3.1.1 椭圆的定义与性质应用 同步学案

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椭圆的定义与性质
一．学习目标
圆锥曲线是高考考查的重点内容，也是整个高中数学学习的重点与难点；主要表现在基本理论思想应用的比较多，且涉及到比较大的运算能力考查；
本小节从圆锥曲线的第一种（椭圆）开始学习，从椭圆的定义以及主要的几何性质，理解学习圆锥曲线的基本解题思路。
二．基础知识
1.椭圆的定义：
平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在定义中需要强调距离之和等于的常数应(大于)
(1)当距离之和等于时，动点的轨迹就是线段F1F2；
(2)当距离之和小于时，动点的轨迹不存在．
2.椭圆的标准方程：
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
焦点坐标
的关系
注：对于椭圆的标准方程，如何判断该椭圆的焦点在哪个坐标轴上？
①椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴．
②依据椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，只需看标准方程中的分母的大小；
椭圆的焦点在轴上?标准方程中项的分母较大；
椭圆的焦点在轴上?标准方程中项的分母较大．
椭圆的标准方程有两种形式．若已知焦点在轴或轴上，则标准方程唯一；若无法确定焦点的位置，则需要考虑两种形式．其中三个量满足
3.椭圆的几何性质：
标准方程
图　形
性质
范　围
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶　点
轴
长轴的长为；短轴的长为
焦　距
离心率
的关系
为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则，.
三．典例分析与性质总结
题型1：椭圆的定义及其应用
椭圆的定义揭示了椭圆的本质，作为推断动点的轨迹是否为椭圆的重要依据，同时到两个定点的距离之和的=得到的常数也是非常重要的。
例1：已知椭圆，是它的焦点；是过的直线与椭圆交于两
点，则的周长是________．
【方法归纳】
一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题。
题型2：求椭圆的标准方程
与常规的一次函数或二次函数的解析式求解思路一样，对于椭圆标准方程的求解也是采用待定系数法；同时在解题的过程中注意分析理解的几何含义，同时它们之间的等量关系不要忽略。
椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种：
(1)当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．
(2)当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．
在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，主要看含和
的项的分母的大小。
例如，椭圆，时表示焦点在轴上的椭圆；时表示焦
点在轴上的椭圆．
2．特殊的椭圆系方程
(1)与椭圆共焦点的椭圆可设为．
(2)与椭圆有相同离心率的椭圆可设为(焦点在轴上)或，焦点在轴上)。
例2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在轴上；
(2)，；
(3)经过点和点．
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
①“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
②“定量”是指确定的具体数值，常根据条件列方程求解。
(2)常见问题形式
①如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
②当焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：
一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设椭圆的一般方程．
题型3：椭圆中的焦点三角形问题
椭圆上的点与两焦点构成的叫作焦点三角形．
如图所示，设
①当为短轴端点时，最大．
②，当，即为短轴端点时，
取最大值，为.
③焦点三角形的周长为．
例3：如图所示，已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，求
的面积．
【思路分析】
由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于和的方程，解方程组求得，再用面积公式求解。
例4：设是椭圆上一点，为焦点，，则(　　)
A.
B．
C．
D．16
例5：椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点；当的周长最大时，
的面积是________．
四．变式演练与提高
1.椭圆上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为(　　)
A．5
B．6
C．4
D．10
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点，；
(2)过点，且与椭圆有相同的焦点．
3.已知方程表示椭圆，则的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
4.椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交于两点，且
的周长为16，那么的方程为________．
5.设分别为椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于两
点，直线的倾斜角为60°，到直线的距离为．
(1)求椭圆的焦距；
(2)如果,求椭圆的方程。
6.已知椭圆的离心率为，右焦点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值。
五．反思总结
1.易错梳理
椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于，避免动点轨迹是线段或不存在的情况。
当椭圆焦点位置不明确时，可设为，也可设为
；判断两种标准方程的方法为比较标准形式中与的分母大小，注意“大对焦点”．
2.利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系；
(2)将所求范围用表示，利用自身的范围、关系求范围。
3.性质应用
椭圆作为圆锥曲线的一种，椭圆的定义与几何性质结论，对于解题过程中有着非常大的作用；因此在学习椭圆这一章节内容时，应注意对于基本结论进行总结。
六．课后作业
1.已知椭圆的焦距为4，则等于(　　)
A．4
B．8
C．4或8
D．以上均不对
2.已知是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的一点，且；
若的面积为9，则________．
3.已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，过的直线交于
两点．若的周长为，则的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
4.“”是“方程表示椭圆”的(?
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，
的最大值为(???
)
A.12
B.10
C.8
D.4
6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．
(1)求椭圆的方程;
(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最小值。
7.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于P、Q两点，问：的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析：
如图，∵，
又∵的周长＝
∴的周长为
例2：解析：
(1)焦点在轴上，设标准方程为，则，.
∴椭圆的标准方程为
(2)?
∴椭圆的标准方程为或
(3)解法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为．
依题意有，解得
所以所求椭圆的方程为.
②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为．依题意有
；解得(舍去)．
故所求椭圆的方程为
解法二：设所求椭圆的方程为．
依题意有，解得
所以所求椭圆的方程为
例3：解析：
由已知，，得，，
在中，由余弦定理，得
，
即①
由椭圆定义，得；解得
所以
即的面积是.
【解后反思】
椭圆上一点与椭圆的两焦点构成的称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已
知，可利用把看成一个整体，利用定义和余弦定理可求得，
再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积，这样可以减少运算量。
例4：解析：
设，，
则，∴
∴
例5：解析：
如图所示，设椭圆右焦点为，直线与轴相交于点；
由椭圆的定义，得.
而
所以当且仅当过点时，的周长最大。
此时，由，得，即.
所以的面积.
（四．变式演练与提高）
1.解析：【答案】　A
由题意知，椭圆，；由椭圆的定义，；
，所以；故选A
2.解析：
(1)解法一：若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为．
由已知条件得，解得
所以所求椭圆的标准方程为.
若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为．
由已知条件得，解得
即，，则，与题设中矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为.
解法二：设椭圆的一般方程为．将两点，代入，得
，解得
所以所求椭圆的标准方程为.
(2)因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且
设它的标准方程为．
因为，故①
又点在椭圆上，所以，即②
由①②得，，
所以所求椭圆的标准方程为
3.解析：【答案】　D.
方程表示椭圆的条件为
解得．故选D.
4.解析：
由已知可设椭圆方程为，
∵过且在椭圆上，如图，∴的周长为，∴.
又∵离心率，∴，∴，
∴的方程为
5.解析：
①设焦距为，由已知可得到直线的距离为，故.
故椭圆的焦距.
②设，由题意可知
则直线方程为
联立椭圆方程可得
故可得，，
因为，故
则
解得，又，故可得.
故椭圆方程为
6.解析：
（1）由题知，，得：??
∴椭圆的标准方程为
（2）设
∵???
若，则，不合题意????
又
（当且仅当时取等号）
∴
（六．课后作业）
1.解析：【答案】　C
由，得，
由题意知或，解得或.
2.解析：
由题意知，，
∴
∴
∴
∴，所以
3.解析：【答案】　A
由题意及椭圆的定义知，则，
又，∴，∴，
∴的方程为，选A.
4.解析：【答案】　C
方程表示椭圆，即，解得且
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件。
故选C
5.解析：【答案】　B
如图所示，
设椭圆的下焦点为，则，
∵
当且仅当共线且在线段上时等号成立,
∴的周长为
即的周长的最大值为14，
此时
故选：B
6.解析：
（1）设椭圆的方程为
由题意得，解得，
∴椭圆的方程为
（2）设为椭圆上的动点，则
所以
又，所以当时，有最小值为，所以的最小值为．?
7.解析：
（1）由题意得，所以
所以椭圆方程为
（2）由题意，设的方程为
∵与圆相切，∴，即
由，所以
设，则，
又，所以，同理
（定值）
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