(共20张PPT)
§3.4基本不等式
(2)
人教
A版数学必修五
研究基本不等式成立的条件，初步会利用基本不等式求某些函数的最值。
分析：设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
即求（x+y）的最小值.
例1
(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.
分析：设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy
m2.
即求xy的最大值.
例1
(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
则
2(x
+
y)=
36,
x+
y=18.
矩形菜园的面积为xy
m2
.
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园的面积最大，最大面积是81m2
.
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”，
二“定”，
三“相等”.
最值定理
结论1
两个正数积为定值P，则和有最小值
.
结论2
两个正数和为定值S，则积有最大值
.
例2（学案P75）
（学案P76）
（学案P76）
例3（学案P75）
例4（学案P77）第三章 不等式
3.4
基本不等式（2）
教材分析
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修５第三章第四节《基本不等式》第2课时。从内容上看是对基本不等式在求最值时的应用的学习，通过问题解决，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。在学法上要指导学生：找到基本不等式的形式本质是数学模型的核心所在，利用基本不等式的结构特点和求最值的条件，如何进行适当变形，然后借助基本不等式求最值时本节的重点和难点。对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握基本不等式求最值的方法和步骤。
教学目标与核心素养
课程目标
学科素养
1.
能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；2.
采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；3.
通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
a.数学抽象：在实际问题中抽象出基本不等式；b.逻辑推理：运用基本不等式求最值的条件；c.数学运算：灵活运用基本不等式求最值；d.直观想象：运用图像解释基本不等式；e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；
教学重难点
重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.
难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；
2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
一、创设情景，
提出问题;前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握其变形结构.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，继而对基本不等式展开一些实际应用.
让学生明确学习任务
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
实例引入用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆时多少？一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？三、分析问题，解决问题，总结提升师
已知，若ab为常数P，那么a+b的值如何变化？师
若a＋b为常数s，那么ab的值如何变化？师
同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.并满足利用基本不等式求最值的三个条件“一正，二定，三相等”条件不满足时，我们如何灵活变化，让条件成立呢？
引导学生通过实例发现问题的分类，继而总结出利用基本不等式求最值的两种基本题型.引导学生总结运用基本不等式的解题步骤和方法．生1；
当且仅当a＝b时，a＋b就有最小值为.生2.当且仅当a＝b时，就有最大值（或ab有最大值）.
让学生感受数学概念的应用是自然的．学生自己回答，发现规律和题型，体现主体地位的同时，更增加学生主动学习的欲望，为后期变形的探究打下基础
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。一个例题后紧跟一个练习，能够做到及时巩固，灵活应用.
三、典例分析：探究“一正”例1.求函数的值域解：(1)当x＞0,当且仅当，即时等号成立.当时，，所以当且仅当，即时等号成立.所以函数的值域为练习1
已知函数当时，求函数的最小值，并求取最小值时的值.当时，求函数的值域.探究“二定”例2
求函数的最小值.解：（当且仅当即时等号成立）练习2
（1）求的最小值.（2）求的最大值.师
若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？生
不一定.应当考虑等号成立的条件.探究“三相等”例3
已知，求的最小值.解：时（当且仅当即时等号成立）而，所以等号取不到，结合图象易知此时函数为增函数，所以当时，函数有最小值.练习3
求的最小值.师
用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.探究“1的妙用”例4
已知正数满足，则的最小值为多少？解：当且仅当时即时等号成立，此时练习：已知，，则的最小值？
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。因为函数为奇函数，借助图像直观感受.留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）根据学生完成的典型情况，找一位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）学生独立思考后，小组讨论然后展示.体会如何增添常数和配凑系数来满足二定.体会三个条件在求最值时缺一不可，并学会借助图象，观察单调性，处理问题.一起探究，一起发现。强调“1的妙用”的结构特点.
课堂练习1、已知，且，则的最大值是
2、函数的最小值为
3、
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：师
通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？生
基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.师
数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
