第三章 二次函数章末复习题（含答案）
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第三章 二次函数
章末复习
考点训练
考点1 利用二次函数y＝ax2的图象解题
1.画出经过点（1，2）的二次函数y＝ax2的图象，并根据图象解答下列问题:
（1）当x＝时，y的值是多少？
（2）当y＝2时，x的值是多少？
（3）当x＞0时，y随x的增大如何变化？当x＜0时，y随x的增大如何变化？
（4）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？
2.一个二次函数，其图象的对称轴是y轴，顶点是原点且经过（－1，）
（1）写出这个二次函数的解析式并画出其图象；
（2）抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大怎样变化？
（3）这个函数有最大值还是最小值，这个值是多少？
（4）当y＝4时，x的值是多少？
考点2 利用平移规律确定二次函数表达式中的系数
3.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线y＝x2－2x＋1，求b，c的值。
4.将抛物线y＝（x－2）2＋3向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A.y＝（x－4）2 B.y＝（x－4）2＋6 C.y＝x2＋6 D.y＝x2
考点3 二次函数与几何图形
5.如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1所示，点E（x，y）为抛物线上一点，且－5＜x＜－2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴交于点F，作EH⊥x轴，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；
（3）如图2所示，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
6.如图1所示，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2所示，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H.设PH的长为，点P的横坐标为m，求与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
考点4 二次函数与最大利润
7.某商场将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件.现在商场打算采用提高零
售价的办法来增加利润.已知这种商品的单价每提高1元，日销售量就要减少10件.那么，商场把零售价定为每件多少元才能使每天获利最大？每天的最大利润是多少？
8.某汽车租赁公司共有出租车120辆，每辆出租车的日租金为160元.现公司准备适当提高日租金，经调查发现，一辆出租车的日租金每增加10元，每天出租的出租车会相应地减少6辆若不考虑其他因素，公司将每辆出租车的日租金提高几个10元时，才能使公司的日租金总收入最高？
考点5 利用二次函数解动态几何问题
9.如图所示，在△ABC中，AF⊥BC，AB＝AC＝5，BC＝6，矩形PQED的边PQ在线段BC上，D，E分别在线段AB，AC上，设BP＝x。
（1）求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x取什么值时，矩形PQED的面积最大？求出这个最大值；
（3）连接PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
10.改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，AB表示水管，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线状，建立如图所示的平面直角坐标系后，抛物线的表达式为
y＝－x2＋2x＋1.5.
（1）当x＝1时，喷出的水离地面多高？
（2）你能求出水落地点的最远距离吗？
（3）水管有多高？
真题训练
1.（2019·葫芦岛）二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是（ ）
2.（2019·日照）如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，下列结论中:①abc＞0；②a－b＋c＜0；③ax2＋bx＋c＋1＝0有两个相等的实数根；
④－4a＜b＜－2a，其中正确结论的序号为（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①④
3.（2019·恩施）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断:
①ab＞0且c＜0；②4a－2b＋c＞0；③8a＋c＞0；④c＝3a－3b；⑤直线y＝2x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＋x1x2＝5.其中正确的个数有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4.（2019·济南）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0有一个根是－1，若二次函数y＝ax2＋bx＋的图象的顶点在第一象限，设t＝2a＋b，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.（2019·淄博）将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A. a＞3 B. a＜3 C. a＞5 D. a＜5
6.（2019·雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x－2）2＋1，下列说法中错误的是（ ）A.y的最小值为1
B.图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
7.（2019·大连）如图所示，抛物线y＝与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与抛物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
8.（2019·陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋（2m－1）x＋2m－4与y＝x2－（3m＋n）x＋n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A. m＝，n＝－ B. m＝5，n＝－6 C. m＝－1，n＝6 D. m＝1，n＝－2
9（2019·齐齐哈尔）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（－3，0），其对称轴为直线x＝－，结合图象分析下列结论:①abc＞0；②3a＋c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1＝－，x2＝；⑤＜0；⑥若m，n（m＜n）为方程a（x＋3）（x－2）＋3＝0的两个根，则m＜－3且n＞2.其中正确的结论有（ ）
3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
10.（2019·潍坊）如图所示，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝________________。
11.（2018·武汉）飞机着陆后滑行的距离y（单位:m）关于滑行时间t（单位:s）的函数解析式是y＝。在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是___________ m.
12.（2019·梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件，设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80％，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.
13.（2019·烟台节选）如图所示，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标.
参考答案
考点训练
1.解：由题意得，2＝a·1，解得a＝2，∴y＝2x2。
画出的二次函数y＝2x2的图象如图所示。
（1）当x＝时，y＝；（2）当y＝2时，x＝±1；
（3）当x＞0时， y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小；
（4）当x＝0时，y有最小值，最小值为0.
2，解:（1）∵二次函数的对称轴是y轴，顶点是原点，∴可设所求的二次函数为y＝ax2（a≠0）。
将（－1，）代入y＝ax2得＝a·（－1）2，∴a＝。
∴所求函数的解析式为y＝x2。其图象如图所示；
（2）抛物线在对称轴（y轴）左侧的部分y随x的增大而减小；
（3）分析二次函数的图象可得抛物线的最低点为（0，0），∴当x＝0时，函数y＝x2有最小值，最小值为0；
（4）当y＝4时，x＝±4.
3.解:配方得y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，先把此函数图象向下平移3个单位长度，得y＝（x－1）2－3，再把图象向右平移2个单位长度，得y＝（x－1－2）2－3，即y＝（x－3）2－3.
∵y＝（x－3）2－3＝x2－6x＋9－3＝x2－6x＋6，∴b＝－6，c＝6.
4. A
5.解: （1）把A（－5，0）， B （1，0）两点坐标代入y＝－x2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－4x＋5；
（2）如图1所示，
∵抛物线的对称轴x＝－2， E（x，－2x2－4x＋5），∴ EH＝－2x2－4x＋5，EF＝－2－x.
∴矩形EFDH的周长＝2（EH＋EF）＝2（－2x2－5x＋3）＝.
∵－2＜0，∴x＝－，时，矩形EHDF的周长最大，最大值为；
（3）如图2所示，C（0，5），设P（－2，m）.
①当∠ACP＝90?时，
∵AC2＋PC2＝PA2，∴，解得m＝7。
∴P1（－2，7）；
②当 ∠CAP＝90?时，
∵AC2＋PA2＝PC2，.解得m＝－3.
∴P2 （－2，－3）；
③当∠APC＝90?时，
∵PA2＋PC2＝AC2，∴32＋m2＋2＋（m－5）2＝（5）2，解得m＝6或－1.
∴P3（－2，6）， P（－2，－1）.
综上所述，满足条件的点P坐标为（－2，7）或（－2，－3）或（－2，6）或（－2，－1），
6，解:（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，∴OB＝1.∵AB＝4，∴OA＝3.∴A（－3，0）， B（1，0）.
把A，B两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得.
∴抛物线的解析式为。
（2）在中，令y＝2可得，解得x1＝0或x2＝－2，
∴E（－2，2）.直线OE的解析式为y＝－x.由题意可设P（m，）
∵PG//y轴，∴G（m， －m）.∵P在直线OE的上方，
∴PG＝－（－m）＝＝。
∵直线OE的解析式为y＝－x，∴∠PGH＝∠COE＝45?.
∴。
∴当m＝－时，有最大值，最大值为。
（3） ①当AC为平行四边形的边时，则有MN// AC，且MN＝AC，如图所示，过点M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF＝∠ACO＝∠FNM。
在△MFN和△AOC中，，△MFNE≌△AOC（AAS）.
∴MF＝AO＝3.∴点M到对称轴的距离为3.又∵，
∴抛物线对称轴为x＝－1.
设点M的坐标为（x，y），则|x＋1|＝3，解得x1＝2或x2＝－4.
当x＝2时，y＝－，当x＝－4时，y＝－.
∴点M的坐标为（2，－） 或（－4，－）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K。∵A（－3，0），C（0，2），∴K（－，1）
∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为－1.设点M的横坐标为x，
∴x＋（－1）＝2×（－）＝－3.解得x＝－2，此时y＝2.∴M（－2，2）；
综上所述，点M的坐标为（2，－）或（－4，－）或（－2，2）。
7，解:设应把零售价定为x元，每天获利y元，则每件利润为（x－8）元，每天少卖10（x－10）件，每天卖出［100－10（x－10）］件，由题意得函数表达式
y＝（x－8）［100－10（x－10）］＝（x－8） （200－10x）＝－10（x2－28x＋160）
＝－10（x－14）2＋360（8≤x≤20）.即－10（x－14）2＋360（8≤x≤20）.
∵a＝—10＜0，∴y有最大值，当x＝14时，y最大值＝360.
因此，商场应把零售价定为每件14元，才能使每天获利最大，最大利润是360元.
8.解:设当公司将每辆汽车的日租金提高x个10元时，才能使公司的日租金总收入最高，但公司每天出租的汽车会减少6x辆.
由题意得，y＝（160＋10x）（120－6x）＝－60x2＋240x＋19200＝－60（x2－4x－320）
＝－60（x－2）2＋19 440.
当x＝2时，y最大＝19 440.
即当公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时，公司的日租金总收入最高，为19440元.
9，解:（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝3.
在Rt△ABF中，AF＝＝4.∵四边形DPQE是矩形，∴DP⊥BC.∴DP//AF.
∴，即。∴。
∵∠B＝∠C，∠DPB＝∠EQC＝90?，DP＝EQ，
∴△DBP≌△ECQ。∴CQ＝BP＝x.∴PQ＝6－2x.
∴y＝＝，自变量x的取值范围是0＜x＜3；
（2）当时，.
即当x＝时，矩形PQED的面积最大，最大值是6；
（3）如图所示，当PE//AB时，四边形DBPE是平行四边形，
∵ BP＝DE.∴BP＝PQ＝QC＝BC＝2.即x＝2，y＝.即当PE//AB时，S梯形PQED＝.
10.解:（1）当x＝1时，y＝－×12＋2×1＋1.5＝3.
故当x＝1时，喷出的水离地面的高度为3；
（2）当y＝0时，＝0
解得x1＝2＋，x2＝2－＜0（舍去）.因此水落地点的最远距离为2＋；
（3）当x＝0时，y＝1.5，因此水管AB的高为1.5.
真题训练
1.D 2. D 3.D 4.D 5.D 6.C 7. B 8.D 9.C
10. 11. 24
12.解:（1）由题意得，y＝＝，
故y与x的函数关系式为y＝；
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y＝＝－10（x－10. 5）2 ＋302. 5＝240，解得x1＝8，x2＝13.
∵－10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13；
（3）∵每件文具利润不超过80％，∴＜0.8，解得x≤9.∴文具的销售单价为6≤x≤9.
由（1）得， y＝＝－10（x－10. 5）2 ＋302. 5.
∵对称轴为x＝10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大.
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝－10（x－10. 5）2 ＋302. 5＝ 280.
即每件文具售价为9元时，获得利润最大，最大利润为280元.
13，解: （1）由题意得，C（0，3）.∵CD⊥y，∴点D的纵坐标是3.
∵D在y＝上，D（2，3）.
将点A（－1，0）和D（2，3）代入y＝ax2＋bx＋3，
得，解得，∴y＝－x2＋2x＋3；
（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴顶点M（1，4），对称轴x＝1.∴B（3，0）.
如图所示，作点M关于y轴的对称点M '，作点D关于x轴的对称点D '，连接M'D'与x轴，y轴分别交于点N，F，
则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M′D′＋MD的长.
∴M′（－1，4），D′（2，－3）.
∴M′D′直线的解析式为y＝.∴N（，0），F（0，）。
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第三章 二次函数
章末复习
考点训练
考点1 利用二次函数y＝ax2的图象解题
1.画出经过点（1，2）的二次函数y＝ax2的图象，并根据图象解答下列问题:
（1）当x＝时，y的值是多少？
（2）当y＝2时，x的值是多少？
（3）当x＞0时，y随x的增大如何变化？当x＜0时，y随x的增大如何变化？
（4）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？
2.一个二次函数，其图象的对称轴是y轴，顶点是原点且经过（－1，）
（1）写出这个二次函数的解析式并画出其图象；
（2）抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大怎样变化？
（3）这个函数有最大值还是最小值，这个值是多少？
（4）当y＝4时，x的值是多少？
考点2 利用平移规律确定二次函数表达式中的系数
3.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线y＝x2－2x＋1，求b，c的值。
4.将抛物线y＝（x－2）2＋3向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A.y＝（x－4）2 B.y＝（x－4）2＋6 C.y＝x2＋6 D.y＝x2
考点3 二次函数与几何图形
5.如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1所示，点E（x，y）为抛物线上一点，且－5＜x＜－2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴交于点F，作EH⊥x轴，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；
（3）如图2所示，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
6.如图1所示，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2所示，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H.设PH的长为，点P的横坐标为m，求与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
考点4 二次函数与最大利润
7.某商场将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件.现在商场打算采用提高零
售价的办法来增加利润.已知这种商品的单价每提高1元，日销售量就要减少10件.那么，商场把零售价定为每件多少元才能使每天获利最大？每天的最大利润是多少？
8.某汽车租赁公司共有出租车120辆，每辆出租车的日租金为160元.现公司准备适当提高日租金，经调查发现，一辆出租车的日租金每增加10元，每天出租的出租车会相应地减少6辆若不考虑其他因素，公司将每辆出租车的日租金提高几个10元时，才能使公司的日租金总收入最高？
考点5 利用二次函数解动态几何问题
9.如图所示，在△ABC中，AF⊥BC，AB＝AC＝5，BC＝6，矩形PQED的边PQ在线段BC上，D，E分别在线段AB，AC上，设BP＝x。
（1）求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x取什么值时，矩形PQED的面积最大？求出这个最大值；
（3）连接PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
10.改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，AB表示水管，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线状，建立如图所示的平面直角坐标系后，抛物线的表达式为
y＝－x2＋2x＋1.5.
（1）当x＝1时，喷出的水离地面多高？
（2）你能求出水落地点的最远距离吗？
（3）水管有多高？
真题训练
1.（2019·葫芦岛）二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是（ ）
2.（2019·日照）如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，下列结论中:①abc＞0；②a－b＋c＜0；③ax2＋bx＋c＋1＝0有两个相等的实数根；
④－4a＜b＜－2a，其中正确结论的序号为（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①④
3.（2019·恩施）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断:
①ab＞0且c＜0；②4a－2b＋c＞0；③8a＋c＞0；④c＝3a－3b；⑤直线y＝2x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＋x1x2＝5.其中正确的个数有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4.（2019·济南）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0有一个根是－1，若二次函数y＝ax2＋bx＋的图象的顶点在第一象限，设t＝2a＋b，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.（2019·淄博）将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A. a＞3 B. a＜3 C. a＞5 D. a＜5
6.（2019·雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x－2）2＋1，下列说法中错误的是（ ）A.y的最小值为1
B.图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
7.（2019·大连）如图所示，抛物线y＝与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与抛物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
8.（2019·陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋（2m－1）x＋2m－4与y＝x2－（3m＋n）x＋n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A. m＝，n＝－ B. m＝5，n＝－6 C. m＝－1，n＝6 D. m＝1，n＝－2
9（2019·齐齐哈尔）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（－3，0），其对称轴为直线x＝－，结合图象分析下列结论:①abc＞0；②3a＋c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1＝－，x2＝；⑤＜0；⑥若m，n（m＜n）为方程a（x＋3）（x－2）＋3＝0的两个根，则m＜－3且n＞2.其中正确的结论有（ ）
3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
10.（2019·潍坊）如图所示，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝________________。
11.（2018·武汉）飞机着陆后滑行的距离y（单位:m）关于滑行时间t（单位:s）的函数解析式是y＝。在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是___________ m.
12.（2019·梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件，设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80％，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.
13.（2019·烟台节选）如图所示，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标.
参考答案
考点训练
1.解：由题意得，2＝a·1，解得a＝2，∴y＝2x2。
画出的二次函数y＝2x2的图象如图所示。
（1）当x＝时，y＝；（2）当y＝2时，x＝±1；
（3）当x＞0时， y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小；
（4）当x＝0时，y有最小值，最小值为0.
2，解:（1）∵二次函数的对称轴是y轴，顶点是原点，∴可设所求的二次函数为y＝ax2（a≠0）。
将（－1，）代入y＝ax2得＝a·（－1）2，∴a＝。
∴所求函数的解析式为y＝x2。其图象如图所示；
（2）抛物线在对称轴（y轴）左侧的部分y随x的增大而减小；
（3）分析二次函数的图象可得抛物线的最低点为（0，0），∴当x＝0时，函数y＝x2有最小值，最小值为0；
（4）当y＝4时，x＝±4.
3.解:配方得y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，先把此函数图象向下平移3个单位长度，得y＝（x－1）2－3，再把图象向右平移2个单位长度，得y＝（x－1－2）2－3，即y＝（x－3）2－3.
∵y＝（x－3）2－3＝x2－6x＋9－3＝x2－6x＋6，∴b＝－6，c＝6.
4. A
5.解: （1）把A（－5，0）， B （1，0）两点坐标代入y＝－x2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－4x＋5；
（2）如图1所示，
∵抛物线的对称轴x＝－2， E（x，－2x2－4x＋5），∴ EH＝－2x2－4x＋5，EF＝－2－x.
∴矩形EFDH的周长＝2（EH＋EF）＝2（－2x2－5x＋3）＝.
∵－2＜0，∴x＝－，时，矩形EHDF的周长最大，最大值为；
（3）如图2所示，C（0，5），设P（－2，m）.
①当∠ACP＝90?时，
∵AC2＋PC2＝PA2，∴，解得m＝7。
∴P1（－2，7）；
②当 ∠CAP＝90?时，
∵AC2＋PA2＝PC2，.解得m＝－3.
∴P2 （－2，－3）；
③当∠APC＝90?时，
∵PA2＋PC2＝AC2，∴32＋m2＋2＋（m－5）2＝（5）2，解得m＝6或－1.
∴P3（－2，6）， P（－2，－1）.
综上所述，满足条件的点P坐标为（－2，7）或（－2，－3）或（－2，6）或（－2，－1），
6，解:（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，∴OB＝1.∵AB＝4，∴OA＝3.∴A（－3，0）， B（1，0）.
把A，B两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得.
∴抛物线的解析式为。
（2）在中，令y＝2可得，解得x1＝0或x2＝－2，
∴E（－2，2）.直线OE的解析式为y＝－x.由题意可设P（m，）
∵PG//y轴，∴G（m， －m）.∵P在直线OE的上方，
∴PG＝－（－m）＝＝。
∵直线OE的解析式为y＝－x，∴∠PGH＝∠COE＝45?.
∴。
∴当m＝－时，有最大值，最大值为。
（3） ①当AC为平行四边形的边时，则有MN// AC，且MN＝AC，如图所示，过点M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF＝∠ACO＝∠FNM。
在△MFN和△AOC中，，△MFNE≌△AOC（AAS）.
∴MF＝AO＝3.∴点M到对称轴的距离为3.又∵，
∴抛物线对称轴为x＝－1.
设点M的坐标为（x，y），则|x＋1|＝3，解得x1＝2或x2＝－4.
当x＝2时，y＝－，当x＝－4时，y＝－.
∴点M的坐标为（2，－） 或（－4，－）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K。∵A（－3，0），C（0，2），∴K（－，1）
∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为－1.设点M的横坐标为x，
∴x＋（－1）＝2×（－）＝－3.解得x＝－2，此时y＝2.∴M（－2，2）；
综上所述，点M的坐标为（2，－）或（－4，－）或（－2，2）。
7，解:设应把零售价定为x元，每天获利y元，则每件利润为（x－8）元，每天少卖10（x－10）件，每天卖出［100－10（x－10）］件，由题意得函数表达式
y＝（x－8）［100－10（x－10）］＝（x－8） （200－10x）＝－10（x2－28x＋160）
＝－10（x－14）2＋360（8≤x≤20）.即－10（x－14）2＋360（8≤x≤20）.
∵a＝—10＜0，∴y有最大值，当x＝14时，y最大值＝360.
因此，商场应把零售价定为每件14元，才能使每天获利最大，最大利润是360元.
8.解:设当公司将每辆汽车的日租金提高x个10元时，才能使公司的日租金总收入最高，但公司每天出租的汽车会减少6x辆.
由题意得，y＝（160＋10x）（120－6x）＝－60x2＋240x＋19200＝－60（x2－4x－320）
＝－60（x－2）2＋19 440.
当x＝2时，y最大＝19 440.
即当公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时，公司的日租金总收入最高，为19440元.
9，解:（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝3.
在Rt△ABF中，AF＝＝4.∵四边形DPQE是矩形，∴DP⊥BC.∴DP//AF.
∴，即。∴。
∵∠B＝∠C，∠DPB＝∠EQC＝90?，DP＝EQ，
∴△DBP≌△ECQ。∴CQ＝BP＝x.∴PQ＝6－2x.
∴y＝＝，自变量x的取值范围是0＜x＜3；
（2）当时，.
即当x＝时，矩形PQED的面积最大，最大值是6；
（3）如图所示，当PE//AB时，四边形DBPE是平行四边形，
∵ BP＝DE.∴BP＝PQ＝QC＝BC＝2.即x＝2，y＝.即当PE//AB时，S梯形PQED＝.
10.解:（1）当x＝1时，y＝－×12＋2×1＋1.5＝3.
故当x＝1时，喷出的水离地面的高度为3；
（2）当y＝0时，＝0
解得x1＝2＋，x2＝2－＜0（舍去）.因此水落地点的最远距离为2＋；
（3）当x＝0时，y＝1.5，因此水管AB的高为1.5.
真题训练
1.D 2. D 3.D 4.D 5.D 6.C 7. B 8.D 9.C
10. 11. 24
12.解:（1）由题意得，y＝＝，
故y与x的函数关系式为y＝；
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y＝＝－10（x－10. 5）2 ＋302. 5＝240，解得x1＝8，x2＝13.
∵－10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13；
（3）∵每件文具利润不超过80％，∴＜0.8，解得x≤9.∴文具的销售单价为6≤x≤9.
由（1）得， y＝＝－10（x－10. 5）2 ＋302. 5.
∵对称轴为x＝10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大.
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝－10（x－10. 5）2 ＋302. 5＝ 280.
即每件文具售价为9元时，获得利润最大，最大利润为280元.
13，解: （1）由题意得，C（0，3）.∵CD⊥y，∴点D的纵坐标是3.
∵D在y＝上，D（2，3）.
将点A（－1，0）和D（2，3）代入y＝ax2＋bx＋3，
得，解得，∴y＝－x2＋2x＋3；
（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴顶点M（1，4），对称轴x＝1.∴B（3，0）.
如图所示，作点M关于y轴的对称点M '，作点D关于x轴的对称点D '，连接M'D'与x轴，y轴分别交于点N，F，
则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M′D′＋MD的长.
∴M′（－1，4），D′（2，－3）.
∴M′D′直线的解析式为y＝.∴N（，0），F（0，）。
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