】当两圆外切时，，当两圆内切时，，
∴的半径为5厘米或13厘米．
【总结】本题考查了两圆相切的位置关系，注意分两种情况讨论．
如图，的直径为，的直径为，的直径为2，和外切，和外切，，求BC的长度及的正弦值．
399161010160A
B
C
H
A
B
C
H
【难度】★★
【答案】，．
【解析】作于点，
由题意得：，，
∵，∴，，∴，
∴，．
【总结】本题考查了圆与圆相切时半径与圆心距的关系及锐角三角比的应用．
如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，并且以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．
（1）A市是否会受到台风的影响？并说明理由；
2924175231775A
B
F
东
北
H
M
A
B
F
东
北
H
M
（2）如果A市受这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？
【难度】★★
【答案】（1）受影响，理由见解析；
（2）小时．
【解析】（1）作于点，
由题意得：，，
∴，
∴A市会受到台风的影响；
（2）假设当台风中心运动到点时，市开始受影响，此时，
则，
∴受影响时间（小时）
【总结】本题考查了锐角三角比的应用．


如图，，，AD交BC于P，作使其与AB相切．试问：以AB为直径作出的与是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．
4076700107950A
B
C
D
O
P
Q
A
B
C
D
O
P
Q
【难度】★★★
【答案】内切．
【解析】与内切，理由如下：
设于相切于点，连接，则．
设，，，
∵，∴∥，
∴，，∴，∴，
∵的半径，∴，
∴，∴，
连接，则，
∴与内切．
【总结】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等知识， 此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
如图，已知，的半径为2，圆心O在射线BC上，与射线BA相交于E、F两点，．
（1）求BO的长；
（2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使得同时与和射线BA相切，求所有满足条件的的半径．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）、、、．
3238500125730A
B
C
D
E
F
G
O
H
A
B
C
D
E
F
G
O
H
【解析】（1）连接，过点作于点，则，
∵，，∴，
∵，∴；
设的半径为，
当与直线相切时，过点的半径垂直此垂线，
①与外切于点时，，解得：；
②与外切于点时，，解得：；
③与内切于点时，，解得：；
④与内切于点时，，解得：；
综上可知，的半径为、、、．
【总结】本题考查了直线与圆相切和两圆相切的知识，综合性较强，注意分类讨论．
center14605模块三：正多边形与圆
模块三：正多边形与圆
left71120知识精讲
知识精讲
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形．
正n边形的对称性
正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n．
当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．
正多边形的外接圆和内切圆
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．
正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．
正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．


53975125095例题解析
例题解析

正十边形有______条对称轴，它不仅是______对称图形，还是______对称图形，它的中心角是______°．
【难度】★
【答案】10；轴；中心；36．
【解析】正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n，如果为偶数，则正n边形也是 中心对称图形，中心角．
【总结】本题考查了正多边形的对称性及中心角的计算公式．
圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则的度数是______．
4371975222250A
B
C
D
E
P
A
B
C
D
E
P
【难度】★
【答案】．
【解析】∵ABCDE为正五边形，
∴每个内角为，且，
∴，
∴．
【总结】本题考查了正五边形中有关角度的计算．



下列命题中，假命题是（ ）
A．各边相等的圆内接多边形是正多边形
B．正多边形的任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心
C．正多边形的任意两条边的中垂线如果相交，则交点为正多边形的中心
D．一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形
【难度】★★
【答案】D．
【解析】一个外角小于一个内角的正多边形一定是大于四边的正多边形，故D是假命题．
【总结】本题考查了正多边形的相关概念．
如图，已知正六边形ABCDEF的半径为a，中心为O，求它的周长和面积．
394335082550A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
【难度】★★
【答案】周长，面积．
【解析】连接、，由题意得，
∵ABCDEF为正六边形，∴，
∴为等边三角形，∴，
∴正六边形周长，
面积．
【总结】本题考查了正多边形的性质及勾股定理的应用．

正三角形的边心距、半径和高的比是_________________．
356933563500【难度】★★
【答案】．
【解析】如图，设等边三角形边长为2，则
易得边心距，
半径，高，
∴边心距、半径和高的比是．
【总结】本题考查了正正三角形的边心距、半径的有关概念．
正多边形的面积是240平方厘米，周长是60厘米，则边心距是______厘米．
【难度】★★
【答案】8．
【解析】设正多边形的边长为，边心距为，则正边形的面积
，∵，∴，
∴正多边形的边心距是8厘米．
【总结】本题考查了正多边形的有关计算，利用整体思想去求．
如图，已知等边的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．
383222547605A
B
C
D
E
F
G
O
A
B
C
D
E
F
G
O
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵等边的边长为a，
∴内切圆半径，
∴圆内接正四边形的对角线长，
∴正方形DEFG的面积．
【总结】本题考查了圆内接正多边形及外切正多边形的性质及相关计算，运用计 算面积比较简便．


如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点M．
（1）求证：四边形CDEM是菱形；
405765026035A
B
C
D
E
M
A
B
C
D
E
M
（2）若AB = 4，求BE的长．
【难度】★★★
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】（1）∵ABCDE是正五边形，
∴每个内角为，且每条边都相等．
∴，
∴，，
∴，同理可证，
∴，
∴四边形CDEM是菱形；
（2）设，∵，∴，
由（1）易得∽，
∴，即，解得：，
∴．
【总结】本题考查了菱形的判定及相似三角形的性质的综合应用．
012700随堂检测
随堂检测
两个等圆只有一个公共点，则这两圆的位置关系可以是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【难度】★
【答案】B．
【解析】由两个等圆只有一个公共点可知，两圆相切，又因为两圆相等，所以两圆外切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．


已知圆O的弦AB = 10，相应的弦心距OC = 3，则圆O的半径等于______．
3686175175260【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题考查了垂径定理的运用．
下列语句中，正确的个数是（ ）
①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则外接圆半径为；
②已知两圆的直径为10厘米，6厘米，圆心距为16厘米，则两圆外切；
③过三点可以确定一个圆；
④两圆的公共弦垂直平分连心线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【难度】★★
【答案】A．
【解析】①外接圆半径为5，故①错误；②圆心距大于半径之和，两圆外离，故②错误；
③过不共线的三点可以确定一个圆，故③错误；④两圆的连心线所在的直线垂直平 分公共弦，故④错误．
【总结】本题考查了与圆有关的性质．



一个正六边形和一个正三角形的周长相等，则它们的面积之比是______．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设正六边形的边长为1，则三角形的边长为2，
∴，，
∴正六边形和一个正三角形的面积之比是．
【总结】本题考查了圆内接正多边形的有关性质．




在中，BC = 6，，，以A为圆心，当半径多长时所作的与直线BC相切、相交、相离．
3476625230505【难度】★★
【答案】当时，与直线BC相离；
当时，与直线BC相切；
当时，与直线BC相交．
【解析】如图，作于点，设，
∵，，∴，，
∵，∴，解得：，
∴当时，与直线BC相离；
当时，与直线BC相切；
当时，与直线BC相交．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系的判定．
3752850352425A
B
C
D
E
O
N
M
A
B
C
D
E
O
N
M
如图，在中，弦AB、CD相交于E，OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距．
（1）如果OM = ON，求证：；
（2）如果，求证：EO平分．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】（1）∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，OM = ON，
∴，∴-=-，
∴；
（2）∵，∴，∴，
∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，∴，，
∴EO平分．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．
如图，P是的直径AB延长线上的一点，PC与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点D，联结PD．
（1）求证：PC = PD；
（2）如果PE的长等于的半径OC，求证：．
3333750146050A
B
C
D
E
O
P
F
A
B
C
D
E
O
P
F
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】（1）∵，为圆心，
∴，∴≌，
∴；
（2）连接，则，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴．
【总结】本题考查了垂径定理、三角形外角性质及等腰三角形性质的综合运用．
340042573977580厘米
20厘米
80厘米
20厘米
某小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80厘米，水面到管道顶部距离为20厘米．修理工应准备内直径为多少厘米的管道？
【难度】★★
【答案】100厘米．
【解析】设圆的半径为厘米，则由题意可得
，解得，
∴修理工应准备内直径为100厘米的管道．
【总结】本题考查了垂径定理及勾股定理的综合运用．
如图，已知和相交于A、B两点，若，，且，求AB的长．
304800017145A
B
C
A
B
C
【难度】★★
【答案】18．
【解析】∵，，
∴设，则，，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴．
【总结】本题考查了相交两圆的有关性质及勾股定理的综合运用．
如图1，已知中，，BC = 5．过点A作，且AE = 15，连接BE交AC于点P．
（1）求PA的长；
（2）以点A为圆心，AP为半径作，试判断BE与是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点C作，垂足为点D．以点A为圆心，r为半径作；以点C为圆心，R为半径作．若r和R的大小可变化，并且在变化过程中保持和相切，且使D点在的内部，B点在的外部，求r和R的变化范围．
【难度】★★★
【答案】（1）；
（2）相切，理由详见解析；
（3）当和外切时，，；
当和内切时，，．
86360036830A
B
C
D
E
P
A
B
C
E
P
图1
图2
A
B
C
D
E
P
A
B
C
E
P
图1
图2
【解析】（1）∵，，∴∥，
∴，∵BC = 5，，∴，
把BC = 5，AE = 15代入得，解得；
（2）BE与相切，理由如下：
由（1）得，
∵，，∴，∴BE与相切；
（3）∵D点在的内部，B点在的外部，∴，
当和外切时，，
∵，∴，
∴，；
当和内切时，，
∵，∴，
∴，，
综上可知，当和外切时，，；
当和内切时，，．
【总结】本题考查了点与圆、圆与圆的位置关系及相似三角形的综合应用，综合性较强，并且后面没有说明和是内切还是外切，因此要分类讨论．
left120650课后作业
课后作业
下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线经过圆心且平分弦所对的弧
D．半径都相等
【难度】★
【答案】C．
【解析】A．平分非直径弦的直径垂直于弦，故A错；
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B错；
D．在同圆或等圆中，半径都相等．
【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．
正九边形的中心角等于______°．
【难度】★
【答案】40．
【解析】正九边形的中心角．
【总结】本题考查了正多边形中心角的计算，中心角．
等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的______倍．
【难度】★
3794125217170【答案】4．
【解析】如图，易得为等边三角形外接圆和内切圆的圆心， ∵是等边三角形，
∴为的重心，∴
∴等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积4倍．
【总结】本题考查了等边三角形外接圆与内切圆的有关性质．
3677920457200A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
如图，中，AB是直径，CD与AB交于点E，，，OF = 2厘米，ED = 3厘米，则CD =______厘米．
【难度】★★
【答案】10．
【解析】连接，∵，为圆心，
∴，∵，∴，
∴，∵OF = 2厘米，ED = 3厘米，
∴厘米，
∴厘米．
【总结】本题考查了垂径定理及勾股定理的综合运用．
在中，若OA = OB = 2，的半径为1，当的度数在何范围内，直线AB与相切、相交、相离．
【难度】★★
【答案】当时，与直线AB相离．
3435350114300当时，与直线AB相切；
当时，与直线AB相交．
【解析】如图，作，
当时，∵，
∴，，
此时与直线AB相切，
∴当时，与直线AB相离．
当时，与直线AB相切；
当时，与直线AB相交．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系的判定及相关计算．
如图，AB是的弦，点D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线与点C．求证：AD = DC．
341947580010O
A
B
C
D
H
O
A
B
C
D
H
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接交于点，
∵点D是的中点，为圆心，
∴，，
∵，
∴∥，∴．
【总结】本题考查了垂径定理及平行线分线段成比例的性质定理的综合运用．
3590290732790A
B
C
D
E
F
O
H
A
B
C
D
E
F
O
H
如图，已知的半径为5，弦AB的长等于8，于点D，DO的延长线与相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与相交于点F，．求：（1）CD的长；（2）EF的长．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）连接，
由题意得：，，
∴，∴；
（2）作于点，则，
∵，，∴，，
∵，，∴，∴．
【总结】本题考查了垂径定理的应用及勾股定理．
如图，等腰内接于半径为5厘米的，AB = AC，．求：
3709035106045A
B
C
O
H
A
B
C
O
H
（1）BC的长；
（2）AB边上高的长．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）连接交于点，连接，
∵，∴点为的中点，∴，，
∵，设，，则，
由，得，解得：，
∴；
（2）由（1）得，，
设边上高的长为，则，代入解得：．
【总结】本题考查了垂径定理及等积法的应用．
3305175290830AB是的直径，点P在BA的延长线上，弦于点E，PC是切线，若OE : OA = 1 : 2，PA = 6，
求：（1）的半径；（2）的值．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
设，，则，
∵，∴，∵PC是切线，∴，
∴，∴，即，解得：，
∴的半径；
（2）由（1）得，∴是等边三角形，
∵PC是的切线，∴，∴，∴．
【总结】本题考查了切线的有关定理及锐角三角比的综合应用．

如图，已知AB = 2，AD = 4，，AD // BC．点E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．
（1）设BE = x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
3145155349885A
B
C
D
E
M
N
A
B
C
D
E
M
N
（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接，
∵M是线段DE的中点，AD // BC，
∴，
∵，∴，
∴，
∴；
（2）由勾股定理得，
∴，，，
∵两圆外切，∴，即，解得：，
∴线段BE的长为．
【总结】本题考查了圆与圆相切及梯形中位线的灵活应用，综合性较强，注意将两圆相 切的位置关系转化为线段的和差进行求解．