12.3.1等腰三角形(2)判定

(共17张PPT)
(等腰三角形的判定)
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
①等腰三角形是轴对称图形。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”)，它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴。
②等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 。
2、等腰三角形有哪些性质？
D
A
B
C
如图，在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠____= ∠____，___= ___.
(2) ∵AD是中线，∴___⊥___ ，∠____ =∠____.
(3) ∵AD是角平分线，∴___ ⊥___ ，____ =____.
BAD
CAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BD
BAD
BC
AD
CD
符号语言： ∵AB=AC(已知) ∴∠B=∠C (等边对等角)
A
B
O
如图,位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处的遇险报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
过O作OD⊥AB，则∠ADO=∠BDO=90°
D
┒
在△ADO和△BDO中
∠A=∠B(已知)
DO=DO(公共边)
∠ADO=∠BDO(已作)
∴△ADO≌△BDO(AAS)
∴ OA=OB (全等三角形对应边相等)
故两艘救生船能同时达到出事地点。
请问：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知：△ABO中，∠A=∠B
求证：OA=OB
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
注意：使用“等边对等角”前提是－－－在同一个三角形中
符号语言： ∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
A
B
C
已知：△ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：
作∠BAC的平分线AD
在△ BAD和△ CAD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边
相等）
1
A
B
C
D
2
等腰三角形的性质与判定有区别吗
性质是:等边 等角
判定是:等角 等边
例1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一 边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图，∠CAE是△ABC 的外角，∠1=∠2， AD∥BC 求证：AB=AC
证明：
∵AD∥BC(已知)
∴∠1=∠B
(两直线平行，同位角相等)
∠2=∠C
(两直线平行，内错角相等)
而已知∠1=∠2，
∴∠B=∠C
∴AB=AC
(等角对等边)
分析：
从求证看：要证AB=AC，需证∠B=∠C，
从已知看：因为∠1=∠2，AD∥BC
可以找出∠B，∠C与的关系。
例2、如图，标杆AB高为5m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得点D、B、E在一条直线上，量得DE=4m，绳子CD和CE要多长？
分析：显然绳长CD和CE是相等的。问题实际上就是已知底边和底边上的高求等腰三角形的腰长的问题，如果我们能以适当的比例画出这个等腰三角形，量出它的腰长，就能得到绳长了。
思考：已知底边和底边上的高，你能用尺规作图方法作出这个等腰三角形吗？
作法：
1.分别以A,B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；
2.作直线CD.
CD即为所求的直线
A
D
C
B
线段垂直平分线的尺规作图
例2、如图，标杆AB高为5m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得点D、B、E在一条直线上，量得DE=4m，绳子CD和CE要多长？
解：
选取比例尺为1∶100(即以1cm代表1m)
(1)作线段DE=4cm；
(2)作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
(3)在MN上截取BC=2.5cm；
(4)连接CD、CE，则△CDE就是所求的等腰三角形。量出CD的长，就可以计算出要求的绳长。
B
C
N
M
E
D
1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°。分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD。
∠1=72°，∠2=36°
等腰三角形有：△ABC，△ABD， △BCD。
A
B
C
D
E
3
2
1
证明：
∵OA=OB，
∴∠A=∠B．（等边对等角）
又∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D．（两直线平行，内错角相等）
∴∠C=∠D （等量代换）
∴OC=OD（等角对等边）
B
A
D
C
5、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD
证明： ∵ AD ∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∵ BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
4、已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
等腰直角三角形有： △ABC ，△ACD ，△BCD。
A
C
D
B
作业:P56习题12.3的2,5,6,
58页12
谈谈你在这节课中，有什么收获？
2、等腰三角形的判定方法有几种？
3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是_______________________。
4、运用等腰三角形的判定定理时，应注意_______________。
1、等腰三角形的判定定理的内容是什么？
①定义 ②判定定理
条件和结论刚好相反
在同一个三角形中
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
请动手画一个等腰三角形，并画出底边中点到两腰的距离，猜猜这两条距离有什么关系？你能用所学的知识解释吗？
可将等腰三角形△ABC沿对称轴AD折叠
DE=DF
等腰三角形底边中点到两腰的距离。
①如果DE、DF分别是AB、AC上的中线，此时还有DE=DF吗？
②如果DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的角平分线，此时还有DE=DF吗？
DE=DF
DE=DF
等腰三角形对应边上的中线、高线相等，对应角的平分线相等
位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险的报警，当时测得∠A=∠B。若这两艘救生船以同样的速度出发，能否同时达到出事地点？
过O作OD⊥AB，则∠ADO=∠BDO=90°
D
┒
在△ADO和△BDO中
∠A=∠B(已知)
DO=DO(公共边)
∠ADO=∠BDO(已作)
∴△ADO≌△BDO(AAS)
∴ OA=OB (全等三角形对应边相等)
故两艘救生船能同时达到出事地点。
请问：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？