初中数学暑期讲义——圆和圆的位置关系（无答案）

第八讲 圆（三）
——圆和圆的位置关系
1、定义：
（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。
外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1））
内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6））
（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切
外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2））
内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4））
（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3））
注意：
（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。
（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。
（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。
2. 两圆位置关系的性质:
两圆外切d=R+r； 两圆内切d=R－r
两圆相交R－r＜d＜R+r； 两圆外离d＞R+r；两圆内含d＜R－r
为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为：
补充：
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（轴对称来说明，证明可用反证法，不作要求）
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心。从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决。
例题讲解
1. (2011江苏南京，26，8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
2. （2011湖北黄石，24，9分）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为O2上一点
（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D。
（1）如图（8），若AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD
（2）如图（9），若C是⊙O1外一点，求证：O1C⊥AD
（3）如图（10），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立。
3．（2010湖北十堰）（本小题满分9分）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.
（1）求证：O2C⊥O1O2；
（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；
（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.
4．（2010湖北黄石）在△ABC中，分别以AB、BC为直径⊙O、⊙O，交于另一点D.
⑴证明：交点D必在AC上；
⑵如图甲，当⊙O与⊙O半径之比为4︰3，且DO与⊙O相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠ODB的值；
⑶如图乙，当⊙O经过点O，AB、DO的延长线交于E，且BE＝BD时，求∠A的度数.
练习
一、选择题
1. （2011浙江温州，8，4分）已知线段AB＝7cm．现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系是(　　　)
A．内含 B．相交 C．外切 　 D．外离
2. （2011江苏扬州，4,3分）已知相交两圆的半径分别在4和7，则它们的圆心距可能是（ ）
A.2 B. 3 C. 6 D. 11
3. （2011山东济宁，5，3分）已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为9 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是（ ）
A．1 cm B．5 cm C．1 cm或5 cm D．0.5cm或2.5cm
4. （2011福建泉州，5，3分）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm，两圆的圆心距是3.5cm，则两圆的位置关系是（ ）.
A．内含 B．外离 C．内切 D．相交
5．（2011广东茂名，7，3分）如图，⊙、⊙相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙沿直线平移至两圆相外切时，则点移动的长度是
A．4 B．8 C．16 D．8 或16
6. （2011湖北襄阳，9，3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，则⊙A，⊙B的位置关系是
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离[
二、填空题
7. （2011浙江义乌，13，4分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和5，且⊙O1与⊙O2相切，则O1O2等于 ．
8. （2011四川广安，14，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是____
9. （2011江苏南通，18，3分）已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的
圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝x相切，设半圆C1、半圆C2、
半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝
10. （2011广东肇庆，14，3分）已知两圆的半径分别为1和3，若两圆相切，则两圆的圆心距为 ．
11. （2011山东枣庄，17，4分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0），半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是________.
A
B
C
P
Q
O
O1
O2
A
B
C
D
（a，0）
x
y
O
·
3
5
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