20-2021学年度第一学期高二年级第一次学情调研
(本题满分12分)
数学试题答题纸
校
答题前考生先将自己的姓名、准
填写清楚
填涂相应的
用2B铅笔
择题必须使用2B铅笔填涂,解答题必须使用黑
真涂准考证号并填意的签字笔书写,不得用铅笔或圆珠笔做解答题,字体
涂下面的缺考违纪|事
照题号顺序在各
答题区域内作答,超
标记。缺考涂1,逋项题区域书写的答题无效
纸、试题纸上答题无
本题满分12分
折叠,不
多项选择题(第9-12题
空
共
共
解答题(本大题
题,共70分)
(本题满分10分)
在各题
题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题日的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20.(本题满分12分)
题满
题满
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区
案无效
各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效020
年度第一学期高二年级第
情调研
数学试题
考
巷满分150分
前,考生务必将自己的姓名、准考证号填
选择题时,选出每
用铅笔托
题
案标号涂黑。如
用橡皮擦干净后,再选涂其
选择题时,将答案写在答题
选项中
题
的否定是
充分而不必要条
必要而不充分条件
既不充分
要条件
地物线x2=y的准线方程
有相同的离心率的椭圆方程为(▲)
图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC,M、N分别是对边O
点,点G在线段M
GN,现用基向量OA,OB,OC
r
OA
0,则x,y,x的值分别是
数学第
抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A、B在准线上的射影为
点P在离心率为的椭圆
是椭圆的一个焦点,M是以PF
是半径为2的圆
圆
的最
圆E的焦距的取值范围
金细彻得分点的:3油的得分的的中,有多台面
关于x的不等式x2-2ax+a>0对Ⅴx∈R恒成立”的
要不充分条件是
知双曲线
的焦距为4,两条渐近线的夹角为60°,则
法正确
的是
离
渐近线方程为
2=0经过M的
所表
线为C
命题中错误的
为椭
C为双曲线
3或
线C可能是圆
若C为椭圆,且长轴在
2.已知椭圆C
0)的离心率为
顶点者
为D,E
条
不为0.O为坐标原点,则
线OD的斜率之积为-2
线
斜率之积
直线
的斜率之和为
值为
数学第2页共4页
设m,n为非零
则“存在负数A,使得
的
条件.(从“充分不
条
不充分条件、充要条件、既不充分
条
选填一个)
双曲线
(a>0,b>0)的焦点到一条渐近线的距离等
长,那么该双曲线
离心率为
知双曲线
的左、右焦点分
双曲线上一点,若∠F1M
积为
椭圆
0)与双曲线C2:x
有公共的焦点,C
长轴为直径的圆相交
两点,若C1恰好将线段A
解答题
本小题满分10分
题p:对数log(-2+7t
≠1)有意义,命题q:关于实数t的不等式t
0成立
(1)若命题p为真,求实数t的取值范围
2)若命题P是q的充分条件,求实数a的取值范围
内有一点P(1,1),F为右焦点,椭圆上的点M
求
HF的最小值
(2)求使
F的值最小时点M的坐标
数学第3页共4页
)若点P到直线x
求点P的轨迹方程
(2)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若
点到椭
焦点的距离的差绝对值等于8,求曲线C2的标准方程
0.(本小题满分12
点P(1,m)是抛物线C:y2=2px上的点,F为抛物线的焦
)与抛物线C相交于不
(1)求抛物线
程
知双曲线
(a>0,b>0)的离心率等
点(
5)在双曲线
求双曲线的方程
(2)若双曲线的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上任意一点,求PA1·PF2的最小值
2.(本小题满分12分)
平面直角坐标
)与直线l:x
点(3
(-22,0),(3,3)中有
在椭圆
余一个点在直线l
程
(2)若动点
l上,过
线交椭圆
M,N两点,使
线l
定点高二数学第一学期第一次质量检测
命题人：
审核人：
1、
单项选择题：（每题5分，共8题）
1．命题“，”的否定是
（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
本题直接写出命题的否定为：，，即可判断选项.
【详解】
解：命题“，”的否定是：，.
故选：C.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.
2．设，则“”是“”的(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
化简不等式，可知
推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
3．抛物线的准线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
抛物线的准线方程为，焦点在轴上，，即，，准线方程是，故选D.
4．过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先设所求椭圆方程为，再将代入即可得到答案.
【详解】
设所求椭圆方程为，
将点代入可得，即，所求椭圆方程为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查根据椭圆的离心率求标准方程，属于简单题.
5．已知向量，满足，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.
【详解】
因为，所以.
故选：B
【点睛】
本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出，进而得到结果.
【详解】
，，
故选：
【点睛】
本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.
7．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得,再由求的取值范围.
【详解】
设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,
焦点坐标为,不妨设为第一象限的点,
由椭圆与双曲线的定义得,①,,②,
由余弦定理得,③
联立①②③得,
由,,得,
,
,,则,,
,,,,
又,,.
故选:D.
【点睛】
本题考查椭圆?双曲线的离心率的范围,考查余弦定理和定义法的运用,需要一定的计算能力,属于中档题.
8．已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.
【详解】
因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，
又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,
所以，故，所以.
故选C
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.
二、不定项选择题：（选对得5分，漏选得3分，共4题）
9．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
先根据“关于的不等式对恒成立”求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判定即可.
【详解】
解：关于的不等式对恒成立，则,解得：.
选项“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；
选项“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
选项“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
D选项“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.
故选：.
【点睛】
本题考查二次不等式恒成立、充分条件和必要条件，属于基础题.
10．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（
）
A．M的离心率为
B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为
D．直线经过M的一个焦点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
依题意可得，再根据两条渐近线的夹角为及，即可求出双曲线的方程、离心率、渐近线及焦点坐标；
【详解】
解：依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，所以双曲线方程为，离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，显然直线过点；
故选：ACD
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题.
11．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是（
）
A．若为椭圆,则
B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.
【详解】
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】
一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.
12．已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0．O为坐标原点，则（
）
A．
B．直线AB与直线OD的斜率之积为-2
C．直线BC与直线OE的斜率之积为
D．若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则的值为-2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据离心率可得的关系，从而可判断A正确，利用点差法可得B、C、D的正误，
【详解】
因为椭圆的离心率为，由得，故A正确；
设，，，则，且，
两式作差得，
即，
所以，因为AB的斜率，
OD的斜率，所以，
同理，，故B错误，C正确.
又，同理可得，，
所以，又直线OD，OE，OF的斜率之和为1，
即，所以，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查椭圆基本量的计算、点差法，注意圆锥曲线中与弦的中点、弦的斜率有关的问题，一般用点差法来处理，本题属于中档题.
三、填空题：（每题5分，共4题）
13.设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的_________条件．（从“充分不必要条件、必要不充分条件、充分条件、既不充分也不必要”中选填一个）
14．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为
▲
.
15.
已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是双曲线上一点，若，则三角形的面积为
.
【答案】
16.
已知椭圆
（）与双曲线
有公共的焦点，的一条渐近线与以
的长轴为直径的圆相交于两点.若
恰好将线段三等分，则=__________________.【答案】
四、解答题：
17．（本小题满分10分）
已知命题对数（且)有意义，关于实数的不等式成立.
（1）若命题为真，求实数的取值范围.
（2）若命题是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）真数大于0，则；（2）若是的充分条件，则是的解集的子集，所以只需，解得.
试题解析：
（1）因为命题为真，则对数的真数，解得.
所以实数的取值范围是.
（2）因为命题是的充分条件，所以是不等式的解集的子集.
因为方程的两根为1和，
所以只需，解得.
即实数的取值范围为.
18．（本小题满分12分）
（1）若点到直线的距离比它到点的距离小，求点的轨迹方程.
（2）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差绝对值等于，求曲线的标准方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义即可求出点的轨迹方程；
（2）由题意求出椭圆的几何量，再结合双曲线的定义求解即可.
【详解】
解：（1）因为点到直线的距离比它到点的距离小，
所以到直线的距离等于它到点的距离，
由抛物线的定义知的轨迹为以为焦点的抛物线，
即抛物线方程为，
即点的轨迹方程为；
（2）因为椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，
所以，
所以，，
即焦点坐标为，，
又若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，
所以曲线为以，为焦点的双曲线，且实轴长为，
所以的方程为.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，重点考查了双曲线的定义，属基础题.
19．（本小题满分12分）
已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若，求k的值.
【答案】（1）；（2）1或.
【解析】
【分析】
(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB
【详解】
（1）抛物线C：的准线为，
由得：，得.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，由，
，
∴，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴
解得：，
所以k的值为1或.
【点睛】考核抛物线的定义及过焦点弦的求法
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意得到方程组，解得即可；
（2）设，于是，根据平面向量数量积的坐标表示及转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.
（2）由已知得，设，
于是，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，.
【点睛】
本题考查待定系数法求双曲线方程，平面向量的数量积以及二次函数的性质的应用，属于中档题.
21.
（本小题满分12分）
已知椭圆内有一点P(1,1),F为右焦点，椭圆上的点M.
(1)求的最大值；
（2）求的最小值；
（3）求使得的值最小时点M的坐标.
【答案】(1),所以的最大值为
（2）==10+()=10，为椭圆的左焦点，所以的最小值为10
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线．
四点中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动点P在直线上，过P作直线交椭圆于两点，使得，再过P作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
22．解：（1）由题意有3个点在椭圆上，
根据椭圆的对称性，则点一定在椭圆上，
即
①，
……………………………………2分
若点在椭圆上，则点必为的左顶点，
而，则点一定不在椭圆上，
故点在椭圆上，点在直线上，
…………………………4分
所以
②，
联立①②可解得，
所以椭圆的方程为；
……………………………………6分
（2）由（1）可得直线的方程为，设，
当时，设显然，
联立则，即，
又，即为线段的中点，
故直线的斜率为，
……………………………………10分
又，所以直线的方程为，
…………………13分
即，
显然恒过定点；……………15分
当时，直线即，此时为x轴亦过点；
综上所述，恒过定点．
……………………………………16分2020-2021学年度第一学期高二年级第一次学情调研
数学试题答案
1-8．
CBDD
BDBC
9-12.
BD
ACD
AD
ACD
13.
充分不必要条件
14.
15.
16.
17．解：（1）因为命题为真，则对数的真数，--------2分
解得.------------4分
所以实数的取值范围是.-----------5分
（2）因为命题是的充分条件，所以是不等式的解集的子集.------------6分
因为方程的两根为1和，
所以只需，解得.-----------8分
即实数的取值范围为.-----------10分
18.
解：（1）=---------2分
=10+()---------4分
=10，
为椭圆的左焦点，所以的最小值为10---------6分
--------------8分
为所求。--------12分
19．解：（1）因为点到直线的距离比它到点的距离小，
所以到直线的距离等于它到点的距离，-----------2分
由抛物线的定义知的轨迹为以为焦点的抛物线，----------4分
即抛物线方程为，
即点的轨迹方程为；-------------6分
（2）因为椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，
所以，
所以，，---------------8分
即焦点坐标为，，
又若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，
所以曲线为以，为焦点的双曲线，且实轴长为，----------10分
所以的方程为.-------------12分
20．解：（1）抛物线C：的准线为，
由得：，得.
所以抛物线的方程为.----------------6分
（2）设，，由，
，
∴，----------------8分
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴--------10分
解得：，
所以k的值为1或.-----------------------------12分
21．解：（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.---------------------5分
（2）由已知得，设，
于是，-------------7分
因此
，
由于，所以当时，取得最小值，
.----------------------12分
22.解：（1）由题意有3个点在椭圆上，
根据椭圆的对称性，则点一定在椭圆上，
即
①，
……………………………………1分
若点在椭圆上，则点必为的左顶点，
而，则点一定不在椭圆上，
故点在椭圆上，点在直线上，
所以
②，
联立①②可解得，-------------3分
所以椭圆的方程为；
……………………………………4分
（2）由（1）可得直线的方程为，设，
当时，设显然，
联立则，即，
又，即为线段的中点，
故直线的斜率为，
……………………………………6分
又，所以直线的方程为，
…………………8分
即，
显然恒过定点；……………10分
当时，直线即，此时为x轴亦过点；
综上所述，恒过定点．
……………………………………12分
