第23章 旋转复习课（旋转模型一）（共22张PPT）

(共22张PPT)
人教版
九上
第23章旋转
复习
模型一：等线段共点
例一：求角度
1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．
【解答】解：如图，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连
接DP，∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，
∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，
∴△CPD为等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，
在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3，
而
∴PB2+PD2＝BD2，
∴△PBD为直角三角形，
∴∠DPB＝90°，
∴∠BPC＝45°+90°＝135°
例二：求长度
2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD．若∠ADC＝15°，∠BDC＝30°，△BCD的面积是
，求CD的长．
模型二：手拉手模型
定义：
两个顶角相等且共顶点的等腰三角形形成的图形。
结论：（1）△ABD
≌△AEC
（2）∠α+∠BOC=180°
（3）OA平分
∠BOC
等腰三角形
例一：等边三角形
1、图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形．
（1）如图1，求证：AD＝CE；
（2）如图2，设CE与AD交于点F，连接BF．
①求证：∠CFA＝60°；
②求证：CF+BF＝AF．
2．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H
问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
（5）线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？
例二：正方形
课后练习
1、（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．
小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE＝90°
PC＝EC＝2；BE＝PA＝3；
由勾股定理得：PE2＝22+22＝8；
∵PB2＝1，BE2＝9，
∴BE2＝PE2+PB2，
∴∠BPE＝90°，
∵∠CPE＝45°，
∴∠BPC＝135°．
（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；
则AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4；
∴△APQ为等边三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3；
∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+CQ2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APB＝∠AQC＝150°
2．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD＝CF．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由．
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CF；
（2）（1）的结论仍然成立，理由：
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠CAD，
∠CAF＝∠DAF+∠CAD＝90°+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD＝45°
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°
∴BD⊥CF．
（3）①BC、CD与CF的关系：CD＝BC+CF
理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，从而可得：
BD＝CF，
即：CD＝BC+CF
②△AOC是等腰三角形
理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，可得：∠DBA＝∠FCA，
又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
则∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABD＝∠FCA＝135°
∴∠DCF＝135°﹣45°＝90°
∴△FCD为直角三角形．
又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，
∴OC＝
DF，
∴OC＝OA
∴△AOC是等腰三角形．
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