第23章 旋转复习课（旋转模型二）（共36张PPT）

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第23章旋转
复习
模型三：半角模型
定义：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。
常见结论：
（1）BE+DF=EF
（2）BM2+DN2=MN2
例1．已知如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF“，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？
（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．
例2．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF＝AG，∠FAG＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝45°，
在△AGE与△AFE中，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
模型四：对角互补模型
对角互补模型即四边形或构成的几何模型中，相对的角互补。
主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.
例1．如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
【解答】解：当OP∥AD或OP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的
，即25，当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，
如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，
∴△OEG≌△OFH，
∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25．
例2．已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；
（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
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【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF．
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【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
故答案是：∠BAD＝2∠EAF．
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2、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
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【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；
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2、用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；
（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于
？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．
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【解答】解：（1）BE＝CF．
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）BE＝CF仍然成立．
证明：在△ACE和△ADF中，
∵∠CAE+∠EAD＝∠FAD+∠DAE＝60°，
∴∠CAE＝∠DAF，
∵∠BCA＝∠ACD＝60°，
∴∠FCE＝60°，
∴∠ACE＝120°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADF＝120°，
在△ACE和△ADF中，
∵
∴△ACE≌△ADF，
∴CE＝DF，
∴BE＝CF．
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3、如图①，已知AC＝BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC＝BC，AD＝100m，CD＝40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度．
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【解答】解：（1）将图①补充完整如图所示：
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