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一、二分法
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解。
二、用二分法求函数零点近似值的步骤
1.确定零点的初始区间，验证；
2.求区间的中点c；
3.计算，并进一步确定零点所在的区间；
(1)若（此时），则就是函数的零点；
(2)若(此时)，则令；
(3)若(此时),则。
例1：下列函数中，不能用二分法求零点的是________．
例2：求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个为正数的零点(精确到0.1)．
例3：证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解。
选择题
1.下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
2.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
3.用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过( )
A．ε
B.ε
C．2ε
D.ε
4.下列图中的函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是（
）
A．①
B．③
C．②
D．④
5.如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )
A．[－2.1，－1]
B．[4.1,5]
C．[1.9,2.3]
D．[5,6.1]
6.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
7.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1，3)内近似解的过程中取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(1，2)或(2，3)
D．不能确定
8.函数f(x)＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上( )
A．没有零点
B．有一个零点
C．有两个零点
D．有无数个零点
填空题
1.若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
2.在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687
5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．
3.用二分法求方程在区间内的实数解，取区间中点，那么下一个有解区间为
。
4.用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．
5.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币
解答题
1.用二分法求函数的零点的近似值（精确度为0.1）.
2.求方程3x＋＝0的近似解(精确度0.1)．
3.已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
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一、二分法
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解。
二、用二分法求函数零点近似值的步骤
1.确定零点的初始区间，验证；
2.求区间的中点c；
3.计算，并进一步确定零点所在的区间；
(1)若（此时），则就是函数的零点；
(2)若(此时)，则令；
(3)若(此时),则。
例1：下列函数中，不能用二分法求零点的是________．
【答案】(2)【解析】四个图象在零点附近的图象都是不间断的，且图象①③④的零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点，图象②的零点两侧同为正值，故不可采用二分法求零点。
例2：求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个为正数的零点(精确到0.1)．
【答案】1.4【解析】 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，在区间(1,2)内，方程有一解，记为x1，用二分法逐步计算，得：f(1)<0，f(1.5)>0，?x1∈(1,1.5)
f(1.25)<0，f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5)，
f(1.375)<0，
f(1.5)>0?x1∈(1.375,1.5)，
f(1.375)<0，f(1.437
5)>0?x∈(1.375,1.437
5)，
因为1.375与1.437
5精确到0.1的近似值都是1.4，所以1.4是函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个为正数的零点的近似值．
例3：证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解。
【答案】(1,2)【解析】分别画函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．
由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(1,2)上．
选择题
1.下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
【答案】A【解析】使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
2.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
【答案】A【解析】∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
3.用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过( )
A．ε
B.ε
C．2ε
D.ε
【答案】A【解析】最大误差即为区间长度ε.
4.下列图中的函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是（
）
A．①
B．③
C．②
D．④
【答案】C【解析】题图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；题图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解．
5.如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )
A．[－2.1，－1]
B．[4.1,5]
C．[1.9,2.3]
D．[5,6.1]
【答案】C【解析】用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，则不能使用二分法．
6.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D【解析】函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．故选D.
7.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1，3)内近似解的过程中取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(1，2)或(2，3)
D．不能确定
【答案】A【解析】因为f(1)＝31＋3×1－8<0，f(2)＝32＋3×2－8>0，f(3)＝33＋3×3－8>0，
所以f(1)·f(2)<0，所以下一个区间是(1，2)．
8.函数f(x)＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上( )
A．没有零点
B．有一个零点
C．有两个零点
D．有无数个零点
【答案】B【解析】f(3)＝－1<0，f(5)＝－1<0，而f＝f(4)＝0，且f(x)为以x＝4为对称轴的二次函数，∴f(x)在[3，5]上有且只有一个零点．
填空题
1.若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
【答案】③④⑤【解析】
2.在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687
5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．
【答案】0.75或0.687
5(答案可以是[0.687
5,0.75]内的任一数值)
【解析】因为|0.75－0.687
5|＝0.062
5＜0.1，所以0.75或0.687
5都可作为方程的近似解．
3.用二分法求方程在区间内的实数解，取区间中点，那么下一个有解区间为
。
【答案】【解析】因为
4.用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．
【答案】(0,0.5) 0.25【解析】根据函数零点的存在性定理．
∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，即＝0.25.
5.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
【答案】4【解析】将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
解答题
1.用二分法求函数的零点的近似值（精确度为0.1）.
【答案】2.25【解析】因为说明这个函数在区间上有零点。取区间的中点。。
再取区间的中点。。，所以函数的零点的近似值可取为2.25.
2.求方程3x＋＝0的近似解(精确度0.1)．
【答案】－0.4【解析】原方程可化为3x－＋1＝0，即3x＝－1.
在同一坐标系中，分别画出函数g(x)＝3x与h(x)＝－1的简图．
g(x)与h(x)的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)，且只有一交点，所以原方程只有一解x＝x0.
令f(x)＝3x＋＝3x－＋1，
∵f(0)＝1－1＋1＝1>0，
f(－0.5)＝－2＋1＝<0，∴x0∈(－0.5,0)．
用二分法求解列表如下：
中点值
中点(端点)函数值及符号
选取区间
f(－0.5)<0，f(0)>0
(－0.5,0)
－0.25
f(－0.25)≈0.426
5>0
(－0.5，－0.25)
－0.375
f(－0.375)≈0.062
3>0
(－0.5，－0.375)
－0.437
5
f(－0.437
5)≈－0.159
4<0
(－0.437
5，－0.375)
∵|－0.437
5－(－0.375)|＝0.062
5<0.1，
∴原方程的近似解可取为－0.4.
3.已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
【答案】(1)实数a的取值范围为1
【解析】(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0.由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
即或∴1(2)若a＝，则f(x)＝x3－x＋，∴f(－1)＝>0，f(0)＝>0，f(1)＝－<0.
∴函数零点在(0,1)上．又f＝0，∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
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