_苏科版八年级上册数学第3章3.1～3.2勾股定理及逆定理阶段培优训练试卷（word解析版）

2020-2021学年苏科版八年级上学期数学第3章勾股定理3.1～3.2阶段培优训练试卷（1）
一、选择题
1、下列说法正确的是（
）．
A．若、、是的三边长，则
B．若、、是的三边长，则
C．若、、是的三边长，，则
D．若、、是的三边长，，则
2、如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次
为2,4,3，则正方形D的面积为(　　)
A．9
B．8
C．27
D．45
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
4、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）
A．1.5
B．2.4
C．2.5
D．3.5
5、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（??
）
A.?4米???????????????????????????????????????B.?5米???????????????????????????????????????C.?6米???????????????????????????????????????D.?7米
6、2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（　　）
A．2
B．0.5
C．13
D．1
7、a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A．a2＝c2﹣b2
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝3，b＝4，c＝5
D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）
8、适合下列条件的△ABC中,
直角三角形的个数为
①
②，∠A=45°;
③∠A=32°,
∠B=58°；
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
9、下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④5，12，13，其中可以构成直角三角形的有（　　）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
10、如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是(
)
A．2和3
B．3和3
C．2和4
D．3和4
二、填空题
11、在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝　
　．
12、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为　
　．
13、把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为　　．
14、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是　
　．
15、若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为　
　．
16、如图，有一个三级台阶，它的每一级的长，
宽和高分别是，，，点和点是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶表面爬到点的最短路程是____
17、如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,
PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
18、已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝　
　．
19、下列四组数中，是勾股数的是___________
A．0.3，0.4，0.5
B．32，42，52
C．3，4，5
D．，，
20、如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝　
　s时，△PBQ为直角三角形．
三、解答题
21、如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．
22、如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．求：四边形ABDC的面积．
23、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°），求证：a2+b2＝c2．
24、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上的一个动点，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADF，使AD=AF，∠DAF=90°．
（1）如图1，连结CF，求证：△ABD≌△ACF；
（2）如图2，过A点作△ADF的对称轴交BC于点E，猜想BD2，DE2，CE2关系，并证明你的结论；
图1
图2
25、如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由．
27、问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　
　
．
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
学以致用：如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为　
　．
2020-2021学年苏科版八年级上学期数学第3章勾股定理3.1～3.2阶段培优训练试卷（1）
（答案）
一、选择题
1、下列说法正确的是（
）．
A．若、、是的三边长，则
B．若、、是的三边长，则
C．若、、是的三边长，，则
D．若、、是的三边长，，则
解：由勾股定理，
A、没有确定直角和斜边，故A
错误；
B、没有确定斜边，故B错误；
C、斜边为，则，故C错误；
D、，则与为直角边，为斜边，则，故D正确；
故选择：D.
2、如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次
为2,4,3，则正方形D的面积为(　　)
A．9
B．8
C．27
D．45
【解答】∵正方形A.
B.?C的面积依次为2、4、3
∴根据图形得：2+4=x?3
解得：x=9
故选A.
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB，AB=10
∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，
∴CE＝ED，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
故选：C．
4、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）
A．1.5
B．2.4
C．2.5
D．3.5
【解答】连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得，
又S△AMCMN?ACAM?MC，
∴MN2.4．
故选B．
5、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（??
）
A.?4米???????????????????????????????????????B.?5米???????????????????????????????????????C.?6米???????????????????????????????????????D.?7米
【答案】解：在Rt△ABC中，AC＝
＝4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故答案为：D
6、2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（　　）
A．2
B．0.5
C．13
D．1
【解答】∵（a+b）2＝49，
∴a2+2ab+b2＝49，
∵大正方形的面积为25，
∴2ab＝49﹣25＝24，
∴小正方形的面积为25﹣24＝1．
故选：D．
7、a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A．a2＝c2﹣b2
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝3，b＝4，c＝5
D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）
【解答】A．若a2＝c2﹣b2，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；
B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大角∠C＜90°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；
D．若a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数），则a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．
故选：B．
8、适合下列条件的△ABC中,
直角三角形的个数为
①
②，∠A=45°;
③∠A=32°,
∠B=58°；
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：，故①不能构成直角三角形；
当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；
根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；
根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；
由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；
令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形；
根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；
由a2=25，b2=144，c2=169，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.
9、下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④5，12，13，其中可以构成直角三角形的有（　　）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【解答】①中有92+122＝152；
②中有72+242＝252；
③中（32）2+（42）25≠（52）2；
④中52+122＝132；
所以可以构成3组直角三角形．
故选C．
10、如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是(
)
A．2和3
B．3和3
C．2和4
D．3和4
【解答】解：（1）如图，为等腰三角形有两种
由勾股定理易知：ED=DC=,
符合题意，
由勾股定理易知：AE=EC=,符合题意，
（2）如图，为直角三角形有三种
由勾股定理及格点图知：AB=2，BE=4，AE=,
满足，由勾股定理逆定理知?ABE为直角三角形；
由勾股定理及格点图知：BC=2，BE=4，CE=,
满足，由勾股定理逆定理知?CBE为直角三角形；由勾股定理及格点图知：DC=，DE=，CE=,
满足，由勾股定理逆定理知?CDE为直角三角形，故选：A
二、填空题
11、在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝　5　．
【解答】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，
∴AC5．AC=5
故答案为：5．
12、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为　　．
【解答】∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，
∴AB144，AB=12
∵S△ABCAB?ACBC?AD，
∴12×1620AD，
∴AD．
故答案为：．
13、把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为　　．
【解答】6﹣4＝2，
2×2＝4．
故图2中小正方形ABCD的面积为4．
故答案为4．
14、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是　
　．
【解答】根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个M的面积．
∵M的面积是32＝9，
∴A、B、C、D、E、F的面积之和为9×2＝18．
故答案为18．
15、若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为　7或25　．
【解答】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，
∴（a﹣3）2，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长5，或直角三角形的第三边长
∴直角三角形的第三平方为25或7，
故答案为：7或25．
16、如图，有一个三级台阶，它的每一级的长，
宽和高分别是，，，点和点是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶表面爬到点的最短路程是____
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为16，宽为（3+1）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=162+[（3+1）×3]2=400，解得x=20.
17、如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,
PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
【解答】解：连接PQ，
由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，∴△BPQ为等边三角形，∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°∴∠APB=∠BQC=150°
18、已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝　
　．
【解答】∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC2＝42+42＝32，而CD2＝4，AD2＝62＝36，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴①∠BCD＝90°+45°＝135°；
②∠BCD＝90°﹣45°＝45°．
故∠BCD＝135°或45°．
故答案为：135°或45°．
19、下列四组数中，是勾股数的是___________
A．0.3，0.4，0.5
B．32，42，52
C．3，4，5
D．
【解答】A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选C．
20、如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝　或　s时，△PBQ为直角三角形．
【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，
∴6﹣2x＝2x，
解得x；
当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴x＝2（6﹣2x），
解得x．
答：或秒时，△BPQ是直角三角形．
故答案为或．
三、解答题
21、如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．
【解答】解：正方形的面积为，
，
，，
．
，
，
．
22、如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．求：四边形ABDC的面积．
【解答】∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴；
∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD12×53×4＝36．
23、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°），求证：a2+b2＝c2．
【解答】利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，
又∵S四边形BCED＝（a+b）2，∴ab+c2+ab＝（a+b）2，∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．
24、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上的一个动点，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADF，使AD=AF，∠DAF=90°．
（1）如图1，连结CF，求证：△ABD≌△ACF；
（2）如图2，过A点作△ADF的对称轴交BC于点E，猜想BD2，DE2，CE2关系，并证明你的结论；
图1
图2
【解答】（1）∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF；
（2）CE2+BD2=DE2；理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°，
由（1）知，△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°，∴∠ECF=90°，
根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∵AE是△ADF的对称轴，∴DE=EF，∴CE2+BD2=DE2；
25、如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）解：结论△ABE是直角三角形．
理由：∵AB＝AD＝12，AE＝AC＝9，BE＝15，
∴AB2+AE2＝122+92＝225，BE2＝225，
∴AB2+AE2＝BE2，∴∠BAE＝90°，∴△BAE是直角三角形．
26、在△ABC中，D为BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13．试判断AD与AB的位置关系．
【解答】
延长AD至E，使得，连接BE，
∵D为BC的中点，∴，
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴AD⊥AB．
27、问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　
　
．
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
学以致用：如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为　
　．
【解答】
问题背景：解：如图1，在△ABE和△ADG中，
∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．
探索延伸：解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；
学以致用：如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．