陕西省西安市第六十六中 2019-2020学年高三上学期期末考数学（文）试卷(word含答案

2019-2020学年高三上学期期末考数学（文）试卷
内容：高中数学全部内容
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．若复数z满足，则|z|=（
）
A．5
B．
C．2
D．
3．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数的部分图象如图，将的图象向右平移个单位长得到函数的图象，则的单调增区间为（
）
B．
C.
D．
5.如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则=（
）
A．2
B．
C．
D．
6.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为（
）
A.
只
B.
只
C.
只
D.
只
7．已知实数满足，则的最大值为（
）
A．-4
B．
C．-1
D．-2
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（
）
A．
B．8π
C．
D．
9．现有6个大小相同且分别标有2，3，4，5，6，7的小球，若每次取一个后放回，连续取两次，则所取小球上的数字之积是奇数的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
10.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是
(　　)
A．　
　
B．
C．(1,2]
D．
11．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设曲线y＝a(x－1)－ln
x在点(1,0)处的切线方程为y＝2x－2，则a＝
14.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
则角=________
15.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(4,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
16.给出下列四个命题：
①函数，的图象与直线可能有两个不同的交点；
②函数与函数是相等函数；
③对于指数函数与幂函数，总存在，当时，有成立；
④已知是方程的根，是方程的根，则.
其中正确命题的序号是__________．
三、解答题
17.为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：
表1：男、女生上网时间与频数分布表
上网时间（分钟）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70）
[70,80]
男生人数
5
25
30
25
15
女生人数
10
20
40
20
10
（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；
（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？
上网时间少于60分钟
上网时间不少于60分钟
合计
男生
女生
合计
附：公式，其中
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
18.已知数列为等差数列，，且依次成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求的值.
19.如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱，点为线段的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
20已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点P(2,1)，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；(2)设O为坐标原点，在椭圆的短轴上有两点M，N满足＝，直线PM，PN分别交椭圆于A，B两点，试证明直线AB过定点．
21.已知函数f(x)＝eln
x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，求证：xf(x)－ex＋2ex≤0.
请考生在第22、23题中任选一题作答.请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，，，以为直径的圆记为圆，圆过原点的切线记为，若以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若过点，且与直线垂直的直线与圆交于，两点，求．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）求函数的图象与轴围成的三角形面积.
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．C
5．B
6．B
7．D
8．B
9．A
10．D
11．A
12．A
13．3
14.B=．
15．5
16．③④
【解析】
【分析】
由函数的定义对①②判断，由指数函数的性质对③判断，利用数形结合思想对④判断．
【详解】
根据函数定义，对定义域内的任意一个值，只有唯一的值与之对应，∴函数，的图象与直线可能有一个或0个交点，因此①错；
中定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数，②错；
当时，，因此③正确；
如图，分别是函数、的图象与直线的交点、的横坐标，由于与是互为反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此两点关于直线对称，直线与直线的交点为，∴．④正确．
故答案为：③④．
17详解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于分钟的人数,
依据题意有，解得：，
所以估计其中上网时间不少于分钟的人数是225人.?4分
（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：
上网时间少于60分钟
上网时间不少于60分钟
合计
男生
60
40
100
女生
70
30
100
合计
130
70
200
7分
其中,
因此，没有的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.12分
18解：（1）设数列{an}为公差为d的等差数列，
a7﹣a2＝10，即5d＝10，即d＝2，
a1，a6，a21依次成等比数列，可得
a62＝a1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40），
解得a1＝5，
则an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；.......6分
（2）bn（），
即有前n项和为Sn（）
（），
由Sn，可得5n＝4n+10，
解得n＝10．...................12分
19【详解】
解：（Ⅰ）
设中点为，连结，
∵为等边三角形，∴
又，∴
由已知，，
∴，
又为正三角形，且，∴.
∵，∴.
∴
即
∴面
∴平面平面.
....................
6分
（Ⅱ）设中点为，连结
∵点为线段的中点，∴∥
由（Ⅰ）知平面.
∴
平面
∴是直线与平面所成的角.
由（Ⅰ）与已知得，∴，
又，∴
又，
在中,
∴直线与平面所成角的正弦值为...................12分
20解：由椭圆的离心率e＝＝＝，得a2＝4b2，将P(2,1)代入椭圆方程＋＝1，得＋＝1，解得b2＝2，则a2＝8，所以椭圆的标准方程为＋＝1.........5分
（2）证明：当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线AB过定点，则这个定点一定在y轴上，
当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y＝kx＋t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠2，x2≠2，
联立消去y，得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－8＝0，则Δ＝16(8k2－t2＋2)＞0，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
又直线PA的方程为y－1＝(x－2)，
即y－1＝(x－2)，
所以点M的坐标为，
同理可知N，
由＝，得＋＝0，
化简整理得，(2－4k)x1x2－(2－4k＋2t)(x1＋x2)＋8t＝0，
则(2－4k)×－(2－4k＋2t)＋8t＝0，
整理得(2t＋4)k＋(t2＋t－2)＝0，
当且仅当t＝－2时，上式对任意的k都成立，
所以直线AB过定点(0，－2)．............................12分
21解：f′(x)＝－a(x>0)，
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，
则当00；当x>时，f′(x)<0，
故f(x)在上单调递增，在上单调...................5分
解：证明：因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e，
当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.
记g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝，
当01时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝－e.
综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0......12分
22．（1）（2）1
试题解析：（1）由题意，知圆的直径，圆心的坐标为，
∴圆的直角坐标为，即，
将，代入上式，
得到圆的极坐标方程为．　..................5分
（2）∵直线与圆过原点的切线垂直
∴直线的倾斜角为，斜率为，
又∵直线过点
∴直线的普通方程为，即，
∴圆心到直线的距离，
∴．..........10分
23试题解析：解：（Ⅰ）由题意可得，
因为，
所以当时，由，解得，即；
当时，由，解得，即；
当时，，解得，即；
故不等式的解集为.....................5分
（Ⅱ）如图画出函数的图象，
可得函数的图象与轴交点的横坐标分别为，
即函数的图象与轴围成的三角形面积为...............12分
答案第1页，总2页