第1讲 一元二次方程满分练习题（含解析）

第1讲一元二次方程
1 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【例题精选】
例1（2019秋?黄冈期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
例2 （2019秋?淮安区期末）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2019的值是（　　）
A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2+3a）的值．
【解答】解：根据题意，得
a2+3a﹣1＝0，
整理得，a2+3a＝1，
所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【随堂练习】
1．（2020?武汉模拟）将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（　　）
A．1，2，5 B．1，﹣2，﹣5 C．1，﹣2，5 D．1，2，﹣5
【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣5＝0，
则a，b，c的值分别是1，2，﹣5，
故选：D．
2．（2020?河北模拟）已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2019的值是（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴原式＝a3+a2+a2+2019
＝a（a2+a）+a2+2019
＝a+a2+2019，
＝1+2019
＝2020，
故选：C．
3．（2019秋?开远市期末）若x＝3是方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【解答】解：把x＝3代入x2﹣5x+m＝0得9﹣15+m＝0，解得m＝6．
故选：D．
　
2 直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .
【例题精选】
例1（2019春?蜀山区期中）解方程：（y+2）2﹣6＝0
【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．
【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，
（y+2）2＝12，
y+2＝±2，
y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2019春?鼓楼区校级月考）解方程（2x+1）2＝64；
【解答】解：（1）∵（2x+1）2＝64，
∴2x+1＝±8，
解得，x1＝3.5，x2＝﹣4.5；
2．（2019秋?南关区校级月考）（2y﹣3）2﹣64＝0
【解答】解：方程整理得：（2y﹣3）2＝64，
开方得：2y﹣3＝8或2y﹣3＝﹣8，
解得：y＝5.5或y＝﹣2.5
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为的形式；
　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【例题精选】
例1（2020?泉港区一模）解方程：x2﹣4x＝1．
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：配方得x2﹣4x+4＝1+4，
即（x﹣2）2＝5，
开方得x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
例2 （2020?武汉模拟）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝，
开方得x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
【随堂练习】
1．（2020?江岸区校级模拟）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
2．（2019秋?中山市期末）解方程：x2+4x﹣3＝0．
【解答】解：原式可化为x2+4x+4﹣7＝0
即（x+2）2＝7，
开方得，x+2＝±，
x1＝﹣2+；
x2＝﹣2﹣．
3．（2020?武汉模拟）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣2x﹣＝0
x2﹣2x+1＝+1
（x﹣1）2＝
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
　
4 公式法
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
【例题精选】
例1（2019秋?长白县期中）用公式法解方程：4x2+4x﹣1＝﹣10﹣8x．
【分析】先将方程整理为一般式，再利用公式法求解可得．
【解答】解：将方程整理为一般式，得：4x2+12x+9＝0，
∵a＝4，b＝12，c＝9，
∴△＝122﹣4×4×9＝0，
则x＝＝﹣，
即x1＝x2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
例2（2019秋?黄浦区校级期中）解方程：3x2﹣16x+5＝0
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（3x﹣1）（x﹣5）＝0，
3x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2018秋?永寿县期末）用公式法解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
【解答】解：x2﹣3x﹣4＝0，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25，
x＝，
x1＝4，x2＝﹣1．
2．（2019秋?江汉区校级月考）公式法解方程
（1）x2+2x﹣2＝0．
（2）3x2+2x﹣1＝0
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，
∴△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
∴x＝＝﹣1±，
即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）∵a＝3，b＝2，c＝﹣1，
∴△＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝﹣1．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【例题精选】
例1（2019春?南岗区校级期中）解方程：
（1）x（x﹣3）＝6﹣2x
（2）2x2﹣7x+3＝0
【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x（x﹣3）＝6﹣2x，
∴x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），
∴（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x＝3或x＝﹣2．
（2）∵2x2﹣7x+3＝0，
∴（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x＝或x＝3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
例2（2019秋?思明区校级期中）解方程
（1）x2+6x＝0
（2）x2﹣4x﹣3＝0
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2+6x＝0，
∴x（x+6）＝0，
则x＝0或x+6＝0，
解得x＝0或x＝﹣6；
（2）∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
解得x﹣2＝±，
∴x＝2+或x＝2﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019秋?袁州区校级期中）一元二次方程（x﹣2016）（x+2017）＝0的解为（　　）
A．x＝2016 B．x＝﹣2017
C．x1＝2016，x2＝2017 D．x1＝2016，x2＝﹣2017
【解答】解：（x﹣2016）（x+2017）＝0，
x﹣2016＝0或x+2017＝0，
∴x1＝2016，x2＝﹣2017．
故选：D．
2．（2019春?大连期末）方程（2x﹣3）（x+2）＝0的解是（　　）
A．x＝﹣ B．x＝2
C．x1＝﹣2，x2＝ D．x1＝2，x2＝﹣
【解答】解：（2x﹣3）（x+2）＝0，
x+2＝0，2x﹣3＝0，
x1＝﹣2，x2＝，
故选：C．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（　　）
A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．2
【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，
﹣x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：B．
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；
C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；
故选：B．
3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（　　）
A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5
【解答】解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，
解得：a≥1且a≠5，
故选：D．
二．解答题（共4小题）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，
（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，
∴3x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2
＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2
∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，
∴a2﹣2a﹣4＝0，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝4﹣2＝2．
6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵m是方程的一个实数根，
∴m2+（m+3）m+m+1＝0．
整理得：2m2+4m+1＝0
解得：m＝．
7．用适当的方法解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；
分解因式得：x（3x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
（2）（x﹣1）2＝4；
开方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（3）x2+2x﹣5＝0，
配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝2.5；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
方程整理得：x2+x﹣3＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣3
∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝；
解得：x1＝，x2＝．