20-2021学年度第一学期高三年级第一次学情调研
数学试题答题纸
校
(本题
答题前考生先将自己的姓名、准
填写清楚
填涂相应的
用2B铅笔
择题必须使用2B铅笔填涂,解答题必须使用黑
真涂准考证号并填意的签字笔书写,不得用铅笔或圆珠笔做解答题,字体
涂下面的缺考违纪|事
照题号顺序在各
答题区域内作答,超
标记。缺考涂1,逋项题区域书写的答题无效
纸、试题纸上答题无
(本题满分12分
折叠,不
多项选择题(第9-12题
空
共
共
解答题(本大题
题,共70分)
(本题满分10分)
在各题
题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题日的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20.(本题满分12分)
题满
题满
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区
案无效
各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2020-2021学年度第一学期学校10月月考卷解析版
考试时间：120分钟；命题人：
第I卷（选择题）
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由集合交集的定义直接运算即可得解.
【详解】
因为集合，，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．已知复数满足，则其共扼复数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则计算，即可写出共轭复数.
【详解】
因为，所以，其共轭复数为.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算法则，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.
3．4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（
）
A．480
B．360
C．288
D．144
【答案】B
【解析】
【分析】
先将6个元素作全排列，再除以可得答案.
【详解】
4名护士和2名医生站成一排，共有种，
又因为2名医生顺序固定，所以不同的排法种数为种.
故选：B.
【点睛】
本题考查了排列中的定序问题，属于基础题.
4．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为，化为十进制数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为，化为十进制数为.
故选：B.
【点睛】
本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.
5．根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（
）
A．0.16
B．0.48
C．0.52
D．0.84
【答案】D
【解析】
【分析】
求其对立事件两城市均未降雨的概率，进而可得结果.
【详解】
记A城市和B城市降雨分别为事件和事件，故，，
可得，,两城市均未降雨的概率为，
故至少有一个城市降雨的概率为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的应用，属于基础题.
6．（2020北京卷）已知函数，则不等式的解集是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
7．已知向量，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量，，得到，再根据向量的数量积的运算，列出方程，即可求解，
【详解】
由题意，向量，，∴，
又，可得，解得，故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．
已知函数在上单调递增，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分。
9．若直线过椭圆的一个焦点，则实数b的值可以是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先将椭圆方程化成标准式，即可求出焦点坐标，再根据焦点在直线上，即可求出．
【详解】
将椭圆C的方程化为标准形式，易知椭圆的焦点为，，代入直线l的方程中解得或．
故选：AC．
【点睛】
本题主要考查根据椭圆的几何性质的应用，属于基础题．
10．函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（
）
A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图像的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.
【详解】
由图象可知
，，
∴，则.
将点的坐标代入中，整理得，
∴，即.，∴，
∴.
∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
∴.
∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴的最小正周期，故B正确.
令，解得
.则函数图像的对称轴为直线.故C错误；
由，可得，
∴函数的单调递增区间为.故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属于综合题.
11．设正实数，满足，则（
）
A．有最大值
B．有最大值4
C．有最大值
D．有最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据基本不等式，由题中条件逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为正实数，满足，
所以，当且仅当时，等号成立，即，故A正确；
又
，当且仅当，即时，等号成立，故B错；
，当且仅当时，等号成立；故C正确；
，当且仅当时，等号成立；故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
12．下图是正态分布的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
直接由正态分布曲线的对称性逐个分析四个选项可得答案
【详解】
因为正态分布曲线的对称轴为，，
在y轴左右两侧面积各占，，故A、C、D正确．
故选：ACD
【点睛】
本小题以正态分布为载体，考查正态分布的性质等基础知识，考查数学建模能力，考查统计与概率思想，考查数据分析核心素养，体现基础性和应用性．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13.函数的定义域是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】
抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为
(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】
本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．设为数列的前项和，，若（），则__________．
【答案】
【解析】
当为奇数时，，则，，，，
当为偶数时，，则，，，，又，
∴
故答案为：
16．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.
【答案】
【解析】
【分析】
以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小.
【详解】
以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：
由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：
,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得：
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力.
四、解答题
17．在①，，且，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．
在中，角，，的对边分别为，，，且______．
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值．
【分析】
（1）若选①，根据向量数量积的坐标表示，以及余弦定理，即可求出角；若选②，根据正弦定理，化简整理，即可求出角；若选③，先将条件化简，得到，即可求出角；
（2）先由余弦定理，根据（1）的结果，得到，再由基本不等式，求出，即可得出周长的最值.
【详解】
（1）选①由，得，
即，所以，
……………………
3分
又因为，所以，因此．
……………………
5分
选②根据正弦定理，由得，
又因为，
所以，又因为，
所以，又因为，所以．
……………………
5分
选③∵，，且，
∴．
……………………
2分
化简得，，由余弦定理得，
又因为，∴．
……………………
5分
（2）由余弦定理，得．
又∵，∴，当且仅当时等号成立.………………
7分
∴，解得，，
当且仅当时，等号成立．
∴．
∴的周长的最大值为12．
……………………
10分
【点睛】
本题主要考查解三角形，以及求三角形的周长最值问题，熟记正弦定理与余弦定理，以及基本不等式即可，属于常考题型.
18．已知数列的前项和为，满足，，
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得的递推式，然后可证数列为等比数列；
（2）由（1）求得，得出，用错位相减法求出数列的和.
【详解】
解：（1）由，
由，故，
……………………
2分
进而：，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列.
……………………
4分
（2）由（1）知：，
故，
……………………
6分
分别记数列，的前项和为，，则
，
，
相减得：，……………………
10分
所以，，
故.
……………………
12分
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用.
19．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付。出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”，统计如图如示。
(1)根据上述样本数据，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?
(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ζ，求随机变量ζ的期望。
(3)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折。如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?
附：
解：（1）由已知联列表：
所以，
（必须保留小数点后三位，否则不给分）
有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
……………………
4分
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，
，
……………………
6分
（3）若选方案一，则需付款元
………………
8分
若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，
，，，
选择第二种优惠方案更划算
……………………
12分
20．如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
分析】
（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；………………
6分
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
………………
9分
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
………………
12分
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.
21．如图，椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据点坐标得到的值，根据离心率得到的值，结合，可求得的值，从而求得椭圆方程.（2）写出直线的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，然后计算直线和直线点的斜率之和，化简后可得定值为.
【详解】
解：（1）由题设知：，，结合，解得，
所以椭圆的方程为.
………………
3分
（2）由题设知：直线的方程为，代入，
得：，
………………
5分
由已知，设，，
则，，
………………
8分
从而直线的斜率之和为
.………
12分
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系.椭圆方程有两个参数，故需要两个条件就可以求解出来.求解时要注意题目是否给定椭圆焦点在哪个坐标轴上.直线和椭圆的位置关系，要熟练掌握将直线方程代入椭圆方程，化简后写出韦达定理这一个步骤.
22．已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在
（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
………………
3分
（2）等价于.
设函数，则
.
………………
6分
（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
………………
7分
（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；
当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7?4a)e?2≤1，即a≥.
所以当时，g(x)≤1.
………………9分
（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.
由于，故由（ii）可得≤1.
故当时，g(x)≤1.
………………11分
综上，a的取值范围是.
………………
12分
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．
试卷第1页，总3页2020
年度第一学期高三年级第一次学情调研
数学试题
第Ⅰ卷(选择题)
注意
卷前,考生务必
准
填
卡
题目的答案标号涂黑。如需改
橡皮擦干净后,再选涂其他答案
选择题时,将答案写在答题卡上。写在本
无
题:本题共8小题,每小题
40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
知集合A
知复数z满足1+i=zi,则其共扼复数为
D
4名护士和2名
名医生顺序固定,则不同的排法种数为
期,人们
打结来记录数量
绳计
现在我
熟悉的“进位
图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数,在从
左依次排列的不同绳
「结,满五进一,根据图示可知,孩
生
根据天气预报,某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6,假定这一天两城市是否降雨
有影响,则该天这两个城市中,至少有一个城市降雨的概率为
数f(
不等式f(x)>0的解集是
数学第
函数∫(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范
C
多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题
选项中,有多项符
要求
全部选
有
部分选
焦
实数b的值可以是
的部分图像如图所示,将函数f(
平移3个单位长度后得到y=g(x)的图像,则下列说法正确
数g(x)为奇函数
函数g(x)的最
期为
函数g(x)的图像的对称轴为直线x=kr
D.函数g(x)的单调递增
设正实数a,b满足a+b
值
最大值
b2有最小值
图是正态分布N(0,1)的
线图,可以表示图中阴影部分面积的式子有
第Ⅱ卷(非选择题)
填空题:本大题共4小题,每小题5分
3.函数f(x)
定义域是
4.设抛物线y2=4x的焦
准线为l则以F为圆
相切的圆的方程为
数学第2页共6
设S为数列{an}的前n项和
6.如右图所示,一座圆拱桥,当水面在某
寸,拱顶离水
明过程或演算步骤
在以上三个条件中任选一个补充在下面的问题
求角
(2)若b=4,求△ABC周长的最大
种选择作答按照
选择解答判分
知数
的前n项和为S,满
)求证:数列
记b=nS,求数列{b}的前n项和T
数学第3页共6
不仅是购物,还是从共享单车到医院挂号再到公共缴
生活中几乎全部领域都支
手机支
现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素
调查了腾讯服务的6000名用户,从中随机抽取了60名,规定:随身携带的现金在100
非手机支付族”,统计如图如示
男性
女性
计
手机支付族
2
手机支付族
计
(1)根据上述样本数据判断有多大的把握
手机支付族”与“性别”有关
(2)用样本估计总体,若从腾讯服务的用户中随机
位女性用
3位用户
机支
机变量的期望
(3)某商场为了推广手机
两种优惠方案,方案一:手机支付消费每满1000元可直
减100元;方案二:手机支付消费每满1000元可抽奖2次,每次中奖的概率同为,且每次抽奖
不影
奖
折,中奖两次打8.5折。如果你打算用手机支付购买某样价值120
的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析,选择哪种优惠方案更划算
6.63
