鲁教版（五四制）八年级数学上册《第4章 图形的平移与旋转》 单元测试卷 （Word版 含解析）

第4章
图形的平移与旋转
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（　　）
A．（5，2）
B．（1，0）
C．（3，﹣1）
D．（5，﹣2）
4．如图，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，△ADE由△ABC旋转而成，则BE的长为（　　）
A．1
B．
C．1.2
D．2
5．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为（　　）
A．5
B．6
C．10
D．4
6．经过下列变换，不能由图①所示的基本图形得到图②的是（　　）
A．旋转和平移
B．中心对称和轴对称
C．平移和轴对称
D．中心对称
7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝3，则AE的长为（　　）
A．
B．5
C．8
D．4
8．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
9．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
A．（，1）
B．（1，﹣）
C．（，﹣）
D．（﹣，）
10．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与
CD1交于点O，则线段AD1的长为（　　）
A．6
B．10
C．8
D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如果，那么　
　．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′的度数是　
　．
13．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′、B′、C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″，则点A″的坐标为　
　．
14．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到Rt△DEF，下列结论：
①△ABC≌△DEF；②∠DEF＝90°；③AC＝DF；④EC＝CF；⑤S四动形ABEG＝S四边形DGCF．其中正确的有　
　（填序号）．
15．边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A（3，3），B（5，0），若A1的坐标为（﹣5，﹣3），则B1的坐标为　
　．
16．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为　
　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为点B'、C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，则CD＝　
　．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为　
　．
三、解答题（共46分）
19．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE连结CD、BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连结DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
20．（8分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
23．（10分）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（　　）
A．（5，2）
B．（1，0）
C．（3，﹣1）
D．（5，﹣2）
【分析】根据平移变换，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；
【解答】解：如图，△A2B2C1即为所求．
观察图象可知：A2（5，2）
故选：A．
4．如图，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，△ADE由△ABC旋转而成，则BE的长为（　　）
A．1
B．
C．1.2
D．2
【分析】根据BE＝AB﹣AE，求出AB，AE即可解决问题；
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
由旋转不变性可知：AE＝AC＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，
故选：A．
5．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为（　　）
A．5
B．6
C．10
D．4
【分析】根据平移的性质得到AB＝BD，BC∥DE，利用三角形面积公式得到S△BCD＝S△ACD＝5，然后利用DE∥BC得到S△BCE＝S△BCD＝5．
【解答】解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AB＝BD，BC∥DE，
∴S△ABC＝S△BCD＝S△ACD＝×10＝5，
∵DE∥BC，
∴S△BCE＝S△BCD＝5．
故选：A．
6．经过下列变换，不能由图①所示的基本图形得到图②的是（　　）
A．旋转和平移
B．中心对称和轴对称
C．平移和轴对称
D．中心对称
【分析】根据旋转、平移、轴对称、中心对称的性质即可进行逐一判断．
【解答】解：因为经过旋转和平移能由图①所示的基本图形得到图②，所以A选项不符合题意；
因为经过中心对称和轴对称能由图①所示的基本图形得到图②，所以B选项不符合题意；
因为经过平移和轴对称能由图①所示的基本图形得到图②，所以C选项不符合题意；
因为经过中心对称不能由图①所示的基本图形得到图②，所以D选项符合题意．
故选：D．
7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝3，则AE的长为（　　）
A．
B．5
C．8
D．4
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝3，
∴Rt△ADE中，AE＝＝＝．
故选：A．
8．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
9．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
A．（，1）
B．（1，﹣）
C．（，﹣）
D．（﹣，）
【分析】求出旋转后OA与y轴夹角为45°，然后求出点A′的横坐标与纵坐标，从而得解．
【解答】解：如图，
∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴旋转后OA与y轴夹角为45°，
∵OA＝2，
∴OA′＝2，
∴点A′的横坐标为2×＝，
纵坐标为﹣2×＝﹣，
所以，点A′的坐标为（，﹣）．
故选：C．
10．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与
CD1交于点O，则线段AD1的长为（　　）
A．6
B．10
C．8
D．
【分析】先求出∠ACD＝30°，再根据旋转角求出∠ACD1＝45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD1＝30°+15°＝45°，
又∵∠A＝45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴AO＝CO＝AB＝×12＝6，AB⊥CO，
∵DC＝14，
∴D1C＝DC＝14，
∴D1O＝14﹣6＝8，
在Rt△AOD1中，AD1＝＝＝10．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如果，那么　　．
【分析】观察图象的变化，根据旋转变换的性质轴对称的性质即可解决问题．
【解答】解：由题意性质180，可得图形：
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′的度数是　105°　．
【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠B'AC'＝75°，AB＝AB'，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAB'＝30°，即可求解．
【解答】解：∵以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，
∴∠BAC＝∠B'AC'＝75°，AB＝AB'，
∵BB'∥AC'，
∴∠C'AB'＝∠AB'B＝75°，
∵AB＝AB'，
∴∠AB'B＝∠BB'A＝75°，
∴∠BAB'＝30°，
∴∠BAC'＝∠BAB'+∠B'A'C'＝75°+30°＝105°，
故答案为：105°．
13．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′、B′、C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″，则点A″的坐标为　（6，0）　．
【分析】由平移的性质和旋转的性质作出图形，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，
∴A′、B′、C′的坐标分别为（4，4），B（3，1），C（2，2），
再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，
则点A″的坐标为
（6，0）；
故答案为：（6，0）．
14．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到Rt△DEF，下列结论：
①△ABC≌△DEF；②∠DEF＝90°；③AC＝DF；④EC＝CF；⑤S四动形ABEG＝S四边形DGCF．其中正确的有　①②③⑤　（填序号）．
【分析】由平移的性质可得Rt△ABC≌△Rt△DEF，由全等三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到Rt△DEF，
∴Rt△ABC≌△Rt△DEF，故①正确；
∴S△ABC＝S△DEF，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，故②、③正确；
∴S四动形ABEG＝S四边形DGCF，CF＝BE，故④错误，⑤正确，
故答案为：①②③⑤．
15．边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A（3，3），B（5，0），若A1的坐标为（﹣5，﹣3），则B1的坐标为　（﹣3，﹣6）　．
【分析】各对应点之间的关系是横坐标加﹣8，纵坐标加﹣6，那么让点B的横坐标加﹣8，纵坐标加﹣6即为点B1的坐标．
【解答】解：由点A到A1可知：各对应点之间的关系是横坐标加﹣8，纵坐标加﹣6，那点B到B1的移动规律也如此，则B1的横坐标为5+（﹣8）＝﹣3；纵坐标为0+（﹣6）＝﹣6；
∴B1的坐标为（﹣3，﹣6）．
故答案为：（﹣3，﹣6）．
16．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为　6　．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴阴影部分的面积之和为3×2＝6．
故答案为：6．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为点B'、C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，则CD＝　　．
【分析】设CD＝x，由B′C′∥AB，可推得∠BAD＝∠B′，由旋转的性质得：∠B＝∠B′，于是得到∠BAD＝∠B，AC＝AC′＝4，AD＝BD＝8﹣x，由勾股定理可求解．
【解答】解：设CD＝x，
∵B′C′∥AB，
∴∠BAD＝∠B′，
由旋转的性质得：∠B＝∠B′，AC＝AC′＝6，
∴∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD＝8﹣x，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，
∴CD＝，
故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为　10100　．
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求得B2020的坐标．
【解答】解：由图象可知点B2020在第一象限，
∵OA＝，OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝，
∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…
∴B2020（10100，4）．
∴点B2020横坐标为10100．
故答案为10100
三、解答题（共46分）
19．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE连结CD、BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连结DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质知∠DAE＝60°，AE＝AD，从而得∠EAB＝∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；
（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB＝∠ADC＝115°可得．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC；
（2）如图，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
又∵∠AEB＝∠ADC＝115°．
∴∠BED＝55°．
20．（8分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．
【分析】由平移的性质可知△ABC平移的距离，以及BE＝2BC＝4，DE＝AC＝2，故可得出BD⊥DE，由∠E＝∠ACB＝60°，在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
【解答】解：∵△DCE由△ABC平移而成，
∴△ABC平移的距离为：BC＝2，
且BE＝2BC＝4，DE＝AC＝2，∠E＝∠ACB＝60°，
∴DE＝BE，
∴BD⊥DE，
又∵∠E＝∠ACB＝60°，
∴AC∥DE，
∴BD⊥AC，
∴△BED是直角三角形，
∵BE＝4，DE＝2，
∴BD＝＝2．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；
（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；
（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；
（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示；
（2）由旋转的性质得：∠DCF＝90°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠ECF＝∠BCD，
∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF＝180°，
∴∠EFC＝90°，
在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS），
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
23．（10分）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Rt△BCD≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）AE＝DB，AE⊥DB，
证明：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴AE⊥DB；
（2）DE＝AF，DE⊥AF，
证明：设DE与AF交于N，
由题意得，BE＝AD，
∵∠EBD＝∠C+∠BDC＝90°+∠BDC，
∠ADF＝∠BDF+∠BDC＝90°+∠BDC，
∴∠EBD＝∠ADF，
在△EBD和△ADF中，
，
∴△EBD≌△ADF，
∴DE＝AF，∠E＝∠FAD，
∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，
∴∠FAD＝45°，
∴∠AND＝90°，即DE⊥AF．