陕西省安康二中2020-2021学年度上学期高三一轮理科数学复习10月16日周测卷（五）（Word含解析）

安康二中2020—2021学年度高三一轮复习周测卷（五）
理科数学·函数与方程、函数的应用
2020.10.16
一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．方程的根所在的区间为
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算．
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所支付金额为
A．1500元
B．1550元
C．1750元
D．1800元
3．已知函数则使函数g(x)＝f(x)+x-m有零点的实数m的取值范围是
A．[0，1)
B．(-∞，1)
C．(-∞，1]∪(2，+∞)
D．(-∞，0]∪(1，+∞)
4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30）
A．2020年
B．2021年
C．2022年
D．2023年
5．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是
A．
B．
C．
D．
6．已知函数记g(x)＝f(x)-ex-a，若函数g(x)存在三个零点，则实数a的取值范围是
A．
B．(-2e，-e)
C．
D．
7．设方程10x＝|lg(-x)|的两个根分别为x1，x2，则
A．x1x2＜0
B．x1x2＝0
C．x1x2＞1
D．0＜x1x2＜1
8．已知函数f(x)＝lg|x-1|，，若两个函数图象的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，Pn(xn，yn)，则x1+x2+x3+…+xn＝
A．8
B．10
C．12
D．14
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）
9．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点所在的区间为
A．(-∞，a)
B．(a，b)
C．(b，c)
D．(c，+∞)
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2-3x，则函数g(x)＝f(x)-x+3的零点为
A．1
B．3
C．
D．
11．已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x+2)＝f(x)，当-1≤x＜1时，
．若函数g(x)＝f(x)-loga|x|至少有6个零点，则实数a的取值范围是
A．
B．(5，+∞)
C．
D．[5，7)
12．已知函数则以下结论正确的是
A．f(-3)+f(2019)＝-3
B．f(x)在区间[4，5]上是增函数
C．若方程f(x)＝kx+1恰有3个实根，则
D．若函数y＝f(x)-b在区间(-∞，4)上有6个零点分别为xi(i＝1，2，3，4，5，6)，则的取值范围是(0，6)
三、填空题
13．声音的等级f(x)（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140
dB；一般说话时，声音的等级约为60
dB．那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的________倍．
14．函数的零点个数为________．
15．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y（单位：万件）与广告费x（单位：万元）之间的函数关系为．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价（单位：元）定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则年利润W＝___________（用x表示），当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为________万元．
16．设函数若对任意实数b，关于x的方程f(x)-b＝0总有实数根，则实数a的取值范围是________．
四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f(x)＝x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点．
（1）若函数的两个零点是-1和-3，求实数k的值；
（2）若函数的两个零点是α和β，求α2+β2的取值范围．
18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝alg
I+b（a，b为非零常数）给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式．
（2）当人们低声说话，声音能量为10-13
W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10-12
W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪？
19．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）．
（1）当0＜x≤20时，求函数v(x)的解析式．
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值．
20．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(-x0)＝-f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．
（1）设f(x)＝2x+m是定义在区间[-1，1]上的“M类函数”，求实数m的最小值；
（2）若函数为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围．
21．已知函数．
（1）若对任意实数m，关于x的方程f(x)＝m总有实数解，求a的取值范围；
（2）若a＝2，求使得关于x的方程f(x)＝kx有三个实数解的实数k的取值范围．
22．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝log2x．
（1）若x0是方程的根，证明：是方程的根．
（2）设方程，的根分别是x1，x2，求x1+x2的值．
安康中学2020—2021学年度高三一轮复习周测卷（五）
理科数学·函数与方程、函数的应用
2020.10.16
参考答案
一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解析】令，由，，，所以f(1)·f(2)＜0，又函数f(x)单调递增，所以f(x)的零点所在的区间为(1，2)，故方程
的根所在区间为(1，2)．故选B．
2．【解析】设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，由题设可知，
因为y＝50＞25，所以x＞1300，所以0.1×(x-1300)+25＝50，解得x＝1550，故此人购物实际所支付金额为1550-50＝1500（元）．故选A．
3．【解析】函数g(x)＝f(x)+x-m有零点等价于方程f(x)+x＝m有实根，令
画出函数h(x)的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)+x-m有零点．故选D．
4．【解析】若2019年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1300×1.12n万元，由1300×1.12n＞2000可得1.3×1.12n＞2，所以lg
1.3+nlg
1.12＞lg
2，所以n×0.05＞0.19，得n＞3.8，则正整数n的最小值为4，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元．故选C．
5．【解析】因为函数y＝f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，所以方程f(2x2+1)+f(λ-x)＝0只有一个实数根．又奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，则f(2x2+1)＝-f(λ-x)等价于f(2x2+1)＝f(x-λ)，则2x2+1＝x-λ，所以方程2x2-x+1+λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(-1)2-4×2×(1+λ)＝0，解得．故选D．
6．【解析】由题意知函数y＝f(x)与y＝ex+a的图象有三个交点，作出函数y＝f(x)的图象如图所示，当直线y＝ex+a经过点时，；当直线y＝ex+a经过点B(1，0)时，a＝-e．因为函数y＝f(x)与y＝ex+a的图象有三个交点，所以．故选A．
7．【解析】作出函数y＝10x与y＝|lg(-x)|的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0．不妨令x1＜x2，则x1＜-1＜x2＜0，所以，，此时，即lg(-x1)＜-lg(-x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1．故选D．
8．【解析】作出函数f(x)＝lg|x-1|与的图象如图所示，可知函数f(x)＝lg|x-1|与函数的图象都关于直线x＝1对称，当x＜-9或x＞11时，f(x)＝lg|x-1|＞1，此时，两函数图象没有交点，由图象知，两个函数图象共有10个交点，这些交点中有5对关于直线x＝1对称，因此，x1+x2+x3+…+x10＝2×5＝10．故选B．
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）
9．【解析】因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a-b)(a-c)＞0，f(b)＝(b-c)(b-a)＜0，f(c)＝(c-a)(c-b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．故选BC．
10．【解析】令g(x)＝0，即f(x)-x+3＝0，所以f(x)＝x-3，作出函数y＝f(x)与y＝x-3的图象，如图所示，有3个交点．
y轴右侧有2个交点，其零点为1和3；y轴左侧零点x＜-3．D项符合题意．故选ABD．
11．【解析】当a＞1时，作出函数f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．
结合图象可知，解得a＞5；当0＜a＜1时，作出函数f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．
结合图象可知，解得．故选AB．
12．【解析】函数f(x)的图象如图所示，f(-3)＝-9+6＝-3，f(2019)＝f(1)＝f(-1)＝1，所以f(-3)+f(2019)＝-2，故A错误；由图象可知f(x)在区间[4，5]上是增函数，故B正确；由图象可知当时，直线f(x)＝kx+1与函数图象恰有3个交点，故C正确；由图象可得，当函数y＝f(x)-b在区间(-∞，4)上有6个零点分别为xi(i＝1，2，3，4，5，6)时，则0＜b＜1，所以当b趋近于0时，趋近于0；当b趋近于1时，趋近于6，所以的取值范围是(0，6)，故D正确．故选BCD．
三、填空题
13．108
【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得，解得x1＝102；，解得x2＝10-6，所以．因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍．
14．2
【解析】令f(x)＝0，得，显然x＝-2不是该方程的根，故
，在同一直角坐标系中分别作出函数，的图象如图所示，可知，它们有2个交点，即函数有2个零点．
15．
31.5
【解析】由题意可得产品的生产成本为(30y+4)万元，销售单价为，故年销售收入为
．所以年利润（万元）．所以当广告费为1万元，即x＝1时，该企业甲产品的年利润为（万元）．
16．[0，1]
【解析】若对任意实数b，关于x的方程f(x)-b＝0总有实数根，即对任意实数b，函数f(x)的图象与直线y＝b总有交点，即函数f(x)的值域为R，因为在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝x2的图象，如图所示，由图可得：当a∈[0，1]时，函数f(x)的值域为R，故实数a的取值范围是[0，1]．
四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（1）由于-1和-3是函数f(x)的两个零点，
故-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5＝0的两个实数根，
则解得k＝-2．
（2）若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5＝0的两根，
所以
则，且α2+β2＝(α+β)2-2αβ＝-k2-10k-6在区间上单调递减，
所以α2+β2在区间上的最大值是18，最小值是，所以α2+β2的取值范围是．
18．解：（1）因为D1+2D2＝3D3，
所以alg
I1+b+2(alg
I2+b)＝3(alg
I3+b)，
所以lg
I1+2lg
I2＝3lg
I3，所以．
（2）由题意得解得
所以100＜10lg
I+160＜120，解得10-6＜I＜10-4．
所以，当声音能量I∈(10-6，10-4)时，人会暂时性失聪．
19．解：（1）由题意可知，当0＜x≤4时，v(x)＝2；
当4≤x≤20时，设v(x)＝ax+b(a≠0)，
显然v(x)＝ax+b在区间[4，20]上是减函数，
则解得
故函数
（2）依题意并由（1）可得，
当0＜x≤4时，f(x)为增函数，
故f(x)max＝f(4)＝8；
当4＜x≤20时，，
故f(x)max＝f(10)＝12.5．
所以当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
20．解：（1）因为函数f(x)＝2x+m是定义在区间[-1，1]上的“M类函数”，
所以存在实数x0∈[-1，1]，满足f(-x0)＝-f(x0)，
即方程2x+2-x+2m＝0在区间[-1，1]上有解．
令t＝2x，，则．
令，因为函数g(t)在区间上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，
所以当或t＝2时，m取得最小值．
（2）由x2-2mx＞0对?x≥2恒成立，得m＜1．
因为若函数为其定义域上的“M类函数”，
所以存在实数x0，满足f(-x0)＝-f(x0)，
①当x0≥2时，-x0≤-2，
所以，所以．
因为函数是增函数，所以m≥-1．
②当-2＜x0＜2时，-2＜-x0＜2，所以-3＝3，矛盾．
③当x0≤-2时，-x0≥2，所以，所以．
因为函数是减函数，
所以m≥-1．
综上所述，实数m的取值范围是[-1，1)．
21．解：（1）原问题等价于函数f(x)的值域为R．
当x≥0时，f(x)＝x2-2x+2＝(x-1)2+1≥1，
所以，函数y＝f(x)在区间[0，+∞)上的值域为[1，+∞)；
当x＜0时，
，
则函数y＝f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，
此时f(x)＜a．
所以，函数y＝f(x)在区间(-∞，0)上的值域为(-∞，a)．
由题意可得(-∞，a)∪[1，+∞)＝R，
所以a≥1．
因此，实数a的取值范围是[1，+∞)．
（2）当a＝2时，
可知x＝0不是方程f(x)＝kx的根，
当x≠0时，由f(x)＝kx，得，
令，
则
所以，直线y＝k与函数y＝g(x)的图象有三个公共点．
当x＞0时，函数y＝g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以当时，函数y＝g(x)取得最小值，
即；
当x＜0时，，
则函数g(x)在区间(-∞，0)上为减函数．
作出函数y＝g(x)和直线y＝k的图象如图所示，
由图象可知，当时，直线y＝k与函数y＝g(x)的图象有三个交点，
因此，实数k的取值范围是．
22．（1）证明：因为x0是方程的根，
所以，即，
则，
所以是方程的根．
（2）解：由题意知，方程，的根分别是x1，x2，
即方程
，的根分别为x1，x2，
令t＝x-1，
则方程，的根分别为t1＝x1-1，t2＝x2-1，
由（1）知t1是方程的根，
则是方程的根．
令，则是函数h(t)的零点，
又因为h(t)是区间(0，+∞)上的增函数，
所以是函数h(t)的唯一零点，
即是方程的唯一实根．
所以，
所以，
即，
所以
．