江西赣州市十五县（市）2021届高三上学期期中联考数学（理）试卷 PDF版含答案

? ?
7.将函数 f(x)?cos(2x? )的图象向右平移 个单位，得到函数y ? g(x)的图象，那么下列
6 3
说法正确的是（ ）
数学（理科）试卷
A.函数g(x)的最小正周期为2? B.函数g(x)是偶函数
第 卷（选择题，共60分） ? ?? ?
C.函数 的图象关于直线 ? 对称 D.函数 的图象关于点 ， 对称
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有 g(x) x - g(x) ? 0?
Ι
12 ? 3 ?
一项是符合题目要求的 ）
1.设 1 2
A??x|1? x?3?,B ??x|lg(3?2x) ＜1?，则A?B ?（ ） 8.若命题“?x?[ ,2],x ?2ax?1?0”是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
2
3 3 3 3
A.（??, ） B.[1, ) C.（1, ) D.（ ，3] 5 5
A.（ ，） B.（ ， ） C.（ ，） D.（， ）
2 2 2 2 ?? ?? ??1 1 ??
4 4
2.下列说法正确的是
9.已知奇函数 3 2
f(x)? x ?ax ?bx?c, f(x)图象在点（2，f(2)）处的切线过点（1，4），则b?
1
A 函数 ( )
. f(x)? 既是奇函数又在区间（??,0）上单调递增 （ ）
x
A.2 B.8 C.4 D.5
B. 若命题 p，?q都是真命题，则命题“ p?q”为真命题
? 1
C. 命题“若 ax
xy ?0，则x?0或y ?0”的否命题为“若xy ?0，则x?0或y ?0” 10.设函数 f ?x?? xe ? 在(0,??)上有两个零点，则实数a的取值范围（ ）
x
D. 命题“ x x
?x?R,2 ?0”的否定是“?x?R,2 ?0” ? 2? ?1 2? ? 2?
A．???, ? B．?1,e? C．? , ? D．?0, ?
3.已知函数 x 2
f(x)?2 ，g(x)? x ?a，若 f[g(1)]?1，则a?（ ） ? e? ?e e? ? e?
A．-1 B．1 C．2 D．3 ? ? ? ? ?
11.已知 ? ? ?
a,b,e是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a与e 的夹角为 ，向量b 满足
3
4.已知 5 0.9
a ?log526, b? 9，c?0.6 ，则（ ） ?2 ? ? ? ?
，则 ? 的最小值是（ ）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D. ? ? ? a b
b＞c＞a b 4e?b 3 0
sinx A. B. C. D.
5. 函数 3?1 3?1 2 2? 3
y ?1?x? 2 的部分图像大致为（ ）
x k
12. 已 知 函 数 e 1
f(x)? lnx? ?x,k?(0,??) ， 曲 线 y ? f (x) 上 总 存 在 两 点
k x
M(x1,y1),N(x2,y2) （ x1 ? x2 ）使曲线 y ? f (x) 在M,N 两点处的切线互相平行，则 x1?x2
（ ）
A B C D ?2 ? ?2 ? 4 ? 4 ?
A.? ，??? B. ，
? ??? C.（ 2，??） D. ，
? 2 ???
? ? ?e ? ?e ? e ?e ?
6.若??（ ，?），且3cos2??2sin( ??)，则cos2??（ ）
2 4 第Ⅱ卷（非选择题，共 分）
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）
A.4 2 B. 4 2 7 7
? C.? D. 90
? ? ? ? ? ?
9 9 9 9 13.已知向量 0
a,b的夹角为60 ，且 a ?2,b ?1，则 a?2b ? .
试卷第1页（共4页） 试卷第2页（共4页）
已知函数 2
f(x)?log3(?x ?4x?5) ，则函数 f(x)的单调递减区间为 20.(12分）已知函数 x 2 2
f(x)?e ?ax ?e x.
11
54
..
已知函数 f(x) 是定义在R 上的奇函数，且 f(?3)?0 ，若对任意的___
x__
,_
x___
?_.
1 2 ???,0?，当 ?1?若曲线 y ? f (x)在点(2, f ?2?)处的切线平行于x轴,求函数 f(x)的单调区间；
x1f(x1)?x2f(x2)
x1 ? x2时，都有 ?0成立，则不等式xf(x)?0的解集为
x1?x x 2
2 ?2?若x??0,1?时,总有 f(x)? xe ?e x?1,求实数a的取值范围.
___________.
? ? ?
?cosx,x?[2k?? ,2k?? )(k?z)
?
16. 已 知 函 数 ? 2 2
y ? 的 图 象 与 直 线 y ?m(x?2) a
21.（12分）已知函数 （ ）.
? ? 3? f(x)?lnx?x? a?R
?cosx,x?[2k?? ,2k?? )(k?z) x
?? 2 2
（1）若函数 f(x)在?1,???上为增函数，求a的取值范围；
（m?0）恰有四个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4) ，其中x1＜x2＜x3＜x4，
（2）若函数 2
则（ g(x)? xf(x)?(a?1)x ?x有两个不同的极值点，记作x ,x ，且x ＜x ，
x4 ?2）tanx4 ? . 1 2 1 2
2 3
三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 证明：x1?x2 ＞e （e为自然对数的底数）.
（一）必考题，共60分
17.（12分）设命题 p：实数x满足 2
x ?(2a?1)x?2a?0，其中a ?0， （二）选考题：共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
命题q：实数x满足 x?3 ?2 分。
（1）若a ?1，且 p?q为真，求实数x的取值范围. 22.（10分）选修4-4；坐标系与参数方程
（2）若q是 p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. ? 3
x?2? t
??
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程 2
? （t为参数），以坐标原点为极点，
1
18. （12分）已知 ?
a,b,c分别是?ABC内角A,B,C 的对边，且满足 ? ?
?y 1 t
? 2
?bcosC?ccosB?sinB?? 3bcosA x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??4cos?.
（1）求角A的大小； （1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设a? 3，S为?ABC的面积，求S? 3cosBcosC 最大值
（2）已知点P（2，1），曲线C1与C2的交点为A,B,求 PA - PB 的值.
? ? ? ? ?
19.（12分）已知向量a ?(cos(??x),2sinx),b?(2sinx,cos( ?x)) ，设函数 f(x)?1-a?b. 23.（10分）选修4-5：不等式选讲
2
（1）求 y ? f(x)的单调递增区间； 已知函数 f(x)? 2x?2 ? ax?2 .
?
（2）将函数 f(x) 的函数图像向左平移 个单位后得到g(x) 的图像，若关于 x 的方程 （1）当a ?1时，求不等式 f(x)?2的解集；
4
? ?? 2???
m? f(x)?g(x) ??x?? , ???有两个不同的实根，求m的取值范围. （2）若存在x?(1,3)，使不等式 f(x)＞2x成立，求a的取值范围.
? ?6 3 ??
试卷第3页（共4页） 试卷第4页（共4页）
数学（理科）答案
一 、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B A B B C A B D A C
二 、填空题
2,5 ?? ? ??, 3 3,U
13.2 14.(2,5)(? ?也给分） 15. ? ? ? ? 16 .-1
三、 解答题
17. 解：（ 1） a?1时， p?q为真
p为真： 2
x ?3x?2?0?1?x?2...… .......................................… 3分
q为真： xx? ? ? ? ?3 2 1 5 …………………………………… 5分
所以 p?q为真： 1?x?2 ………………… ............… .....…… 6分
（ 2） p:(x?2a)(x?1)?0 q：1?x?5 …………………………… 8分
5
因为 q是 p的充分不必要条件 所以 25a? 即 a? ……………… 12分
2
18. 解： （ 1） ： ?bcosC?ccosB?sinB?? 3bcosA…
由正弦定理知 : ?sinBcosC?sinCcosB?sinB?? 3sinBcosA …… ....… 2分
sin(B?C)sinB?? 3sinBcosA ……… 3分
因为 A、 B、 C是三角形内角
2?
所以 tanA?? 3即 A? ………………………………… 6分
3
（ 2） 因为 a b c
? ? ?2
sinA sinB sinC
所以 b?2sinB 分
c?2sinC……………………………………………… .… 8
S? 3cosBcosC
1
? bcsin A? 3cosBcosC.
2
? 3sinBsinC? 3cosBcosC……………………………… .......… 10分

? 3cos(B?C)? 3…………………………………………… .…… 11分
所以 ?S? 3cosBcosC?
max? 3……………………………… .......…… 12分
rr
19. 解：（ 1） f x a b( ) 1?? g
2
? ? ?1 2sin cos 2sinx x x
? ? ?sin 2 cos 2 2xx ……………………… 4分
?
? ? ?2 sin(2 ) 2x
4
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?k x k k z??2 2 ,
2 4 2
??3
? ? ? ? ? ?k x k k z??,
88
????3
所以 y?f(x)的增区间是 ??? ? ? ?k k k z??， ， ……………………… 6分
??88
??? ? ?
(2) 由题意知： g x x x( ) 2 sin 2( ) 2 cos(2 ) 2? ? ? ? ? ??? …… .....… 8分
??4 4 4
??
m f x g x x x x? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) 2 sin(2 ) 2 cos(2 ) 2cos 2 … .........10分
44
?? 2??
因为 x?? ,
6 3 ?
? ?
?? 4??
所以 2x?? ,
3 3 ?
? ?
因为 方程有两个不同的实根
所以 m 1,2?? ? …………… 12分
x 2
20.?1?由 f x e ax e'( ) 2? ? ? 得 :
y f x? ()在点 (2, 2 )f ? ? 处的切线斜率 ka??40，则 a?0.......2分
x 2 x 2
此时 f x e e x()?? ， f x e e'( )?? .
由 fx'( ) 0? ，得 x?2. ......3分
当 x? ??? ,2?时， fx'( ) 0? ， fx()在 ???,2?上单调递减；
当 x? ???2, ?时 , fx'( ) 0? ， fx()在 ?2,???上单调递增 . .....5分
x 2 x 2
?2?由 f x xe e x( ) 1? ? ? 得 :( 1) 1 0x e ax? ? ? ? .
x 2 x
设 g x x e ax( ) ( 1) 1? ? ? ? ， x?(0，1)，则 g x x e a'( ) ( 2 )?? . .....6分
Q x?(01)， ， x
? ? ?1 ee.
1
① 当 21a? ，即 a? 时， gx'( ) 0? ， gx()在 (0，1)上单调递增，
2
? ? ?g x g( ) 0 0? ? ，不合要求，应舍去 .
e
② 当 2ae? ，即 a? 时， gx'(0)? ， gx()在 (0，1)上单调递减，
2
? ? ?g x g( ) 0 0? ? ，满足要求 .
1 e
③ 当 12??ae，即 ??a 时，令 gx'( ) 0? 得 x ln a? (2 ).
22
当 0 (2 )??x ln a 时， g x g x'( ) ( )?0， 在 (0 (2 ))， ln a 上单调递减 ;当 ln a x(2 ) 1?? 时，
g x g x'( ) 0 ( )? ， 在 ( (2 ) 1)ln a ， 上单调递增 .
e
Q g g a?0 0 1 1?? ? ? ?， ? ? ， ?令 ga?1 1 0?? ? ? ? 得 1??a . .......11分
2
综合得， a的取值范围为 [1 )， ?? . ......12分
21.解：（ 1）由题可知，函数 f(x)的定义域为 （ 0， ??）
2
1 a x x a??
f ( ) 1? x ? ? ? ?
22 …………………………………………… 1分
xxx
所以 f?(x)?0在区间 ?1， ??? 上恒成立
2
即 a x x??? ?
min… ……………………………… 3分
2 ? 1 ?
而 f?(x)?x ?x 在 ，
?- ???上单调递增 ,x?1时 ymin ?2…………… 4分
? 2 ?
2
（ 2） 由题意得 g(x)?xlnx?ax ?a?x
则 g?(x)?lnx?2ax
因为 g(x)有两个极值点 x1,x2
所以 lnx1?2ax1 ， lnx2 ?2ax2 ………………………………… 5分
则 x
ln 2
x1
a?
2( )xx21?
2 3 2
要证 x1?x2 ?e 即证 ln?x1?x2??3
即 lnx1?2lnx2 ?3
3
则 ax1?2ax2 ? ………………………………… 7分
2
因为 0?x1?x2
3
所以 原不等式为 a?
2x1?4x2
??x
x 312 ?
ln 2 ??
x x
即 x1 3 即 2 ??1
ln ? …………………… 8分
? x x2
2(x 1
2?x1) 2x1?4x2 21?
x1
x2 3t?1
令 t ? (t ?1) ? ?
则 lnt ? ………………………………… 9分
x1 2t?1
3?t?1?
令 h(t)?lnt? ,t ?1
2t?1
即证 h(t)?0在 （ 1， ??） 上恒成立即可， ……………………………… 10分

?t?1?(4t?1)
因为 h?(t)?
2 ,t ?1
t?2t?1?
所以 h(t)在 （ 1， ??） 上单调递增 h(t)?h(1)?0
2 3
原不等式 x1?x2 ?e 得证 ………… ............……… 12分
? 3
x?2? t
??
22.解：（ 1）将 曲线 C 2
1的参数方程 ? (t为参数 ),消参 得曲线 C的普通方程
? 1
y ?1? t
?? 2
为 x? 3y?2? 3 ?0
2 2 2 2
? ? ? ? ? ?=4cos θ得 =4 cosθ, =x +y , cos =x将 代 入
2 2
得
C2:(x?2) ? y ?4 ……………………… 5分
? 3
??x?2? t
2
(2)将 曲线 2 2
C1的参数方程 ? (t为参数 )，代入 ?x-2? ?y ?4
? 1
y ?1? t
?? 2
2
整理得： tt? ? ?30
设 A， B对应的参数分别为
t1 t2,则
tt
12? ? ?1 t1t2 ??3
由（ 1）知 C2 是以 ?2， 0?圆心，半径为 2的圆，且 p?2，1?在圆内
所以 tt
12 异号
所以
PA - PB = t
1 ?t
2 ?1…… 10分
23.(1)当 a ?1时 ， 2x?2 ? x?2 ?2
? x??1 ?? ? ?12x 2 ? x?2
? ?x??6 ? ? ? ?x 2 ? ? x?2
??x?6?0 ?3 2 0x?? 3 ?x?2?0
? 2?
所以不等式的解集为： ?xx??6或 x? ?………………… 5分
? 3
?
(3) ?x?(1,3), f(x)?2x即 2x?2 ? ax?2 ?2x
即 2x?2- ax?2 ?2x
ax?2 ?2
4 所以 分
0?a? 0?a?4……………… ………… 10
x