江苏省高邮一中2021届高三上学期第二次学情检测数学试题 Word版含答案

高邮一中2021届高三上学期第二次学情检测
数学
2020.10
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每一小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上。
1.已知集合，则 （ ）
A． B. C. D.
2.已知，，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
3.已知，则的最小值是 （ ）
A. B. C. 5 D. 4
4.函数在区间上的图象的大致形状是 （ ）
A． B． C． D．
5.已知定义在R上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，则 （ ）
A. -4 B. 4 C. -5 D. 5
6.已知，则的近似值为 （ ）
A. 1.77 B. 1.78 C. 1.79 D. 1.81
7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为 （ ）
A. -4 B. 5 C. -5 D. 4
8.如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为 （ ）
A. － B. 4 C. -5 D. 5
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每一小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分。
9.下列有关命题的说法正确的是 （ ）
A. ，使得成立
B. 命题，都有，则，使得
C. 函数与函数是同一个函数
D. 若、、均为正实数，且，，则
10.已知曲线C1：y＝2sinx，C2：，则 （ ）
A．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，
得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线C2
C．把C1向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线C2
D．把C1向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线C2
11.若函数对a，bR，同时满足：（1）当a＋b＝0时有；（2）当a＋b＞0时
有，则称为函数．下列函数中是函数的有 （ ）
A． B． C． D．
12. 设函数若实数，，满足，且.则下列结论恒成立的是 （ ）

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案写在答题卡相应的位置。
13.设函数，若，则实数的取值范围是_________.
14.设为锐角，若，则的值为_________.
15.的内角的对边分别为已知则_________；
若，的面积为，则的周长为_________.
16.已知方程有4个不同的根，则实数的取值范围是_________.
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题10分）在中，已知，.
（1）求的值；
（2）若，为的中点，求的长.
18.（本题12分）A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记.
（1）若A点的坐标为．求的值；
（2）求的取值范围．
19.（本题12分）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，平面平面．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
20.（本题12分）将函数的图象向左平移个单位长度后
得到的图象.
（1）若为偶函数，，求的取值范围.
（2）若在上是单调函数，求的取值范围.
21.（本题12分）某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性．若现有份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：
方式一：逐份检测，需检测次；
方式二：混合检测，将其中份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这份样本全为阴性，则只需检测1次；若检测结果为阳性，则需要对这份样本逐份检测，因此检测总次数为次．假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是．
（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为．为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取人进行检测，有两个分组方案：
方案一：将人分成组，每组人;
方案二：将人分成组，每组人．
试分析哪种方案的检测总次数更少？(取)
（2）现取其中份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为；采用混合检测方式，需要检测的总次数为．若，试解决以下问题：
①确定关于的函数关系；
②当为何值时，取最大值并求出最大值．
22.（本题12分）已知函数
（1）讨论的单调性.
（2）若存在两个极值点，，证明：.
2021届高三数学第二次学情检测试卷
参考答案
2020.10
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一．单项选择题：
1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A
二．多项选择题：
9.B D 10.ABC 11.BC 12.ABC
三．填空题：
13.(－∞，0)∪(e，＋∞) 14. 15.，。 16.
四．解答题：
17.【解析】（1），且，∴．
．…………………5分
（2）由（1）可得．
由正弦定理得，即，解得.
在中，，，
所以．…………………………………………………………10分
18.解：(1)∵A点的坐标为(，)，∴tanα＝，
∴＝＝＝＝＝20.…………5分
(2)设A点的坐标为(x，y)，∵△AOB为正三角形，
∴B点的坐标为(cos(α＋)，sin(α＋))，且C(1,0)，
∴|BC|2＝[cos(α＋)－1]2＋sin2(α＋)＝2－2cos(α＋)．
而A、B分别在第一、二象限，∴α∈(，)． ∴α＋∈(，)，
∴cos(α＋)∈(－，0)． ∴|BC|2的取值范围是(2,2＋)．……………………………………………12分
19.（Ⅰ）由已知可得在直角梯形中，，，
所以，所以
又因为平面平面，平面平面
所以平面，所以
又，，所以，所以
故平面，又平面，所以.…………5分
（Ⅱ）由（1）得平面，所以平面平面
所以直线在平面中的射影为直线，
故即为直线与平面所成的角
中，，，，
所以，故
即直线与平面所成的角的正弦值为……………………………………………12分
20.解：（1）
∴
又为偶函数，则，∵，∴
∴
∵，∴
又，∴的取值范围为.…………………6分
（2）∵，∴
∵，∴，
∵在上是单调函数，∴∴..…………………12分
21.解：（1）设方案一中每组的检验次数为，则的取值为
则
则的分布列为：




则,
故方案一的检验总次数的期望为； .…………………3分
设方案二中每组的检验次数为，则的取值为
则．
则的分布列为




则,
故方案二的检验总次数的期望为
因为，则方案二的检测次数更少． .…………………6分
（2）法1：由已知得，则
则
因为，则即…………9分
令，
，
当时，
令，
当时，则在单调递增，
则当时，即，
即当时，，
则………即当时，最大值，
最大值为 …………12分
法2：由已知得，
则，
则，
因为，则，
即，
令，令，
，令得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
又因为，则，则的最小值为或，
，
则当即时，最小值，
此时最大即为
22.（1）解：，.
设，
当时，，，则，在上单调递增
当时，，的零点为，，
所以在，上单调递增
在上单调递减
当时，，的零点为，
在上单调递增，在上单调递减.…………5分
（2）证明；由（1）知，当时，存在两个极值点
不妨假设，则
要证，只需证
只需证
即证，
设，设函数，，
因为，所以，，
所以在上单调递减，则
又，则，则
从而…………………………………………………………………………12分