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对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，叫做对数式；
常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以为底的对数称为自然对数，可简记为，可简记为。
对数与指数的关系
一般地，又对数与指数的关系：若；
对数恒等式：。
对数的性质
1.1的对数为0，即loga1＝0；
2.底的对数为1，即logaa＝1；
3.零和负数没有对数。
四、对数的运算
如果，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN;
(2)loga＝logaM－logaN;
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
五、换底公式
1.logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数换底公式的重要推论：
(1);
(2);
(3)
(4).
例1：[2020春·大武口区校级期末]=
【答案】
【解析】。
例2：[2020春·黄浦区期末](1)证明对数换底公式：
；
(2)已知。
【解析】(1)证明：
。
(2)
例3：1．(2018·金华温州台州高三开学联考)若2a＝3b＝6，则( )
A.＋＝
B．＋＝
C.＋＝
D.＋＝
【答案】A
【解析】令2a＝3b＝6＝k，则a＝，b＝，c＝，
则＋＝＋＝＝.
选择题
1.若7x=8,则x=( )
A.
B.log87
C.log78
D.log7x
【答案】C
2.方程的解是( )
A.
B.
C.
D.9
【答案】A
【解析】∵=2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=.
3.设3x＝4y＝36，则＋的值为( )
A．6
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】[由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]
4.若lg
2＝a，lg
3＝b，则等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】＝＝＝.答案：A
5.已知b=log(a-2)(5-a),则实数a的取值范围是( )
A.a>5或a<2
B.2
C.2D.3【答案】A
【解析】由得26.已知logx16=2,则x等于( )
A.±4
B.4
C.256
D.2
【答案】B
【解析】∵logx16=2,∴x2=16.∵x>0且x≠1,∴x=4.
7.若log23=a,则log49=( )
A.
B.a
C.2a
D.a2
【答案】B
【解析】log49==log23=a,故选B.
8.等于( )
A.lg
3
B.-lg
3
C.
D.-
【答案】C
【解析】原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.
9.若2lg(x-2y)=lg
x+lg
y(x>2y>0),则的值为( )
A.4
B.1或
C.1或4
D.
【答案】D
【解析】∵2lg(x-2y)=lg
x+lg
y(x>2y>0),∴lg(x-2y)2=lg
xy,∴(x-2y)2=xy,
∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,∴x≠y,∴.
10.已知lo(log2x)=lo(log3y)=1,则x,y的大小关系是( )
A.xB.x=y
C.x>y
D.不确定
【答案】A
【解析】因为lo(log2x)=1,所以log2x=.所以x=.
又因为lo(log3y)=1,所以log3y=.所以y=.
因为,所以x11.已知0A.x>y>z
B.z>y>x
C.z>x>y
D.y>x>z
【答案】D
【解析】由题意得x=loga+loga=loga,y=loga5=loga,z=loga-loga=loga,
因为0loga>loga,即y>x>z,故选D.
填空题
1.若f(ex)=x,则f(2)= .?
【答案】ln
2
【解析】由ex=2可知x=ln
2,故f(2)=ln
2.
2.已知log147＝a，log145＝b，则用a，b表示log3514＝______．
【答案】
【解析】log3514＝＝＝.答案：
3.已知x,y,z为正数,且3x=4y=6z,2x=py,则p= .需用到公式log4k=?
【答案】2log34
【解析】设3x=4y=6z=k(显然k>0,且k≠1),
则x=log3k,y=log4k,z=log6k.
∵2x=py,∴2log3k=plog4k=p.∵log3k≠0,∴p=2log34.
4.2x=5y=m(m>0),且=2,则m的值为 .?
【答案】
【解析】由2x=5y=m(m>0),得x=log2m,y=log5m,
由=2,得=2,即logm2+logm5=2,logm(2×5)=2.故有m=.
5.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a= ,b= .?
【答案】4 2
【解析】先求出对数值,再利用指数相等列方程求解.
∵logab+logba=logab+,∴logab=2或logab=.
∵a>b>1,∴logab∵ab=ba,∴(b2)b=,∴b2b=.∴2b=b2,∴b=2,∴a=4.
三、解答题
1.计算：
(1)[2020春·兴宁区校级期末]
【答案】0
【解析】
(2)[2019秋·珠海期末]
【答案】0
【解析】
(3)[2018·台州模拟]lg－2lg＋lg
【答案】lg
2
【解析】原式=lg－2lg＋lg＝lg－lg＋lg＝lg＝lg
2。
(4)(log32＋log92)·(log43＋log83)＋(log33)2＋ln
－lg
1
【答案】2
【解析】原式＝·＋＋－0＝·＋＝＋＝2.
(5)2log32－log3＋log38－5log53
【答案】-1
【解析】原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(6)(log43＋log
8
3)(log32＋log92)
【答案】
【解析】原式＝＝＝×××＝.
(7)lg
5lg
20＋(lg
2)2；
【答案】1
【解析】原式＝lg
5lg(5×4)＋(lg
2)2
＝lg
5(lg
5＋lg
4)＋(lg
2)2
＝(lg
5)2＋lg
5lg
4＋(lg
2)2
＝(lg
5)2＋2lg
5lg
2＋(lg
2)2
＝(lg
5＋lg
2)2＝1
(8)
【答案】2
【解析】原式＝＝＝＝2.
2.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8的值.
【答案】-
【解析】由对数的运算法则,可将等式化为loga[(x2+4)·(y2+1)]=loga[5(2xy-1)],∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).
整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,
∴∴.∴log8=log8=lo2-1=-log22=-.
3.已知二次函数f(x)=(lg
a)x2+2x+4lg
a的最大值是3,求a的值.
【答案】a=1
【解析】因为二次函数f(x)有最大值,所以lg
a<0.
又[f(x)]max==3,所以4lg2a-3lg
a-1=0.所以lg
a=1或lg
a=-.
因为lg
a<0,所以lg
a=-.所以a=1.
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对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，叫做对数式；
常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以为底的对数称为自然对数，可简记为，可简记为。
对数与指数的关系
一般地，又对数与指数的关系：若；
对数恒等式：。
对数的性质
1.1的对数为0，即loga1＝0；
2.底的对数为1，即logaa＝1；
3.零和负数没有对数。
四、对数的运算
如果，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN;
(2)loga＝logaM－logaN;
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
五、换底公式
1.logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数换底公式的重要推论：
(1);
(2);
(3)
(4).
例1：[2020春·大武口区校级期末]=
例2：[2020春·黄浦区期末](1)证明对数换底公式：
；
(2)已知。
例3：1．(2018·金华温州台州高三开学联考)若2a＝3b＝6，则( )
A.＋＝
B．＋＝
C.＋＝
D.＋＝
选择题
1.若7x=8,则x=( )
A.
B.log87
C.log78
D.log7x
2.方程的解是( )
A.
B.
C.
D.9
3.设3x＝4y＝36，则＋的值为( )
A．6
B．3
C．2
D．1
4.若lg
2＝a，lg
3＝b，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.已知b=log(a-2)(5-a),则实数a的取值范围是( )
A.a>5或a<2
B.2C.2D.36.已知logx16=2,则x等于( )
A.±4
B.4
C.256
D.2
7.若log23=a,则log49=( )
A.
B.a
C.2a
D.a2
8.等于( )
A.lg
3
B.-lg
3
C.
D.-
9.若2lg(x-2y)=lg
x+lg
y(x>2y>0),则的值为( )
A.4
B.1或
C.1或4
D.
10.已知lo(log2x)=lo(log3y)=1,则x,y的大小关系是( )
A.xB.x=y
C.x>y
D.不确定
11.已知0A.x>y>z
B.z>y>x
C.z>x>y
D.y>x>z
填空题
1.若f(ex)=x,则f(2)= .?
2.已知log147＝a，log145＝b，则用a，b表示log3514＝______．
3.已知x,y,z为正数,且3x=4y=6z,2x=py,则p= .需用到公式log4k=?
4.2x=5y=m(m>0),且=2,则m的值为 .?
5.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a= ,b= .?
三、解答题
1.计算：
(1)[2020春·兴宁区校级期末]
(2)[2019秋·珠海期末]
(3)[2018·台州模拟]lg－2lg＋lg
(4)(log32＋log92)·(log43＋log83)＋(log33)2＋ln
－lg
1
(5)2log32－log3＋log38－5log53
(6)(log43＋log
8
3)(log32＋log92)
(7)lg
5lg
20＋(lg
2)2；
(8)
2.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8的值.
3.已知二次函数f(x)=(lg
a)x2+2x+4lg
a的最大值是3,求a的值.
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