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指数函数的定义
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
两类指数模型
1.，当a>1时为指数增长型函数模型。
2.。当0
三、指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
【知识拓展】
1.指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.
3.指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究.
例1：[2019秋·兴庆区校级期末]下列是指数函数的是（
D
）
B.
C.
D.
【解析】解:根据指数函数的解析式，A,B,C不满足，故选D。
例2：[2019秋·罗湖区校级期末]若函数是指数函数，则a的值是（
B
）。
-1
B.3
C.3或-1
D.2
【解析】解：∵函数是指数函数，∴，解得：a=3
选择题
1.（2020·全国高一课时练习）下列各函数中，是指数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】根据指数函数的定义知，，A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；D正确.故选：D
函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m的值为( )
A.2
B.1
C.3
D.2或-1
【答案】D【解析】由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.
已知对于任意实数a(a>0,且a≠1),函数f(x)=7+ax-1的图象恒过点P,则点P的坐标是( )
A.(1,8)
B.(1,7)
C.(0,8)
D.(8,0)
【答案】A【解析】在函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)中,当x=1时,f(1)=7+a0=8.所以函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P(1,8).故选A.
4.（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
【答案】C【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，
解得且.故选：C.
5.
当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A【解析】∵-2≤x<2,∴-2<-x≤2,∴3-2<3-x≤32,∴-<3-x-1≤8,即y∈.
已知函数f(x)=则f+f=( )
A.3
B.5
C.
D.
【答案】A【解析】∵f=f-1=-1=1,f=2,∴f+f=1+2=3,故选A.
（2020·沙坪坝.重庆八中高一期末）已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】实数且,若函数的值域为,
当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立
当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得（舍去）综上可知的取值范围为故选:D
函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )
【答案】C【解析】当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当09.（2020·浙江高一课时练习）二次函数与指数函数的图像的交点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C【解析】二次函数，且时，；
时，.指数函数,当时，；时，.两个函数上均单调递减，在坐标系中画出与的图象，如图所示，由图可得，两个函数图像的交点个数为1.故选：C.
10.（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方，
故，综上所述:.故选:C.
已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
【答案】B【解析】∵3>1,0<0.2<1,∴a=30.2∈(1,3).
∵b=0.2-3==53=125,c=(-3)0.2=(-3<0,∴b>a>c.
[2019秋·滁州期末]如图所示，二次函数与指数函数的图像只可为（
C
）
【答案】C【解析】根据指数函数可知a,b同号且不相等，则二次函数的对称轴可排除B与D，又因为二次函数过坐标原点，∴C正确。
[2019秋·诸暨市校级月考]若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（
A
）。
B.
C.
D.
【答案】A【解析】函数是R上的增函数，则，故选A。
填空题
函数的定义域为______________．
【答案】。【解析】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.
因此，函数的定义域为，故答案为.
已知指数函数f(x)=(1-2a)x,且f(3)【答案】(-∞,0)。【解析】∵f(x)是指数函数,且f(3)∴0<1-2a<1,即0<2a<1,∴a<0.
（2019·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数的增区间是________________
.
【答案】【解析】函数的定义域为，令，则，
因为在上单调递减，而在上单调递减，
所以函数的增区间为.故答案为：
4.（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是
。
【答案】(－1，5)【解析】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).
5.（2020·浙江金华.高一期末）已知函数，则的最小值是_____________.
【答案】【解析】当时，函数单调递增，此时；
当时，设，，
此时，．综上可知，函数的最小值是．故答案为：．
6．（2020·吉林南关.长春市实验中学高二期中（文））已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________.
【答案】。【解析】因为“对任意，存在，使”是真命题，
所以只需，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，因为函数在上单调递减，所以，
所以，故答案为：
三、解答题
1.（2019·江西省遂川中学）若函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）求函数的定义域；
（3）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）记，∵是奇函数，
∴，∴；
（2），，∴定义域为；
（3）由（1），
∵，∴或，
∴或，∴或．
∴值域为．
（2019·浙江高二学业考试）已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求实数的值．
（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（I）(II)
【解析】（1）
已知函数为奇函数，由，求得的值；（2）恒成立问题通常是求最值，将原不等式整理为对恒成立，进而求在上的最小值，得到结果.
试题解析：（1）因为是奇函数，所以，即所以对一切恒成立，
所以.
（2）因为，均有即成立，
所以对恒成立，
所以,
因为在上单调递增，所以，
所以.
3.（2019·甘肃城关兰州五十一中高一期中）已知函数，
（1）若，求的单调区间；
（2）若有最大值3，求的值.
（3）若的值域是，求的取值范围.
【答案】（1）函数f(x)的递增区间是(?2,+∞),递减区间是(?∞,?2)；（2）a=1；（3）{0}
【解析】(1)当a=?1时,
，令，
由于g(x)在(?∞,?2)上单调递增,在(?2,+∞)上单调递减，
而在R上单调递减，
所以f(x)在(?∞,?2)上单调递减,在(?2,+∞)上单调递增，
即函数f(x)的递增区间是(?2,+∞),递减区间是(?∞,?2).
(2)令,,由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值?1，
因此=?1，解得a=1.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，
要使y=h(x)的值域为(0,+∞).
应使的值域为R，
因此只能有a=0.
因为若a≠0,则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.
故a的取值范围是{0}.
4.
已知函数f(x)=ax+(a>0,a≠1)是奇函数.
(1)求实数t的值;
(2)若f(1)>0,不等式f(x2+bx)+f(4-x)>0在x∈R上恒成立,求实数b的取值范围;
(3)若f(1)=且h(x)=a2x+-2mf(x)在x∈[1,+∞)上最小值为-2,求m的值.
【答案】（1）t=2；（2）(-3,5)；（3）m=2.
【解析】(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,所以1+(1-t)=0,所以t=2.
(2)由(1)知,f(x)=ax-(a>0,a≠1),因为f(1)>0,所以a->0.
又a>0且a≠1,所以a>1,所以f(x)=ax-在R上单调递增.
又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x2+bx)+f(4-x)>0,即f(x2+bx)>f(x-4),所以x2+bx>x-4,
即x2+bx-x+4>0在x∈R上恒成立,所以Δ=(b-1)2-16<0,即-3(3)因为f(1)=,所以a-,解得a=2或a=-(舍去),所以h(x)=22x+-2m=-2m+2.
令u=f(x)=2x-,则g(u)=u2-2mu+2,
因为f(x)=2x-在R上为增函数,且x≥1,所以u≥f(1)=.
因为h(x)=22x+-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,所以g(u)=u2-2mu+2在上的最小值为-2.
因为g(u)=u2-2mu+2=(u-m)2+2-m2的对称轴为u=m,所以当m≥时,g(u)min=g(m)=2-m2=-2,解得m=2或m=-2(舍去);
当m<时,g(u)min=g-3m=-2,解得m=.
综上可知m=2.
5.（2020·河北承德高一期末）已知函数，.
（1）当时，求的值域；
（2）若的最大值为，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，在上单调递减，
故，，所以的值域为.
（2），令，
则原函数可化为，其图象的对称轴为.
①当时，在上单调递减，
所以，无解；
②当时，，
即，解得；
③当时，在上单调递增，
所以，
解得，不合题意，舍去.
综上，的值为.
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指数函数的定义
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
两类指数模型
1.，当a>1时为指数增长型函数模型。
2.。当0三、指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
【知识拓展】
1.指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.
3.指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究.
例1：[2019秋·兴庆区校级期末]下列是指数函数的是（
）
B.
C.
D.
例2：[2019秋·罗湖区校级期末]若函数是指数函数，则a的值是（
）。
-1
B.3
C.3或-1
D.2
选择题
1.（2020·全国高一课时练习）下列各函数中，是指数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m的值为( )
A.2
B.1
C.3
D.2或-1
已知对于任意实数a(a>0,且a≠1),函数f(x)=7+ax-1的图象恒过点P,则点P的坐标是( )
A.(1,8)
B.(1,7)
C.(0,8)
D.(8,0)
4.（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
5.
当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是( )
A.
B.
C.
D.
已知函数f(x)=则f+f=( )
A.3
B.5
C.
D.
（2020·沙坪坝.重庆八中高一期末）已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )
9.（2020·浙江高一课时练习）二次函数与指数函数的图像的交点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
10.（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
[2019秋·滁州期末]如图所示，二次函数与指数函数的图像只可为（
）
[2019秋·诸暨市校级月考]若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（
）。
B.
C.
D.
填空题
函数的定义域为______________．
已知指数函数f(x)=(1-2a)x,且f(3)（2019·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数的增区间是________________
.
4.（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是
。
5.（2020·浙江金华.高一期末）已知函数，则的最小值是_____________.
6．（2020·吉林南关.长春市实验中学高二期中（文））已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________.
三、解答题
1.（2019·江西省遂川中学）若函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）求函数的定义域；
（3）求函数的值域．
（2019·浙江高二学业考试）已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求实数的值．
（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．
3.（2019·甘肃城关兰州五十一中高一期中）已知函数，
（1）若，求的单调区间；
（2）若有最大值3，求的值.
（3）若的值域是，求的取值范围.
4.
已知函数f(x)=ax+(a>0,a≠1)是奇函数.
(1)求实数t的值;
(2)若f(1)>0,不等式f(x2+bx)+f(4-x)>0在x∈R上恒成立,求实数b的取值范围;
(3)若f(1)=且h(x)=a2x+-2mf(x)在x∈[1,+∞)上最小值为-2,求m的值.
5.（2020·河北承德高一期末）已知函数，.
（1）当时，求的值域；
（2）若的最大值为，求实数的值.
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