人教新课标A版必修2 第二章 立体几何大题练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版必修2 第二章 立体几何大题练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-23 15:22:32 | ||
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文档简介
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立体几何大题
1．四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面
,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
【解析】（1）
在平面内，因为,所以
又平面平面故平面
（2）取的中点，连接
由及
得四边形为正方形，则.
因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，
所以底面
因为底面，所以,
设，则，取的中点，连接，则,所以，
因为的面积为，所以，
解得（舍去），
于是
所以四棱锥的体积
2．如图，已知四棱锥，侧面是正三角形，底面为边长2的菱形，，.
（1）设平面平面，求证：；
（2）求多面体的体积；
（3）求二面角的余弦值.
【解析】证明：（1）因为平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以；
（2）取中点，连结，由得，
同理，又因为，所以平面，
在中，，所以，
所以多面体的体积
；
（3）由题意知，底面为边长2的菱形，，
所以，又，所以
设的中点为，连结，
由侧面是正三角形知，，所以，
因此就是二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理得，
二面角的余弦值为.
3．如图，正方体，棱长为a，E，F分别为、上的点，且.
（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？
（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；
（3）求异面直线与所成的角的取值范围.
【解析】（1）因为正方体，所以平面
所以，
当时，三棱锥的体积最大.
（2）取中点O，由（1）知，E，F为中点时，三棱锥的体积最大.
所以，因此，，
所以就是二面角的平面角.
在中，
在中，，
三棱椎的体积最大时，二面角的正切值为.
（3）在上取点H使，则在正方形中，
所以，，所以，
所以（或补角）是异面直线与所成的角.
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
因为，所以，所以，
所以，所以
所以异面直线与所成的角的取值范围为.
4．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．
【解析】（1）连结，交于点.连结，
因为四边形是正方形，所以为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形是正方形，所以，
因为底面，所以，
又，所以平面.
（3）因为，
又因为底面是边长为2的正方形，所以，所以，
又因为是的中点，所以.所以，
所以四棱锥的侧面积
.
5．如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：面；
（3）求二面角E-AB-C的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）证明：∵底面，
又，，故面
面，故
（2）证明：，，故
是的中点，故
由（1）知，从而面，故
易知，故面
（3）过点E作EF⊥AC，垂足为．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG
∵PA⊥AC,
∴PA//EF
∴EF⊥底面且F是AC中点
∴故是二面角的一个平面角．
设，则PA=BC=，EF=AF=
从而FG=，故．
6．已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的表面积．
【解析】（1）连接交于点，连接，
点为中点，点为中点，点为的重心，，
，，
又平面，平面，平面．
（2）因为，，，
所以全等于，，，，
所以，
在中，，，则边上的高为，
所以，
．
7．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）由题意，因为，，，由余弦定理可得，
因为，所以，
又因为侧面，所以，
又由，平面，
所以直线平面.
（2）在中，且，可得，
又由且，所以.
又因为，则，即，
因为平面，所以平面，则，
又由平面，平面且，则，
则为所求与平面所成角，
在直角中，所以.
8．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，为的中点，三棱柱的体积.
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面△ABC边长为2，D为BC的中点，三棱柱体积，
解得高AA′=3，
∴三棱柱的表面积：=
；
（2）取AC中点E，连结DE、C′E，
∵D为BC中点，∴DE∥AB，
∴∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），
∵DE=AB=1，C′D=C′E===，
∴cos∠C′DE===．
9．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得，
故.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.
又因为BC//AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，
所以PD⊥平面PBC.
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC–BF=2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得,
在Rt△DPF中，可得.
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
考点：两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角
10．如图，在斜三棱柱中，，，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E，F分别是棱，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与底面ABC所成的角的大小.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG与的交点为P，则点P为EG的中点，连接PF，
在平行四边形中，因为为的中点，所以，
而平面，平面，故平面.
（Ⅱ）过作平面ABC，垂足为H，
连接HC，则就是直线与底面ABC所成的角，
连接AH，并延长交BC于点G，连接GE，
因为，所以为的角平分线，
又因为，所以，G为BC的中点，
因为，，所以，
而，，所以，
于是为二面角的平面角，
由于四边形为平行四边形，得，
因为，所以，
连接，因为，，，所以，
所以，
在直角中，，
故直线与底面ABC所成的角为.
11．如图，在棱长为2的正方体中，已知点M在正方形内部，，.
（1）经过点M在平面内作一条直线与垂直(说明作法及理由）；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）过点M在平面内作一条直线即为所求.
理由如下：连接，在直角中，可计算.
又，，所以点M是的中点，
所以，，，所以平面，
因为平面，所以.
（2）连接与交于点O，易证平面，
所以直线在平面内的射影是，
所以就是直线与平面所成角，在中，.故直线与平面所成角的余弦值为.
12．如图：三棱柱的所有棱长均相等，，为的中点.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）
如图1，连接CB1交BC1于点O，则O为CB1与BC1的中点，连接EC，EB1
依题意有EB=EC1=EC=EB1
∴EO⊥CB1，EO⊥BC1,
∴EO⊥平面BCC1B1，
∴平面EBC1⊥平面BCC1B1，
(2)如图2取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，
∵，∴平面A1B1C1⊥平面BB1A1A,
平面A1B1C1平面BB1A1A=
A1B1,
又∵A1C1=B1C1，H为A1B1的中点，∴C1H⊥A1B1,∴C1H⊥平面BB1A1A，
则∠C1BH为直线BC1与平面BB1A1A所成的角。
令棱长为2a，则C1H=，BC1=，
∴
所以直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值为
13．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱PA、AB、AD两两垂直且相等，E，F分别是AC，PB的中点．
（Ⅰ）证明：EF//平面PCD；
（Ⅱ）求EF与平面PAC所成角的大小．
【解析】（Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点
又F是PB的中点，∴
EF//PD，
∵
EF不在平面PCD内，∴
EF//平面PCD。
（Ⅱ）连接PE，∵
ABCD是正方形，∴
又平面，∴。
∴平面，故是PD与平面PAC所成的角，
∵EF//PD，∴EF与平面PAC所成的角的大小等于
∵PA=AB=AD，，
∴≌，因此PD=BD
在中，，
∴EF与平面PAC所成角的大小是。
14．如图，在直三棱柱中，是的中点．，，．
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）三棱柱是直三棱柱，
平面，，
，是的中点，，
又，平面，
即为直线与平面所成的角，
，，，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅱ）作，垂足为，连接，，
，，，，
由可得，
在中，，
在中，即，
即，
即为二面角的平面角，
在中，.
二面角的余弦值为.
15．如图，在平行四边形ABCD中，沿其对角线BD将折起至，使得点在平面ABCD内的射影恰为点B，点E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面BDE；
（Ⅱ）若，求与平面BDE所成的角．
【解析】（Ⅰ）如图所示，连接交于点，则为的中点，
连接，因为点为的中点，则，
且平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为点在平面内的射影恰为点，所以，
从而可知，故，且，
所以平面，则有，
不妨设，则，，，，则，如图所示，在平面与平面上分别过点，作的垂线，垂足重合，记为，
所以平面且平面，故平面平面,
过点作于点，则是与平面所成的角，
在中，，，所以，
又由，所以直线与平面所成的角为．
16．如图在四面体中，平面，，分别为边的中点，为边上任意一点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【解析】（1）由分别为边的中点，所以，
又因为，所以面面，
又因为面，所以面.
（2）因为面，所以，
，面，即，为直角三角形，
，所以，
因为，所以,，
即点到面的距离为.
试卷第1页，总3页
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立体几何大题
1．四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面
,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
【解析】（1）
在平面内，因为,所以
又平面平面故平面
（2）取的中点，连接
由及
得四边形为正方形，则.
因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，
所以底面
因为底面，所以,
设，则，取的中点，连接，则,所以，
因为的面积为，所以，
解得（舍去），
于是
所以四棱锥的体积
2．如图，已知四棱锥，侧面是正三角形，底面为边长2的菱形，，.
（1）设平面平面，求证：；
（2）求多面体的体积；
（3）求二面角的余弦值.
【解析】证明：（1）因为平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以；
（2）取中点，连结，由得，
同理，又因为，所以平面，
在中，，所以，
所以多面体的体积
；
（3）由题意知，底面为边长2的菱形，，
所以，又，所以
设的中点为，连结，
由侧面是正三角形知，，所以，
因此就是二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理得，
二面角的余弦值为.
3．如图，正方体，棱长为a，E，F分别为、上的点，且.
（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？
（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；
（3）求异面直线与所成的角的取值范围.
【解析】（1）因为正方体，所以平面
所以，
当时，三棱锥的体积最大.
（2）取中点O，由（1）知，E，F为中点时，三棱锥的体积最大.
所以，因此，，
所以就是二面角的平面角.
在中，
在中，，
三棱椎的体积最大时，二面角的正切值为.
（3）在上取点H使，则在正方形中，
所以，，所以，
所以（或补角）是异面直线与所成的角.
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
因为，所以，所以，
所以，所以
所以异面直线与所成的角的取值范围为.
4．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．
【解析】（1）连结，交于点.连结，
因为四边形是正方形，所以为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形是正方形，所以，
因为底面，所以，
又，所以平面.
（3）因为，
又因为底面是边长为2的正方形，所以，所以，
又因为是的中点，所以.所以，
所以四棱锥的侧面积
.
5．如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：面；
（3）求二面角E-AB-C的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）证明：∵底面，
又，，故面
面，故
（2）证明：，，故
是的中点，故
由（1）知，从而面，故
易知，故面
（3）过点E作EF⊥AC，垂足为．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG
∵PA⊥AC,
∴PA//EF
∴EF⊥底面且F是AC中点
∴故是二面角的一个平面角．
设，则PA=BC=，EF=AF=
从而FG=，故．
6．已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的表面积．
【解析】（1）连接交于点，连接，
点为中点，点为中点，点为的重心，，
，，
又平面，平面，平面．
（2）因为，，，
所以全等于，，，，
所以，
在中，，，则边上的高为，
所以，
．
7．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）由题意，因为，，，由余弦定理可得，
因为，所以，
又因为侧面，所以，
又由，平面，
所以直线平面.
（2）在中，且，可得，
又由且，所以.
又因为，则，即，
因为平面，所以平面，则，
又由平面，平面且，则，
则为所求与平面所成角，
在直角中，所以.
8．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，为的中点，三棱柱的体积.
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面△ABC边长为2，D为BC的中点，三棱柱体积，
解得高AA′=3，
∴三棱柱的表面积：=
；
（2）取AC中点E，连结DE、C′E，
∵D为BC中点，∴DE∥AB，
∴∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），
∵DE=AB=1，C′D=C′E===，
∴cos∠C′DE===．
9．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得，
故.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.
又因为BC//AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，
所以PD⊥平面PBC.
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC–BF=2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得,
在Rt△DPF中，可得.
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
考点：两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角
10．如图，在斜三棱柱中，，，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E，F分别是棱，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与底面ABC所成的角的大小.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG与的交点为P，则点P为EG的中点，连接PF，
在平行四边形中，因为为的中点，所以，
而平面，平面，故平面.
（Ⅱ）过作平面ABC，垂足为H，
连接HC，则就是直线与底面ABC所成的角，
连接AH，并延长交BC于点G，连接GE，
因为，所以为的角平分线，
又因为，所以，G为BC的中点，
因为，，所以，
而，，所以，
于是为二面角的平面角，
由于四边形为平行四边形，得，
因为，所以，
连接，因为，，，所以，
所以，
在直角中，，
故直线与底面ABC所成的角为.
11．如图，在棱长为2的正方体中，已知点M在正方形内部，，.
（1）经过点M在平面内作一条直线与垂直(说明作法及理由）；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）过点M在平面内作一条直线即为所求.
理由如下：连接，在直角中，可计算.
又，，所以点M是的中点，
所以，，，所以平面，
因为平面，所以.
（2）连接与交于点O，易证平面，
所以直线在平面内的射影是，
所以就是直线与平面所成角，在中，.故直线与平面所成角的余弦值为.
12．如图：三棱柱的所有棱长均相等，，为的中点.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）
如图1，连接CB1交BC1于点O，则O为CB1与BC1的中点，连接EC，EB1
依题意有EB=EC1=EC=EB1
∴EO⊥CB1，EO⊥BC1,
∴EO⊥平面BCC1B1，
∴平面EBC1⊥平面BCC1B1，
(2)如图2取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，
∵，∴平面A1B1C1⊥平面BB1A1A,
平面A1B1C1平面BB1A1A=
A1B1,
又∵A1C1=B1C1，H为A1B1的中点，∴C1H⊥A1B1,∴C1H⊥平面BB1A1A，
则∠C1BH为直线BC1与平面BB1A1A所成的角。
令棱长为2a，则C1H=，BC1=，
∴
所以直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值为
13．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱PA、AB、AD两两垂直且相等，E，F分别是AC，PB的中点．
（Ⅰ）证明：EF//平面PCD；
（Ⅱ）求EF与平面PAC所成角的大小．
【解析】（Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点
又F是PB的中点，∴
EF//PD，
∵
EF不在平面PCD内，∴
EF//平面PCD。
（Ⅱ）连接PE，∵
ABCD是正方形，∴
又平面，∴。
∴平面，故是PD与平面PAC所成的角，
∵EF//PD，∴EF与平面PAC所成的角的大小等于
∵PA=AB=AD，，
∴≌，因此PD=BD
在中，，
∴EF与平面PAC所成角的大小是。
14．如图，在直三棱柱中，是的中点．，，．
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）三棱柱是直三棱柱，
平面，，
，是的中点，，
又，平面，
即为直线与平面所成的角，
，，，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅱ）作，垂足为，连接，，
，，，，
由可得，
在中，，
在中，即，
即，
即为二面角的平面角，
在中，.
二面角的余弦值为.
15．如图，在平行四边形ABCD中，沿其对角线BD将折起至，使得点在平面ABCD内的射影恰为点B，点E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面BDE；
（Ⅱ）若，求与平面BDE所成的角．
【解析】（Ⅰ）如图所示，连接交于点，则为的中点，
连接，因为点为的中点，则，
且平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为点在平面内的射影恰为点，所以，
从而可知，故，且，
所以平面，则有，
不妨设，则，，，，则，如图所示，在平面与平面上分别过点，作的垂线，垂足重合，记为，
所以平面且平面，故平面平面,
过点作于点，则是与平面所成的角，
在中，，，所以，
又由，所以直线与平面所成的角为．
16．如图在四面体中，平面，，分别为边的中点，为边上任意一点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【解析】（1）由分别为边的中点，所以，
又因为，所以面面，
又因为面，所以面.
（2）因为面，所以，
，面，即，为直角三角形，
，所以，
因为，所以,，
即点到面的距离为.
试卷第1页，总3页
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