人教新课标A版必修2 第二章 向量法解立体几何及经典例题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版必修2 第二章 向量法解立体几何及经典例题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-23 15:27:37 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
例1：在空间直角坐标系中,已知,,试求平面ABC的一个法向量.
EMBED
Word.Document.8
?解:设平面的一个法向量为
?
EMBED
Word.Document.8
?则.∵,
?
EMBED
Word.Document.8
?∴即
?
EMBED
Word.Document.8
?∴
?
EMBED
Word.Document.8
?∴是平面的一个法向量.
?
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
例2：
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,
PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,
E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2
.
求证：AE//FG.
证
：如图所示,
建立空间直角坐标系.
A(6,0,0),F(2,2,0),G(0,4,2)
AE与FG不共线，AE//FG.
⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
例3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．
求证：PB1∥平面BDA1；
证明：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，．
（Ⅰ）在△PAA1中有，即．
∴，，．
设平面BA1D的一个法向量为，
则令，则．
∵，
∴PB1∥平面BA1D
⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
例2、在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
求证：(1)B1D⊥平面ABD；
(2)平面EGF∥平面ABD.
证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，
·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.
结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
例4：如图，已知正三棱柱
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)-
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)的底面边长为2，侧棱长为
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)，
点E在侧棱
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)上，点F在侧棱
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)上，且
(?http:?/??/?www.zxsx.com?),
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)．
求证：
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)；
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知可得
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
EMBED
Equation.DSMT4
（Ⅰ）
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
EMBED
Equation.DSMT4
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
EMBED
Equation.DSMT4
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
EMBED
Equation.DSMT4
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
例5：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
求证：AB1⊥面A1BD；
解：取中点，连结．为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，
，
，，．
，，
，．平面．
⑶面面垂直。
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
例6：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。
证明平面PED⊥平面PAB；
证明：∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，
∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD
∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，
如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，
∴
P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0）
∴=（，，-1），=
（，0，-1），
平面PED的一个法向量为=（0，1，0）
，设平面PAB的法向量为=（x,
y,
1)
由
∴=（,
0,
1)
∵·=0
即⊥
∴平面PED⊥平面PAB
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则
例7：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的
菱形，,
,
,为的中点。
求异面直线AB与MD所成角的大小；
方法一（综合法）
（1）
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接
，
所以
与所成角的大小为
方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)设与所成的角为,
,
与所成角的大小为
⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角
的余角.即有：
例8：在棱长为的正方体中，分别是的中点，
求直线与平面所成的角的余弦值，
解：所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，
为的平分线，故直线与平面所成的角为，
建立如图所示坐标系，
则，，
故与平面所成角为
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
如图：
求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
如果是锐角，则，
即；
如果是钝角，则，
即.
例9：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC
=
90°，SA⊥面ABCD，SA
=
AB
=
BC
=
1，．求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
解：如图建立直角坐标系，
则
，
所以是平面的一个法向量。设平面的一个法向量
由，
令，
平面与平面所成的二面角的正切值为
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
例10：设，求点到平面的距离
解：设平面的法向量，所以
，
，
所以设到平面的距离为，
⑶直线与平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
即
例11：如图，在长方体中，求平面与平面的距离。
解：，同理
又，建立直角坐标系，，
,设为平面的法向量，
则
由，
不妨设
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。
即
例12：正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离.
解：如图建立坐标系，
则
，
设是直线与的公垂线，
且则
，
高考大题赏析：
1、（2017年1卷18题）如图，在四棱锥中，中，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
（1）证明：∵
∴，
又∵，∴
又∵，、平面
∴平面，又平面
∴平面平面
（2）取中点，中点，连接，
∵
∴四边形为平行四边形
∴
由（1）知，平面
∴平面，又、平面
∴，
又∵，∴
∴、、两两垂直
∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设，∴、、、，
∴、、
设为平面的法向量
由，得
令，则，，可得平面的一个法向量
∵，∴
又知平面，平面
∴，又
∴平面
即是平面的一个法向量，
∴
由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为
2．（2018年1卷18题）
如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
⑴证明：平面平面；
⑵求与平面所成角的正弦值．
解答：
（1）分别为的中点，则，∴，
又，，∴平面，
平面，∴平面平面.
（2），，∴，
又，，∴平面，∴，
设，则，，∴，
过作交于点，
由平面平面，
∴平面，连结，
则即为直线与平面所成的角，
由，∴，
而，∴，
∴与平面所成角的正弦值.
方法二：作，垂足为.
由（1）得，平面.
以为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）可得，.
又，，所以.
又，，故.
可得，.
则，,
，，为平面的法向量.
设与平面所成角为，则
.
3（2019年1卷18题）（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，
又MB∥AA1，MB＝，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，
由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，
∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM?平面C1DE，DE?平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE；
（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取x＝，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴cos＜＞＝＝＝．
∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．
4．（2020年1卷18题）（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18．解：（1）设，由题设可得，.
因此，从而.又，故.所以平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设可得.
所以.
设是平面的法向量，则，即可取.
由（1）知是平面的一个法向量，记，则.
所以二面角的余弦值为.
E(3,3,3),
,
x
z
A
B
C
D
O
F
y
A
B
C
D
E
F
G
x
y
z
O
A
B
O
A
B
l
S
B
A
C
D
z
x
y
A
B
C
D
x
y
z
z
A
B
C
D
M
N
x
y
z
z
z
z
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
例1：在空间直角坐标系中,已知,,试求平面ABC的一个法向量.
EMBED
Word.Document.8
?解:设平面的一个法向量为
?
EMBED
Word.Document.8
?则.∵,
?
EMBED
Word.Document.8
?∴即
?
EMBED
Word.Document.8
?∴
?
EMBED
Word.Document.8
?∴是平面的一个法向量.
?
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
例2：
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,
PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,
E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2
.
求证：AE//FG.
证
：如图所示,
建立空间直角坐标系.
A(6,0,0),F(2,2,0),G(0,4,2)
AE与FG不共线，AE//FG.
⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
例3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．
求证：PB1∥平面BDA1；
证明：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，．
（Ⅰ）在△PAA1中有，即．
∴，，．
设平面BA1D的一个法向量为，
则令，则．
∵，
∴PB1∥平面BA1D
⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
例2、在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
求证：(1)B1D⊥平面ABD；
(2)平面EGF∥平面ABD.
证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，
·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.
结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
例4：如图，已知正三棱柱
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)-
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)的底面边长为2，侧棱长为
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)，
点E在侧棱
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)上，点F在侧棱
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)上，且
(?http:?/??/?www.zxsx.com?),
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)．
求证：
(?http:?/??/?www.zxsx.com?)；
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知可得
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
EMBED
Equation.DSMT4
（Ⅰ）
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
EMBED
Equation.DSMT4
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
EMBED
Equation.DSMT4
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
EMBED
Equation.DSMT4
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
例5：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
求证：AB1⊥面A1BD；
解：取中点，连结．为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，
，
，，．
，，
，．平面．
⑶面面垂直。
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
例6：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。
证明平面PED⊥平面PAB；
证明：∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，
∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD
∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，
如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，
∴
P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0）
∴=（，，-1），=
（，0，-1），
平面PED的一个法向量为=（0，1，0）
，设平面PAB的法向量为=（x,
y,
1)
由
∴=（,
0,
1)
∵·=0
即⊥
∴平面PED⊥平面PAB
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则
例7：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的
菱形，,
,
,为的中点。
求异面直线AB与MD所成角的大小；
方法一（综合法）
（1）
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接
，
所以
与所成角的大小为
方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)设与所成的角为,
,
与所成角的大小为
⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角
的余角.即有：
例8：在棱长为的正方体中，分别是的中点，
求直线与平面所成的角的余弦值，
解：所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，
为的平分线，故直线与平面所成的角为，
建立如图所示坐标系，
则，，
故与平面所成角为
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
如图：
求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
如果是锐角，则，
即；
如果是钝角，则，
即.
例9：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC
=
90°，SA⊥面ABCD，SA
=
AB
=
BC
=
1，．求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
解：如图建立直角坐标系，
则
，
所以是平面的一个法向量。设平面的一个法向量
由，
令，
平面与平面所成的二面角的正切值为
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
例10：设，求点到平面的距离
解：设平面的法向量，所以
，
，
所以设到平面的距离为，
⑶直线与平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
即
例11：如图，在长方体中，求平面与平面的距离。
解：，同理
又，建立直角坐标系，，
,设为平面的法向量，
则
由，
不妨设
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。
即
例12：正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离.
解：如图建立坐标系，
则
，
设是直线与的公垂线，
且则
，
高考大题赏析：
1、（2017年1卷18题）如图，在四棱锥中，中，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
（1）证明：∵
∴，
又∵，∴
又∵，、平面
∴平面，又平面
∴平面平面
（2）取中点，中点，连接，
∵
∴四边形为平行四边形
∴
由（1）知，平面
∴平面，又、平面
∴，
又∵，∴
∴、、两两垂直
∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设，∴、、、，
∴、、
设为平面的法向量
由，得
令，则，，可得平面的一个法向量
∵，∴
又知平面，平面
∴，又
∴平面
即是平面的一个法向量，
∴
由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为
2．（2018年1卷18题）
如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
⑴证明：平面平面；
⑵求与平面所成角的正弦值．
解答：
（1）分别为的中点，则，∴，
又，，∴平面，
平面，∴平面平面.
（2），，∴，
又，，∴平面，∴，
设，则，，∴，
过作交于点，
由平面平面，
∴平面，连结，
则即为直线与平面所成的角，
由，∴，
而，∴，
∴与平面所成角的正弦值.
方法二：作，垂足为.
由（1）得，平面.
以为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）可得，.
又，，所以.
又，，故.
可得，.
则，,
，，为平面的法向量.
设与平面所成角为，则
.
3（2019年1卷18题）（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，
又MB∥AA1，MB＝，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，
由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，
∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM?平面C1DE，DE?平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE；
（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取x＝，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴cos＜＞＝＝＝．
∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．
4．（2020年1卷18题）（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18．解：（1）设，由题设可得，.
因此，从而.又，故.所以平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设可得.
所以.
设是平面的法向量，则，即可取.
由（1）知是平面的一个法向量，记，则.
所以二面角的余弦值为.
E(3,3,3),
,
x
z
A
B
C
D
O
F
y
A
B
C
D
E
F
G
x
y
z
O
A
B
O
A
B
l
S
B
A
C
D
z
x
y
A
B
C
D
x
y
z
z
A
B
C
D
M
N
x
y
z
z
z
z
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)