江苏省南京市玄武高级中学2021届高三上学期10月检测数学试卷 Word版含答案

南京市玄武高级中学2020/2021学年度第一学期十月检测试卷
高三数学
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答卷纸相应位置上.
1.对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2. 若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1 B．—1 C．－ D．0
3.若实数，满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则双曲线的虚轴长是______．
A. B. C. 3 D. 6
5.已知双曲线：的离心率为2，若抛物线：的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程是(　　)
A． B.
C． D．
6. 等比数列的前项和，则的值为(　　)
A．3 B．1 C．－3 D．－1
7. 在中，角，，的对边分别为a，b，c，若，且恒成立，则λ的取值范围是（ ）　　
A． B． C． D．
8. 为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路，两点处进行测量．在点测得塔底在南偏西，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进10米到点，测得塔顶的仰角为，则塔的高度为　（ ）
A．5米 B．15米 C．10米 D．20米
二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.
9.若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”．已知，若函数是区间上的“一致递增函数”， 则区间可能是（ ）
A． B． C． D．
10. 已知中，,,,在上，为的角平分线，为中点.下列结论正确的是 （ ）
A. B.的面积为
C. D.在的外接圆上，则的最大值为
11. .已知f(x)＝sin2x，g(x)＝cos2x，下列四个结论正确的是（ ）
A.f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)的图象
B.当x＝时，函数f(x)－g(x)取得最大值
C.y＝f(x)＋g(x)图象的对称中心是(，0)，k∈Z
D.y＝f(x)·g(x)在区间(，)上单调递增
12、关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．存在正实数，使得成立
B．是的极大值点
C．函数有且只有1个零点
D．对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题:本大题共4小题， 每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.
13.新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，广大医务工作者积极响应党中央号召，舍小家，为大家，不顾个人安危，生动诠释了敬佑生命、救死扶伤、甘于奉献、大爱无疆的崇高精神．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是 ．
14.若函数的图象关于对称，则函数在上的最小值是 ．
15.已知，若过x轴上的一点可以作一直线与相交于两点，且满足，则a的取值范围为__________．
16.对任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分
17．已知中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
求A；
若，的面积为，求a．
18. 如图，在六面体中，已知从顶点A出发的三条棱两两垂直，且四边形为矩形．
（1）求证：平面ABCD．
（2）若,求证:

19．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)．
（1）若a≠0，则a、b满足什么条件时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝0处总有相同的切线？
（2）当a＝1时，求函数h(x)＝的单调减区间；
（3）当a＝0时，若f(x)≥g(x)对任意的x∈R恒成立，求b的取值的集合．
20．成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．
拥有驾驶证 没有驾驶证 总计
具有很强安全意识


不具有很强安全意识 58

总计

200
(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

21．已知椭圆的离心率直线与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求的面积的最大值．
22．已知数列的前n项和满足（t为常数，且t＞0，t≠1）．
（1）求的通项公式；
（2）设，若数列为等比数列，求t的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围．
2020/2021学年度第一学期高三数学检测试卷
选择题答案
01-05 ABABA 06-08 DDC 9.AD 10. ACD 11. CD 12. CD
填空题答案
13.女医生 14. 15. 16.
解答题答案
17．【答案】解：．
由正弦定理得，即，
，．
，
，结合，，．
．

18．【解析】（1）因为从顶点A出发的三条棱两两垂直,
所以
因为平面ABCD,且
所以平面ABCD.（7分）
（2）因为,平面平面，
所以平面,
因为平面平面平面
所以
因为四边形为矩形，所以
所以（14分）
19．【解析】（1）因为f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，
所以y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
因为g′(x)＝2ax＋b，所以g′(0)＝b.
又g(0)＝1，所以y＝g(x)在x＝0处的切线方程为y＝bx＋1.
所以当a≠0且b＝1时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝0处总有相同的切线．（4分）
（2） 由a＝1，h(x)＝，所以
h′(x)＝＝－.
由h′(x)＝0，得x＝1或x＝1－b.
所以当b>0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，1－b)，(1，＋∞)；当b＝0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，＋∞)；当b<0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，1)，(1－b，＋∞)．(10分)
（3）由a＝0，则φ(x)＝f(x)－g(x)＝ex－bx－1，
所以φ′(x)＝ex－b.
① 当b≤0时，φ′(x)>0，函数φ(x)在R上单调递增．
又φ(0)＝0，所以x∈(－∞，0)时，φ(x)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾．
② 当b>0时，由φ′(x)>0，得x>lnb；由φ′(x)<0，得x当0又φ(0)＝0，所以φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；
当b>1时，同理φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；
当b＝1时，lnb＝0，所以函数φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
所以φ(x)≥φ(0)＝0，故b＝1满足题意．
综上所述，b的取值的集合为{1}．（16分）
20．解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．
补全的2×2列联表如表所示：
拥有驾驶证 没有驾驶证 总计
具有很强安全意识 22 18 40
不具有很强安全意识 58 102 160
总计 80 120 200
计算得K2＝＝＝4.6875＞3.841，
所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关．

(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为，所以X＝0，1，2，3，4，且X~B．
于是P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0，1，2，3，4)，X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P





所以E(X)＝4×＝．
答：X的数学期望为．
21．【答案】解：椭圆的离心率，
．
解得．椭圆E的方程为．
解：依题意，圆心为，．
由得．圆C的半径为．圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离，
，即．弦长．
的面积分）．
当且仅当，即时，等号成立．
的面积的最大值为．
22.
(1)当n=1时，=t() 得=t
当n≥2时，由 即(1—t) =—t
得(1—t)t
①-②,得(1—t)=—t+t即=t
因为=t≠0，所以a.≠0,所以=t(n≥2), .
所以{)是首项为t.且公比为t 的等比数列，
所以,=
(2) 由(1)知 *
即 =
若数列{}为等比数列，则有
而
故[]2 =(2)* 解得t=
再将t= 代入 得
由 知 为等比数列，所以t=
(3)由 t= 知 = ,所以 =4
所以=4 +n=4+n-
由不等式 ≥2n-7恒成立，得3k≥ 恒成立
设 = 由 - =
所以当n≤4 时，，当n≥5时
而= = ，所以 <
所以 3k≥ 所以 K≥