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1.几类已知函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1：某列火车从北京西站开往石家庄，全程277
km.火车出发10
min开出13
km后，以120
km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2
h内行驶的路程．
【答案】见解析【解析】因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120
＝
(h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t
h所行驶的路程为120t
km，
所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t.
2
h内火车行驶的路程S＝13＋120×＝233(km)．
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
例2：某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4
200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
【答案】见解析【解析】(1)设AM＝y，AD＝x，则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4
200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38
000＋4
000x2＋(0(2)令t＝x2，则Q＝38
000＋4
000，且0∵函数u＝t＋在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增，∴当t＝10时，umin＝20.
故当x＝时，Qmin＝118
000(元)．
类型三 建立拟合函数模型解决实际问题
例3：某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.30
0.59
0.88
1.20
1.51
1.79
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
【答案】见解析【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
设y＝kx＋b(k≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，
得解得所以y＝0.3x.
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，
那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)，
所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.
当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元．
故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元．
选择题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041
8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2
B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x
D．y＝
【答案】D【解析】由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2.如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为图中的( C )
【答案】C【解析】
3.根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( B )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
【答案】B【解析】将1986年作为开始的时间，此时t=0，并以5年为一时间单位．则1991年时，t=1；1996年时，t=2；2001年时，t=3．由题设条件知f(0)=8.6，f(1)=10.4，f(2)=12.9，预测的f(3)=16.1．通过描点可得y=f(t)的草图，根据草图对照四种函数，可以发现应选B．
4.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3
000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．3
000×1.06×7元
B．3
000×1.067元
C．3
000×1.06×8元
D．3
000×1.068元
【答案】B【解析】根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3
000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3
000×1.067.故选B.
5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
【答案】A【解析】由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24)．
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
6.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度均加速开走,那么(D
）
A.人可在7s内追上汽车
B.人可在10s内追上汽车
C.人追不上汽车,其间距最少为5m
D.人追不上汽车,其间距最少为7m
【答案】D【解析】设汽车经过t
s行驶的路程为S
m,则，车与人的间距
，当t=6时，d取得最小值为7,故选D
7.有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：)(
)
A.19
B.20
C.21
D.22
【答案】C【解析】操作次数为n时的浓度为，
由
8.[2019·济南济钢中学高一期中测试]某种新药服用x
h后血液残留量为y
mg,如图所示为函数得图象，当血液种药物残留量不小于240
mg时，治疗有效。设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟得时间应为（
）
A.上午10：00
B.中午12：00
C.下午4：00
D.下午6：00
【答案】C【解析】由图象可知，当时，设。带入点，得k=80，
9.某企业生产总值的月平均增长率为P,则年平均增长率为(
C）
A.
B.
C.
D.
【答案】C【解析】设年平均增长率为。故选C
填空题
1.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为________万元．
【答案】a(1－b%)n【解析】依题意可知第一年后的价值为a（1-b%），第二年价值为a（1-b%）2，依此类推可知每年的价值成等比数列，首项a（1-b%）公比为1-b%，进而可知n年后这批设备的价值为a（1-b%）n故答案为a（1-b%）n
2.光线通过一块玻璃，强度要损失10%，设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：，那么至少通过________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（）。
【答案】14
【解析】光线通过一块玻璃，强度要损失10%，设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：，∵光线强度能减弱到原来的以下，∴，
，∴至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下。故选C。
3.某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是
。
【答案】【解析】依题意，有
4.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
【答案】1.75
【解析】由题意有解得 ∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
5.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3
mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09
mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg
3≈0.477，lg
4≈0.602)
【答案】5【解析】设至少经过x小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.2.
解答题
1.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝假设该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
【答案】见解析【解析】 (1)由题意得G(x)＝2.8＋x.
∴f(x)＝R(x)－G(x)＝
(2)当x>5时，∵函数f(x)递减，∴f(x)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)．
所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为
3.6万元
2.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做一次函数y＝kx＋b的关系(图象如右图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
【答案】见解析【解析】(1)由?k＝－1，b＝1
000，∴y＝－x＋1
000(500≤x≤800)．
(2)①由(1)，S＝x×y－500y＝(－x＋1
000)(x－500)＝－x2＋1
500x－500
000(500≤x≤800)．
②由①可知，S＝－(x－750)2＋62
500，其图象开口向下，对称轴为x＝750，
∴当x＝750时，Smax＝62
500，即该公司可获得的最大毛利润为62
500元，此时相应的销售单价为750元/件．
3.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1
000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)。
【答案】见解析【解析】(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，
则x0＝100＋＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0当100当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝(x∈N)．
设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝(x∈N)．
当x＝500时，L＝6
000；
当x＝1
000时，L＝11
000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，
该厂获得的利润是6
000元；
如果订购1
000个，利润是11
000元．
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1.几类已知函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1：某列火车从北京西站开往石家庄，全程277
km.火车出发10
min开出13
km后，以120
km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2
h内行驶的路程．
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
例2：某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4
200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
类型三 建立拟合函数模型解决实际问题
例3：某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.30
0.59
0.88
1.20
1.51
1.79
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
选择题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041
8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2
B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x
D．y＝
2.如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为图中的( )
3.根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
4.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3
000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．3
000×1.06×7元
B．3
000×1.067元
C．3
000×1.06×8元
D．3
000×1.068元
5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
6.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度均加速开走,那么(
）
A.人可在7s内追上汽车
B.人可在10s内追上汽车
C.人追不上汽车,其间距最少为5m
D.人追不上汽车,其间距最少为7m7.
7.有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：)(
)
A.19
B.20
C.21
D.22
8.[2019·济南济钢中学高一期中测试]某种新药服用x
h后血液残留量为y
mg,如图所示为函数得图象，当血液种药物残留量不小于240
mg时，治疗有效。设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟得时间应为（
）
A.上午10：00
B.中午12：00
C.下午4：00
D.下午6：00
9.某企业生产总值的月平均增长率为P,则年平均增长率为(
C）
A.
B.
C.
D.
填空题
1.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为________万元．
2.光线通过一块玻璃，强度要损失10%，设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：，那么至少通过________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（）。
3.某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是
。
4.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
5.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3
mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09
mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg
3≈0.477，lg
4≈0.602)
解答题
1.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝假设该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
2.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做一次函数y＝kx＋b的关系(图象如右图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
3.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1
000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)。
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