一元二次方程根与系数关系

(共30张PPT)
22.2.4
一元二次方程的
根与系数的关系
方 程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2-3x-4=0
2x2+5x+3=0
3x2-4x+1=0
方程的两根和、两根积分别与方程的各项系数有什么关系？
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数
4
-1
1
-4
-1
3
一元二次方程 ，当 时，
由求根公式可知方程的两根为
因此，方程的两根 ，和系数
有如下的关系：
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
推论1
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写。
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
1、x2 - 2x - 1=0
2、2x2 - 3x + =0
3、2x2 - 6x =0
4、3x2+x+2 = 4
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=3
x1x2=0
x1+x2=
x1x2=
x1+x2=
对于方程x2+2x+3=0，小明说它的两根之和为-2，
两根之积为3，你认为他的说法对吗？为什么？
x1x2=
1、课本P41例4
2、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.
3、如果 是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m =____。
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___
( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____ 。
X1+X2
2X1X2
-3
4
1
14
12
×
2和-1
基础练习
（还有其他解法吗？）
5、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的方
程是（ ）
A、y2+3y-2=0 B、 y2－3y+2=0
C、y2+3y+2=0 D、 y2－3y-2=0
此题还有其他解法吗？
B
换元法：
基础练习
设y=-x，则x=-y，将其代入X2+3X+2=0，
得y2－3y+2=0 ，即为所求方程。
6. 已知2x2+3x-6=0的两根是x1 ,x2 ，
不解方程求下列各式的值。
（1）
（2）
练习1
已知关于x的方程
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
－1
1
分析:1.
2.
4
1
14
12
题３
则：
＝
＝
应用：一求值
另外几种常见的求值
求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
练习2
设 的两个实数根
为 则: 的值为( )
A. 1 B. －1 C. D.
A
以 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
二　已知两根求作新的方程
题4.
点p(m,n)既在反比例函数 的
图象上, 又在一次函数 的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
解:由已知得,
{
即
m·n=－2
m+n=－2
{
∴所求一元二次方程为:
题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）
A、y2＋3y-5=0 B、 y2－3y-5=0
C、y2＋3y＋5=0 D、 y2－3y＋5=0
B
分析:设原方程两根为 则:
新方程的两根之和为
新方程的两根之积为
求作新的一元二次方程时:
1.先求原方程的两根和与两根积.
2.利用新方程的两根与原方程的两根之
间的关系,求新方程的两根和与两根积.
(或由已知求新方程的两根和与两根积)
3.利用新方程的两根和与两根积,
求作新的一元二次方程.
练习:
1.以2和 －３为根的一元二次方程
（二次项系数为１）为：　　　　　　　　　　　　　　　　
题6 　已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。
2和-1
解法(一):设两数分别为x,y则:
{
解得:
x=2
　y=－1
{
或
ｘ＝－1
y=2
{
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则:
求得
∴两数为2,－１
三　已知两个数的和与积，求两数　
题7 如果－1是方程
的一个根，则另一个根是___ｍ=____。
（还有其他解法吗？)
-3
四　求方程中的待定系数
题8 已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　 求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
又 X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C
的对边,且c= ,若关于x的方程
有两个相等的实数根,又方程
的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.
五　综合
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
作业:试卷《课后练习》
题9 方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0一正根，一负根
△＞0
X1X2＜0
两个正根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
两个负根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
{
{
{