12.3.1等腰三角形(1)

(共17张PPT)
虞城一中 李建立
12.3.1 等腰三角形
把一张长方形的纸片对折，并撕下阴影部分，再把它展开，得到一个什么图形？
概念就像螺丝钉——微小但非常重要！
顶角
A
B
C
底边
腰
腰
底角
底角
我们也就得到了一个
等腰
等腰三角形中的元素：
三角形。
你能把一个等腰三角形纸片折叠成完全重合的两部分吗？
你能找出几种折叠方法？
你能发现等腰三角形的底角有什么性质吗？
A
B
C
D
等腰三角形的两个底角相等。
【猜想】
等腰三角形的性质——验证与证明
你能动手来证明这一结论吗？
简称:等边对等角
把三角形沿折痕对折，找出其中重合的角和线段！
重合的线段
重合的角
请在你的纸片上标
出A、B、C、D
证明
一： 作底边中线AD.
在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ),
BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：等腰三角形的两个底角相等
证明二:作顶角的平分线A D.
证明三:作底边的高AD
等腰三角形的 “三线合一”
A
B
C
C
B
A
想一想
在上述问题中，折痕AD
D
是等腰三角形ABC的怎样的线？
线段AD的还具有怎样的性质？
D
由此你能得到什么结论？
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
“等腰三角形的性質2”：
线段AD是底边BC的中线、
∠BAC的平分线、
底边BC上的高。
等腰三角形的性质:
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
(简写“三线合一”).
A
C
B
1
2
A
C
B
D
1 .等腰三角形的两个底角相等 （简写“等边对等角”）
等腰三角形的性质１：
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
注意：
在 等腰三角形中,等边对等角。
一个
一个
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AC=AB（ ）
∴ ∠B=∠C ( ）
已知
等边对等角
C
A
B
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠___=∠___，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____。
C
A
B
1
2
D
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
1
2
B Ｄ
CＤ
1
2
AD
BC
AD
BC
B Ｄ
CＤ
问题1 如果等腰三角形的顶角是36 ，那么它的底角的度数是 。
问题2 △ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ，AD是BC边上的高，则∠ABD= ，BD=______=______。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
变式练习 等腰三角形的一个角是 ，那么它的另外两个角的度数是 。
36
110
72 、72
72 、72 或36 、108
35 、35
４５°
ＡＤ
ＣＤ
链接
练习应用、
如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,
其中AB=AC,,立柱AD⊥BC.已知∠B=30°, BC=6m,
那么：∠BAC=-----------,BD=-----------
120°
3m
A
B
C
D
例1 如图:在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BC=AD=BD，求△ABC各角的度数。
解：∵AB=AC，BC=AD=BD
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）
设∠A=X，则∠BDC=∠A+∠ABD=2X
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2X
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=X+2X+2X=1800
解得 X=360
在△ABC中，∠A=360，∠ABC=∠C=720
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，
∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数。
B
C
D
A
返回小结
答案
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，
∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数。
B
C
D
A
解：∵△ABD中, AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
又∵ ∠BAD=26°, ∠B+ ∠BAD+ ∠ADB=180°
∴∠B=∠ADB=(180 °－26 °) ÷2=77 °
在△ADC中, AD=DC
∴∠CAD=∠C
又∵ ∠ADB=∠CAD+∠C
即： 2∠C= 77 °
∴∠C=38.5 °
等腰三角形的性质
文字叙述
几何语言
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称三线合一）
∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
课堂小结
布置作业：
课本第51页１、２、３题．