华东师大版九年级上册数学 23.3.3相似三角形的性质 同步练习（word解析版）

23.3.3相似三角形的性质
同步练习
一．选择题
1．如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，若AD＝1，BD＝AC＝3，则AE的长是（　　）
A．1
B．
C．
D．2
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：AB＝2：5，则DF：BF等于（　　）
A．2：5
B．2：3
C．3：5
D．3：2
3．如图，已知点D、E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC2＝AD?AB
B．BC2＝BE?AB
C．DE2＝AD?BE
D．AC?BC＝AE?BD
4．如图，已知点D在△ABC的BC边上，若∠CAD＝∠B，且CD：AC＝1：2，则CD：BD＝（　　）
A．1：2
B．2：3
C．1：4
D．1：3
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝2，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（　　）
A．
B．
C．2
D．4
6．如图，在?ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（　　）
A．1：2
B．1：3
C．2：1
D．3：1
7．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC＝90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD＝4，DE＝1时，则DF的长为（　　）
A．2
B．
C．
D．
二．填空题
10．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，则AD＝　
　．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为　
　．
12．如图，已知△ADC中，∠ADC＝90°，AB交CD于E，且AB＝AC，∠BCD＝45°，DE：CE＝9：7，BC＝2，则AE的长度为　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为　
　．
14．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　
　．
15．四边形ABCD，连接对角线AC、BD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCD＝45°，AB＝5，BD＝13，则线段BC的长为　
　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且＝．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证：＝．
17．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）AD?BC＝DE?AC．
18．如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD．
（2）若DE＝6，BC＝16，直接写出△FCD的面积．
参考答案
1．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∵AD＝1，BD＝AC＝3，
∴AB＝1+3＝4，
∴，
∴AE＝，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝．
故选：A．
3．解：如图所示：
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC＝120°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠ADC＝∠ACB，
在△ADC和△ACB中，
，
∴△ADC∽△ACB（AA），
∴，
∴AC2＝AB?AD，
即答案A正确；
同理可证：△CEB∽△ACB（AA），
∴，
∴BC2＝AB?BE，
即答案B正确；
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CEB＝120°，
∴△ACD∽△CEB（AA），
∴，
∴CD?CE＝AD?BE，
又∵CD＝DE＝EC，
∴DE2＝AD?BE，
即答案C正确；
∵△ACE与△BDC不相似，
∴AC?BC＝AE?BD不成立，
即答案D错误．
故选：D．
4．解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝＝，
∴BC＝2AC＝4CD，
∴CD：BD＝1：（4﹣1）＝1：3．
故选：D．
5．解：∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，
∴△AOE∽△FOB，
∴＝（）2＝4．
故选：D．
6．解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∵点E是AB的中点，
∴
∴＝，
故选：A．
7．解：∵AF∥BC，DE∥BC，
∴AF∥DE，
∴＝，，
∴，故A错误，
∵AF∥DE，
∴，故B正确，
∵DE∥BC，
∴，故C正确，
∵AF∥DE，
∴，
∵AF∥BC，
∴，
∴，故D正确，
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，
∴△AEG∽△BCG，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，
∴△EAG∽△EDC，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，
∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．
故选：A．
9．解：如图，延长AD，BE相交于点M，
∵DF∥CH，
∴△DFG∽△HCG，
∴，
∵DM∥BH，
∴△DMG∽△HBG，
∴，
∵CH＝BH，
∴DF＝DM，
又∵△MDE∽△CDF，
∴，
∴，
∴DF2＝DE?CD＝1×4＝4，
∴．
故选：A．
10．解：∵∠C＝∠E＝90°，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，
∴DE＝＝．
∴DE＝3，
∴AD＝＝．
故答案为：．
11．解：设DE＝x．
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴，
∴，
∴DF＝，AF＝4﹣＝，
∵△ABF与△CEF的面积相等，
∴?AF?AB＝?EC?DF，
∴×2＝×（x+2），
∴x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（舍去），
故答案为：﹣1．
12．解：过点B作BH⊥CD于点H，作BF⊥AD交AD的延长线于点F，
∵∠BCD＝45°，BC＝2，
∴∠HCB＝∠HBC＝45°，
∴CH＝BH＝2，
∵∠BHD＝∠HDF＝∠F＝90°，
∴四边形HDBF为矩形，
∴BH＝DF＝2，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABH，
∵∠ADH＝∠BHD＝90°，
∴BH∥AD，
∴∠ABH＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠ACD，
又∵∠AFB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD≌△BAF（AAS），
∴AF＝CD，
∵DE：CE＝9：7，
∴设DE＝9x，CE＝7x，
∴CD＝16x，
∴AD＝16x﹣2，
∵∠ADE＝∠ADC，∠EAD＝∠ACD，
∴△ADE∽△CDA，
∴，
∴AD2＝CD?DE，
∴（16x﹣2）2＝16x?9x，
解得x＝或x＝（舍去），
∴AD＝6，DE＝，
∴AE＝＝＝．
故答案为：．
13．解：作DH∥AC交AB于H，如图，
∵EF⊥AC，EG⊥EF，
∴EF∥BC，EG∥DH，
∴＝，＝，
∵EF＝EG，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝x，则BD＝6﹣x，
∵DH∥AC，
∴＝，即＝，解得x＝2，
即CD的长为2．
故答案为2．
14．解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，
∴＝＝，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴＝（）2，
∵S△PEF＝2，
∴S△PAD＝18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝18，
故答案为18．
15．解：如图，作CE⊥AD于E，BF⊥AC于F，则△ACE与△ABF都是等腰直角三角形，
设EC＝x，则AE＝x，AC＝x，AF＝BF＝，
∴DE＝AE﹣AD＝x﹣12，CF＝AC﹣AF＝x﹣．
∵∠ACE＝∠BCD＝45°，
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣∠ACD，
即∠DCE＝∠BCF．
在△CDE与△CBF中，
，
∴△CDE∽△CBF，
∴＝，即＝，
解得x1＝15，x2＝2（不合题意舍去），
∴CF＝15﹣＝．
在Rt△BCF中，∵∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝5．
故答案为：5．
16．（1）证明：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF∽△ABC；
（2）证明：∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴，，
∴．
17．解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴，
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴AD?BC＝DE?AC．
18．证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵D是BC的中点，ED⊥BC，
∴BE＝EC，
∴∠ABC＝∠ECD，
∴△ABC∽△FCD；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵BC＝16，D是BC的中点，
∴CD＝BD＝8，
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴DH＝CH＝4，
∴BH＝12，
∵DE∥AH，
∴，
∴，
∴AH＝9，
∵△ABC∽△FCD
∴＝（）2，
∴S△FCD＝×S△ABC＝18．