北京教师进修学校2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题 Word版无答案

教师进修高二月考
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1.在复平面内，复数对应的点位于（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.如图，在四面体中，点为棱的中点。设，那么向量用基底可表示为（
）
A.
B.
C.
D.
3.在下列四个正方体中，能得出直线与所成角为的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（
）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（
）
A..充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知，则满足（
）
A.三点共线
B.构成直角三角形
C.构成钝角三角形
D.构成等边三角形
7.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地面赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面。在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（
）
A.
B.
C.
D.
8.已知四面体的所有棱长都是2，点是的中点，则（
）
A.
B.
C.
D.
9.已知四边形是边长为4的正方形，分别是边的中点，垂直于正方形所在平面，且，则点到平面的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱上的中点。若点为侧面正方形内（含边）动点，且存在使成立，则点的轨迹长度为（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
11.已知空间向量，若，则实数
，
12.已知复数，则
13.正四棱锥，底面边长为2，二面角为，则此四棱锥的体积为
14.如图，长方体中，与与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则最小值为
15.已知正方体，在空间中记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为，过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则
，
三、解答题（本大题共4小题，共40分）
16.（本小题满分8分）
已知复数
（1）若复数为纯虚数，求实数
（2）若复数的辅角主值为，求实数
17.（本小题满分12分）
已知正四棱柱中，
（1）求证：
（2）求直线与所成角的余弦值
（3）求直线与平面夹角的正弦值。
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点
（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值
（3）线段上是否存在点使得平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由。
19.（本小题满分8分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点。对任意的点，定义。任取点，记，若此时成立，则称点相关。
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由。
①②
（2）给定，点集。求集合中与点相关的点的个数。