2.3.1.直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识目标：借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义．
通过直观感知、操作确认，归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理．
理解直线与平面所成的角的定义。
2、能力目标：能简单的应用直线与平面的定义和判定定理解决问题。
能找到或者构造直线与平面所成的角。
3、数学思想：由线面垂直向线线垂直转化的思想方法。
二、重点
难点
关键
重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，识别直线与平面所成的角。
难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用。
关键：把线面垂直问题转化为线线垂直问题。
三、课前准备
学生自备学具：三角形纸片、笔（表直线）、课本（表平面）。
四、教学过程
（一）复习旧知,观察体验.
1.直线和平面有哪些位置关系?
（1）直线在平面内（无数个公共点）（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）（3）直线和平面平行（没有公共点）
设计意图：基于学生已有的数学知识，在已学的几何模型中去感知直线与平面垂直的位置关系，有利于学生进行知识的抽象概括，有利于揭示问题的本质。
2.首先展示这三张图片，让学生观察，直观感知直线与平面垂直的位置关系，
【设计意图】：这种联系现实世界引入概念的方式有助于学生将客观现实材料和数学知识融为一体，实现“概念的数学化”
（二）抽象概括直线与平面垂直的定义
1、创设情境—感知概念
问题：
展示图片，
AB是旗杆所在直线，α是地面所在平面，在阳光下观察旗杆与影子有什么关系。
这是一个开放性的问题，可以分解成两个问题
（1）阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？
【设计意图】：引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察思考，感知直线与平面垂直的内涵。引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直。
2、实践操作—形成概念：
问题3：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
【学生活动】学生自己动手操作确认，并总结。
【设计意图】：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题．通过这样直观的、具体的变式引入概念，借助学生已有的具体的直观经验，帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系，实现从具体到抽象的过渡。
3、理解记忆—总结概念：
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
l与平面α互相垂直，记作：
l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图3。
【学生活动】：学生作答，教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。
【设计意图】：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。
（三）直线与平面垂直的判定定理的探究
1．分析实例—引出矛盾
展示图片
问题：如何判定竖直的铁棍和木棍与地面垂直吗？怎么判定？
【设计意图】：经过学生讨论发现，利用直线与平面垂直的定义，很难证明，不好操作。我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.
2．步步探究—猜想定理
问题1.
对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
引导学生从最简单的开始猜想，并试验能否成功判定直线与平面垂直。
问题2.如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？
【学生活动】学生操作确认，这种方法不能确定。
问题3.如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？
【学生活动】学生操作确认，平面α内的两条直线有平行直线和相交直线。
学生可以利用身边的笔表示直线，课本表示平面，书桌可以表示平面，来展示直线与平面的位置关系。
3．动手操作—确认定理
如图，请学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：
①折痕AD与桌面垂直吗？
②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
再引导学生观察。思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？
【学生活动】合作交流：学生观察并分组讨论，然后以组为单位抢答结论。
【设计意图】：安排这个活动的目的在于让学生在操作中辨析、思考折纸过程的数学本质，真正体会到知识产生的过程，在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。同时在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，进一步提高自主学习能力.
(四)直线与平面垂直判定定理的总结与应用
1.总结定理：
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：表示为：
【学生活动】从文字语言和符号语言，关键词，定理的条件与结论等方面深度分析定理，说明定理的作用。线不在多，在于相交。
【设计意图】理解转化的数学思想。
2.应用定理
例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
【学生活动】：学生思考，写出解答过程，一名学生板演。
【设计意图】：需要把文字语言根据图形转化为符号语言，
强化定理中“两条相交直线”的条件，再次强调“相交”条件。这里我指出这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系,也给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，为今后多角度研究问题提供思路。
（五）直线与平面所成的角
1.自学成才
学生自主深度阅读课本。根据自己的理解斜线、斜足，斜线在平面上的摄影，直线与平面所成的角等概念。
2.点石成金
通过学生由图形理解定义，真正理解这些定义，归根结底为了引入直线与平面所成的角。
3.跟踪练习
正方体是一种常见的立体图形，从正方体中体会直线与平面所成的角。
（六）总结反思
（1）直线与平面垂直的定义是什么？
（2）直线与平面垂直的判定有几种办法？
（3）直线与平面所成的角怎么找？
（4）学到了哪些数学思想？
【学生活动】归纳出判断直线与平面垂直的三种方法：利用定义，利用判定定理，利用思考题2的结论。这些方法都体现了转化的数学思想。同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
（七）、板书设计
图3
1．定义法
二．判定
电脑投影屏幕
一．定义
直线与平面垂直的判定
2．判定定理
P
l
α
C’
B’
C
B
A
图1(共20张PPT)
2.3.1
直线与平面垂直的判定
c
a
b
O
直线与平面有那些位置关系？
a/
/
b
c
=O
观察实例,发现新知
房屋的屋柱与地面的关系
大桥的桥柱与水面
旗杆与地面的关系
AB是旗杆所在直线，α是地面所在平面，在阳光下观察旗杆与影子有什么关系。
A
α
B
B1
C1
C
B
旗杆AB所在直线
与地面内任意一条过点B的直线垂直．
与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．
直线垂直于平面内的
任意一条直线．
1思考
将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
2实践
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直.
一、直线与平面垂直的定义
3总结
如果直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足.
l
α
A
垂线
垂面
垂足
过一点可作多少条平面α的垂线？
过一点可作多少个直线
l
的垂面？
知识探究（二）：直线与平面垂直的判定
对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
想一想
我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.
如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？
如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？
猜一猜
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
过
的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）
当且仅当折痕
AD
是
BC
边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面
垂直．
动手操作
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
判定定理
线线垂直
线面垂直
二、直线与平面垂直的判定定理
即：
m
n
P
线不在多，重在相交
例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
a
b
m
n
??
，
重要结论
练习题
1、在空间，下列命题
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；
（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
正确的是（
）
A.(1)(3)(4)
B.(1)(4)
C.(1)
D.四个命题都正确。
B
三、直线和平面所成角
1)
斜线:
2)
斜足:
3)
斜线在平面上的射影:
和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线
斜线和平面相交的交点
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面上的射影.
☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，
叫做直线和平面所成的角.
规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°
②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0
°
☆直线和平面所成角的取值范围为
[0°,90°]
α
P
l
A
O
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2）A1C1与面BB1D1D所成的角
（3）A1C1与面BB1C1C所成的角
0o
练习
90o
45o
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
1．直线与平面垂直的概念
4．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
3．直线与平面所成的角
作业布置
P67页练习第1题,P74页B组2题《直线与平面的垂直的判定》评测练习
1．填空。
(1)
过直线外一点可作_____条直线与该直线平行，可作______条直线与该直线垂直；
(2)
过平面外一点可作_____条直线与该平面平行，可作______条直线与该平面垂直。
2．一条直线与一个平面垂直的条件是
(
)
A.
垂直于平面内的一条直线
B.
垂直于平面内的两条直线
C.
垂直于平面内的无数条直线
D.
垂直于平面内的两条相交直线
3．如果平面α外的一条直线a与α内两条直线垂直，那么
(
)
A.
a⊥α
B.
a∥α
C.
a与α斜交
D.
以上三种均有可能
4．判断题：（对的打“√”，错的打“×”）
（1）过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
(
)
（2）过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行
(
)
（3）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(
)
(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
(
)
(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
(
)
(6)过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。
(
)
5．如图2－36：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E ，
求证：AE⊥平面PBC。
参考答案
1．1，无数；无数，1
2．D
3．D
4．√；×；×；√；√；×。
5．证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC
又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE
∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。
