华东师大版九年级数学上册第23章《图形的相似》章末检测（Word版 含答案）

章末检测
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四条线段中，不是成比例线段的为(　　)
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝1，b＝，c＝，d＝
D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
2．下列各组图形中有可能不相似的是(　　)
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连结AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为(　　)
A．2∶5
B．3∶5
C．9∶25
D．4∶25
4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)
A．(2，1)
B．(2，0)
C．(3，3)
D．(3，1)
5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
6．如图，为计算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20
m，CE＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB等于(　　)
A．60
m
B．40
m
C．30
m
D．20
m
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(　　)
A．(6，0)
B．(6，3)
C．(6，5)
D．(4，2)
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)
A．2
B．2.4
C．2.5
D．2.25
9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝(　　)
A．2：5：25
B．4：9：25
C．2：3：5
D．4：10：25
　　
10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连结FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝6
cm，则DE的长度是________cm.
12．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500
000的地图上测得所居住的城市距A地32
cm，则小明所居住的城市与A的实际距离为________．
13．已知＝＝，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为________．
14．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．
15．如图，△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．
16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．
17．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2
018次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2
018的位置，则点P2
018的横坐标为________．
18．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45
cm，小尺长a＝15
cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42
m，则铁塔的高度是________m.
19．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．
20．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则Sn＝____________.(用含n的式子表示，n为正整数)
三、解答题(21题6分，22，25题每题12分，23，24题每题8分，26题14分，共60分)
21．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．
22．如图，小正方形网格的边长为1.
(1)分别写出△ABC和△DEF的顶点的坐标；
(2)以D为位似中心，把△DEF缩小一半，得到△DMN，在网格中画出△DMN，并写出M，N两点的坐标；
(3)试说明△ABC和△DEF的面积关系．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
24．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10
m，在与河岸DE的距离为16
m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝12
cm，BC＝6
cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？
26．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE.
将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．
(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．
答案
一、1．B　2．A　3．C　4．A　5．A
6．B　点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
∴＝，即＝.
∴AB＝40
m.
7．B
8．B　点拨：由∠A＝∠ABC＝90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.
∴＝.由AE＝×3＝1.5，
AB＝2，得BE＝2.5，
∴＝.∴CF＝2.4.
9．D
10．D　点拨：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD＋∠FAG＝90°.
∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，
∴∠AFG＋∠FAG＝90°.
∴∠DAC＝∠AFG.
在△FGA和△ACD中，
∴△FGA≌△ACD，
∴AC＝FG，①正确．∵BC＝AC，
∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，
S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG，
②正确．
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确．
易知∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，
∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，
∴AC∶AD＝FE∶FQ，
∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，④正确．
二、11．3
12．160
km　点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x
km，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.
13．14　点拨：由＝＝，可设a＝5k，b＝7k，c＝8k.∵3a－2b＋c＝9，
∴3×5k－2×7k＋8k＝9，∴k＝1.
∴2a＋4b－3c＝10k＋28k－24k＝14k＝14.
14．S1＝S2　点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，
∴BC2＝AC·AB.
又∵S1＝BC2，S2＝AC·AD＝AC·AB，∴S1＝S2.
15．2；1：2；1：6　16．(，)
17．2017
18．14　点拨：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝42
m，由题意知，CP＝45
cm＝0.45
m，EF＝15
cm＝0.15
m.
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴AB＝14
m，
即铁塔的高度为14
m.
19．或3　点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM
∶BP＝CB
∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.
20．×　点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，
∴BB1＝BC＝1.
在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，
根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，
∴＝.∴S1＝S.
同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….
又∵S＝×1×＝，
∴S1＝S＝×，
S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，Sn＝×.
三、21．解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，
则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.
因为四边形ABCD∽四边形EFGH，
所以x∶7＝12∶6，解得x＝14.
22．解：(1)A(0，2)，B(－3，1)，C(－2，－1)；D(0，－2)，E(6，0)，F(4，4)．(2)取DE的中点M，DF的中点N，连结MN，则△DMN就是以D为位似中心的△DEF的位似图形，如图，由图知，M，N两点的坐标分别为M(3，－1)，N(2，1)．
(3)由(1)(2)中△ABC和△DMN顶点的坐标，可知△ABC与△DMN关于原点成中心对称，所以△ABC和△DMN的面积相等．又因为△DMN∽△DEF，相似比为1：2，所以△DMN与△DEF的面积比为1：4，故△ABC与△DEF的面积比为1：4.
23．(1)证明：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD.
(2)解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，
∵·AD·BD＝·AB·DE，
∴DE＝.
24．解：由题意可得DE∥BC，
所以＝.　
又因为∠DAE＝∠BAC，
所以△ADE∽△ABC.
所以＝，即＝.
因为AD＝16
m，BC＝50
m，DE＝20
m，
所以＝.
所以DB＝24
m.
所以这条河的宽度为24
m.
25．解：(1)由题意知AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当QA＝AP时，
△QAP是等腰直角三角形，所以6－t＝2t，解得t＝2.
(2)四边形QAPC的面积＝S△QAC＋S△APC＝AQ·AB＋AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36.在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．
(3)分两种情况：
①当＝时，△QAP∽△ABC，则＝，即t＝1.2；
②当＝时，△PAQ∽△ABC，则＝，即t＝3.
所以当t＝1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．
26．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.∵∠B＝90°，∴AC＝＝4
，∴AE＝CE＝2
，∴＝＝.当α＝180°时，如图①，易得AC＝4
，CE＝2
，CD＝4，∴＝＝＝.
(2)无变化．
证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴＝，∠EDC＝∠ABC＝90°.
如题图②，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
∴＝仍然成立．
又∵∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD，∴＝.
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4
.
∴＝＝，∴＝，
∴的大小不变．
(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4
；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.
综上，BD的长为4
或.